乘法公式單元教學(xué)起始課教學(xué)研究

☉江蘇省邗江中學(xué)（集團(tuán)）北區(qū)校維揚(yáng)中學(xué) 談 兵

現(xiàn)行初中數(shù)學(xué)教材關(guān)于整式乘法中的乘法公式教學(xué)都是逐個(gè)進(jìn)行，先學(xué)習(xí)平方差公式（a+b）（a-b）=a2-b2、完全平方公式（a±b）2=a2±2ab+b2，再在教材的習(xí)題訓(xùn)練中滲透（x+a）（x+b）=x2+（a+b）x+ab這個(gè)公式.最近我們在研習(xí)著名特級教師李庾南老師關(guān)于單元教學(xué)相關(guān)教學(xué)思想時(shí)，對李老師倡導(dǎo)基于數(shù)學(xué)知識(shí)內(nèi)在聯(lián)系進(jìn)行“學(xué)材再建構(gòu)”的主張產(chǎn)生共鳴.在最近一次教研活動(dòng)中，筆者開設(shè)了一節(jié)乘法公式單元教學(xué)起始課，取得了較好的教學(xué)效果.本文梳理該課的教學(xué)流程，并給出教學(xué)立意的闡釋，供研討.

一、乘法公式單元教學(xué)起始課教學(xué)流程

說明：本課是在學(xué)生已學(xué)習(xí)整式乘法之后進(jìn)行的新授課教學(xué)，學(xué)生對多項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式也已訓(xùn)練到位.

教學(xué)活動(dòng)（一） 從“（x+a）（x+b）”出發(fā)

例1計(jì)算下列各題：

（1）（x+1）（x+2）；

（2）（x-2）（x-3）；

（3）（x+3）（x-5）；

（4）（x-10）（x+9）.

教學(xué)預(yù)設(shè)：學(xué)生很快能算出4個(gè)小題的答案：x2+3x+2，x2-5x+6，x2-2x-15，x2-x-90.

解后問題1：這4個(gè)結(jié)果都是二次三項(xiàng)式，同學(xué)們觀察一下，各項(xiàng)系數(shù)與原來兩個(gè)一次二項(xiàng)式之間有怎樣的對應(yīng)關(guān)系？你們能用字母表示嗎？

教學(xué)預(yù)設(shè)：學(xué)生答出（x+a）（x+b）=x2+（a+b）x+ab后，安排他們證明這個(gè)性質(zhì).也就是將（x+a）（x+b）展開得4項(xiàng)后，再合并成x2+（a+b）x+ab.證明之后小結(jié)為“乘法公式1”，板書在黑板主板區(qū).

解后問題2：小組內(nèi)再用幾個(gè)例子驗(yàn)證一下上面的發(fā)現(xiàn)！

【跟進(jìn)練習(xí)1】

（1）（x+42）（x-2）=__________；

（2）若（x+3）（x+b）=x2+4x+c，則b=______，c=______；

（3）若（x+5）（x-m）展開后不含有關(guān)于x的一次項(xiàng)，則m=______；

（4）若（x-4）（x+b）=x2-8x+c，則b=______，c=______.

設(shè)計(jì)意圖：前兩題主要是訓(xùn)練剛剛小結(jié)的“乘法公式1”，后兩題變式訓(xùn)練“乘法公式1”，并對應(yīng)著后面即將要學(xué)習(xí)的平方差公式、完全平方公式.

教學(xué)活動(dòng)（二） “（x+a）（x+b）”中常數(shù)a、b互為相反數(shù)

例2已知（x+a）（x+b），其中a、b為非零實(shí)數(shù)，根據(jù)下列條件計(jì)算：

（1）當(dāng)a=1，b=-1時(shí)，（x+a）（x+b）=__________.

（2）當(dāng)a=-2，b=2時(shí)，（x+a）（x+b）=__________.

（3）當(dāng)a=m，b=-m時(shí)（m為非零實(shí)數(shù)），（x+a）（x+b）=__________.

（4）小婧發(fā)現(xiàn)：當(dāng)a+b=0時(shí)，計(jì)算（x+a）（x+b）的結(jié)果只有兩項(xiàng).你覺得小婧的發(fā)現(xiàn)是否正確？請說明理由.

教學(xué)預(yù)設(shè)：前面3題的結(jié)果依次為x2-1、x2-4、x2-m2.小婧的發(fā)現(xiàn)是正確的.可以使用“乘法公式1”說明.

（x+a）（x+b）=x2+（a+b）x+ab，而a+b=0，則（x+a）（x+b）=x2+0·x+a（-a）.

即（x+a）（x-a）=x2-a2.

證明之后，學(xué)生小結(jié)出“乘法公式2”，即平方差公式：（a+b）（a-b）=a2-b2.教師板書在黑板主板區(qū).

【跟進(jìn)練習(xí)2】計(jì)算：

（1）（3x+2）（3x-2）；

（2）（-m+2n）（-m-2n）；

（3）（x+2）（x-2）-（x-1）（x+5）；

（4）98×102.

設(shè)計(jì)意圖：對于（1）和（2），直接套用平方差公式即可；第（3）題需要分別使用平方差公式、乘法公式1簡化運(yùn)算；第（4）題需要改寫變形后使用平方差公式簡化計(jì)算.

教學(xué)活動(dòng)（三） “（x+a）（x+b）”中常數(shù)a、b相等

例3已知（x+a）（x+b），根據(jù)下列條件計(jì)算：

（1）當(dāng)a=b=1時(shí)，（x+a）（x+b）=__________；

（2）當(dāng)a=b=-2時(shí)，（x+a）（x+b）=__________；

（3）當(dāng)a=b=9時(shí)，（x+a）（x+b）=__________；

（4）通過以上計(jì)算，你能發(fā)現(xiàn)一個(gè)“乘法公式”嗎？

教學(xué)預(yù)設(shè)：前面3題的結(jié)果依次為x2+2x+1、x2-4x+4、x2+18x+81.在此基礎(chǔ)上，引導(dǎo)學(xué)生自主歸納出“乘法公式3”，即完全平方公式：（a±b）2=a2±2ab+b2，教師板書在黑板主板區(qū).

【跟進(jìn)練習(xí)3】計(jì)算與思考：

（3）1022；

（4）思考：（x+y）2與（-x-y）2是否相等？（x-y）2與（y-x）2是否相等？

設(shè)計(jì)意圖：前3題可直接運(yùn)用完全平方公式計(jì)算，第（4）題兩種結(jié)果都相等，評講時(shí)要注意引導(dǎo)學(xué)生與七年級學(xué)習(xí)有理數(shù)乘方時(shí)積累的互為相反數(shù)的兩個(gè)數(shù)的平方相等這一性質(zhì)x2=（-x）2對應(yīng)起來.

教學(xué)活動(dòng)（四） 完善乘法公式之間的框架體系

小結(jié)、梳理本課所學(xué)幾個(gè)乘法公式之間的關(guān)系，完善它們之間的聯(lián)系．“結(jié)構(gòu)式”板書如下所示.

【跟進(jìn)練習(xí)4】計(jì)算：

設(shè)計(jì)意圖：第（1）和（2）題主要訓(xùn)練平方差公式，其中第（2）題在學(xué)生做出結(jié)果之后要注意通過追問暴露不同學(xué)生的解法，比較出最優(yōu)方法，即將原式改寫為（-5-2x）（-5+2x），再套用平方差公式計(jì)算；第（3）題引導(dǎo)學(xué)生將小數(shù)先化為分?jǐn)?shù)，然后看清算式特點(diǎn)，選準(zhǔn)完全平方公式進(jìn)行計(jì)算；第（4）題也注意引導(dǎo)學(xué)生利用性質(zhì)（x+y）2=（-x-y）2，將（-2y-3）2轉(zhuǎn)化為（2y+3）2，在套用完全平方公式展開時(shí)避免多次處理負(fù)號.

二、教學(xué)立意的進(jìn)一步闡釋

1.從數(shù)學(xué)現(xiàn)實(shí)出發(fā)，基于條件變式引出新知

本課我們選擇從簡單的整式乘法出發(fā)，先通過一組計(jì)算題小結(jié)出“乘法公式1”，在跟進(jìn)訓(xùn)練之后，將“乘法公式1”中的常數(shù)a、b賦予不同的強(qiáng)化條件“a+b=0”“a=b”，分別對應(yīng)著后續(xù)即將探究的平方差公式、完全平方公式.這種新課引入方式?jīng)]有創(chuàng)設(shè)所謂的生活情境，而是從數(shù)學(xué)現(xiàn)實(shí)出發(fā)，基于條件變式引入新課，也是當(dāng)前值得重視的一種數(shù)學(xué)引入方式.需要指出的是，返璞歸真，并不是簡單的回歸，而是基于對數(shù)學(xué)知識(shí)的深刻理解，踐行《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》所提出的要兼顧生活現(xiàn)實(shí)與數(shù)學(xué)現(xiàn)實(shí)引入新知的要求.當(dāng)然，就本課新授內(nèi)容而言，也是符合著名數(shù)學(xué)教育家張奠宙教授所提出的“超經(jīng)驗(yàn)的數(shù)學(xué)”，即不需要引入所謂生活現(xiàn)實(shí)，而直接根據(jù)整式乘法運(yùn)算的邏輯發(fā)展引出新知.

2.精心選編例、習(xí)題，圍繞教學(xué)主題變式設(shè)問

有人曾把數(shù)學(xué)簡言為兩個(gè)字：算與證.本課屬于“算”的內(nèi)容，但也不能呆算、重復(fù)算，這就需要我們在選編各個(gè)教學(xué)環(huán)節(jié)的例、習(xí)題時(shí)，注意圍繞各個(gè)教學(xué)環(huán)節(jié)的訓(xùn)練主題變式設(shè)問，而不是重復(fù)一些相同的算式類型.比如訓(xùn)練平方差公式的“跟進(jìn)練習(xí)2”時(shí)，所選的4個(gè)題都對應(yīng)著直接使用平方差公式，而不需“轉(zhuǎn)多次彎”；再看課堂小結(jié)時(shí)所選編的“跟進(jìn)練習(xí)4”中第（3）題和第（4）題，就進(jìn)行了適當(dāng)?shù)母木?，提高了要求，需要整體處理和改寫變形.特別是，各個(gè)欄目下的訓(xùn)練題一定要圍繞教學(xué)主題選編變式，注意聚焦訓(xùn)練目標(biāo)，提高習(xí)題內(nèi)容效度.

3.預(yù)設(shè)結(jié)構(gòu)式板書，促進(jìn)深刻理解乘法公式

最近兩年《中學(xué)數(shù)學(xué)（初中版）》有不少課例文章都附出課時(shí)板書設(shè)計(jì)，有些“結(jié)構(gòu)式”板書能加深我們對課例教學(xué)內(nèi)容的深刻理解，對學(xué)生也是一種很好的示范.這也啟發(fā)我們預(yù)設(shè)本課不同乘法公式之間關(guān)系的“結(jié)構(gòu)式”板式.作為乘法公式單元教學(xué)起始課的教學(xué)，讓學(xué)生通過結(jié)構(gòu)式板書，知曉本單元所學(xué)內(nèi)容的全貌，然后在后續(xù)習(xí)題課時(shí)，就可將習(xí)題訓(xùn)練的不同內(nèi)容納入到相應(yīng)的知識(shí)體系之中，想來，這也是促進(jìn)學(xué)生深刻理解乘法公式的一種教學(xué)努力.