過(guò)程教育下“平方根”教學(xué)的實(shí)踐性解讀

☉浙江省寧波市海曙區(qū)古林鎮(zhèn)中學(xué) 鄔云德

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》（以下簡(jiǎn)稱“課標(biāo)”）根據(jù)數(shù)學(xué)具有過(guò)程和結(jié)果的二重性特征倡導(dǎo)統(tǒng)籌兼顧過(guò)程與結(jié)果，以全面發(fā)揮數(shù)學(xué)的育人功能.但在以浙教版《數(shù)學(xué)》七年級(jí)上冊(cè)3.1“平方根”為載體的研修活動(dòng)中發(fā)現(xiàn)，課堂教學(xué)普遍存在過(guò)程教育不到位的問(wèn)題，導(dǎo)致不能促進(jìn)學(xué)生發(fā)展數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).究其原因，主要是教師缺乏教研的意識(shí)與方法，導(dǎo)致確定的教學(xué)方案與過(guò)程教育思想存在偏差.鑒于此，筆者在重復(fù)觀摩與反思的基礎(chǔ)上，對(duì)該課的教學(xué)進(jìn)行解讀，以使教師感悟改變當(dāng)前“只教不研”現(xiàn)象的必要性.

一、精致化分析

1.該課的研究?jī)?nèi)容及其地位與作用

該課研究的對(duì)象是“已知x2=a（a是已知數(shù)）求x的運(yùn)算”，它是在學(xué)習(xí)乘方運(yùn)算的基礎(chǔ)上，為解決形如“已知x2=a（a是已知數(shù)）求x”的需要提出來(lái)的.其研究?jī)?nèi)容主要有：開平方、平方根和算術(shù)平方根的概念；平方根和算術(shù)平方根的符號(hào)表示；求具體數(shù)的平方根和算術(shù)平方根；平方根和算術(shù)平方根的有關(guān)事實(shí).其邏輯關(guān)系如圖1所示.“已知x2=a（a是已知數(shù)）求x的運(yùn)算”有豐富的現(xiàn)實(shí)情景，用根號(hào)表示平方根和算術(shù)平方根在實(shí)數(shù)運(yùn)算中會(huì)經(jīng)常遇到，求數(shù)的平方根和算術(shù)平方根是需要學(xué)生掌握的基本技能，一般到一般或特殊到特殊的研究方法在教學(xué)實(shí)踐中會(huì)經(jīng)常用到.

圖1

2.該課的認(rèn)知過(guò)程和所蘊(yùn)含的教育價(jià)值

該課的數(shù)學(xué)本質(zhì)是求數(shù)的平方根，其他知識(shí)都是由它衍生出來(lái)的，教學(xué)時(shí)要遵循“先過(guò)程（開平方運(yùn)算），后結(jié)果（平方根）”和“先一般（平方根），后特殊（算術(shù)平方根）”的認(rèn)知順序.“已知x2=a（a是已知數(shù)），求x”可以看成是從實(shí)際問(wèn)題中抽象出來(lái)的，也可以看成是從“已知底數(shù)和指數(shù)2求冪”中演繹出來(lái)的，還可以看成是從具體的“（？）2=4”等中歸納出來(lái)的.但采用演繹方式更能促使學(xué)生感悟平方與開平方是互逆運(yùn)算.平方根概念的形式特征比較明顯，能從外形上直接觀察和識(shí)別，并且教學(xué)要求不高，但學(xué)生對(duì)方程根的認(rèn)識(shí)還沒(méi)有達(dá)到一定的“深度”，而開平方與平方運(yùn)算是互逆運(yùn)算，所以定義平方根宜采用抽象形式.由于求數(shù)的平方根的運(yùn)算是平方運(yùn)算的逆運(yùn)算，所以可用平方運(yùn)算求數(shù)的平方根.平方根有關(guān)事實(shí)的教學(xué)性質(zhì)是原理教學(xué)，它要遵循數(shù)學(xué)原理對(duì)應(yīng)的認(rèn)知過(guò)程觀，但這些事實(shí)相對(duì)比較簡(jiǎn)單，不必經(jīng)歷原理教學(xué)完整的認(rèn)知過(guò)程，可在求數(shù)的平方根之后，引導(dǎo)學(xué)生通過(guò)歸納猜想得到.實(shí)踐告訴我們，用演繹方式產(chǎn)生“已知x2=a，求x”的過(guò)程和所蘊(yùn)含的從運(yùn)算角度提出問(wèn)題的經(jīng)驗(yàn)，用抽象形式定義開平方和平方根的過(guò)程和所蘊(yùn)含的演繹思想、符號(hào)表示思想，解釋平方根概念的過(guò)程和所蘊(yùn)含的從數(shù)學(xué)概念中可以分解出判定和性質(zhì)兩個(gè)命題的經(jīng)驗(yàn)，用平方運(yùn)算求數(shù)的平方根的過(guò)程和所蘊(yùn)含的演繹思想、化歸思想、間接運(yùn)算的經(jīng)驗(yàn)，求數(shù)的平方根之后反思的過(guò)程和所蘊(yùn)含的歸納思想及數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)等，這些對(duì)發(fā)展學(xué)生的智力、能力和個(gè)性有積極的影響.

3.該課學(xué)生的認(rèn)知基礎(chǔ)和可能會(huì)遇到的認(rèn)知障礙

盡管學(xué)生有從運(yùn)算角度提出問(wèn)題的經(jīng)驗(yàn)，但從“底數(shù)指數(shù)=冪”中提出“已知x2=a，求x”，估計(jì)部分學(xué)生有難度；盡管學(xué)生學(xué)過(guò)許多數(shù)學(xué)概念，但從兩個(gè)方面去理解概念的本質(zhì)特征，大部分學(xué)生無(wú)先前經(jīng)驗(yàn)；盡管學(xué)生有逆運(yùn)算的經(jīng)歷與經(jīng)驗(yàn)，但學(xué)生還沒(méi)有養(yǎng)成這種間接運(yùn)算的習(xí)慣，估計(jì)部分學(xué)生不能自然地用平方運(yùn)算求數(shù)的平方根；盡管學(xué)生有合情推理的經(jīng)歷與經(jīng)驗(yàn)，但歸納猜想平方根的有關(guān)事實(shí)可能對(duì)部分學(xué)生來(lái)說(shuō)有一定困難.

二、選擇性決策

1.該課的教學(xué)目標(biāo)

根據(jù)上述分析結(jié)果，并用課標(biāo)、教材、學(xué)生三把篩子進(jìn)行篩選，該課的教學(xué)目標(biāo)可以設(shè)置為：經(jīng)歷回顧舊知與提出問(wèn)題的過(guò)程，能從運(yùn)算角度提出“已知x2=a，求x”，能感悟研究開平方運(yùn)算的意義；參與定義開平方和平方根的活動(dòng)，能陳述開平方和平方根的概念，能知道開平方與平方是互逆運(yùn)算，會(huì)用根號(hào)表示數(shù)的平方根和算術(shù)平方根，能感悟符號(hào)表示思想；參與求數(shù)的平方根的活動(dòng)，會(huì)用平方運(yùn)算求數(shù)的平方根，能知道平方根的有關(guān)事實(shí)，能感悟演繹思想和歸納思想，并在學(xué)習(xí)過(guò)程中有個(gè)性化的表現(xiàn).

2.該課的教學(xué)重點(diǎn)與難點(diǎn)

根據(jù)該課概念的地位與作用，以及所蘊(yùn)含的教育價(jià)值，其教學(xué)重點(diǎn)是平方根的概念和求數(shù)的平方根.因?yàn)橛酶?hào)表示平方根的式子在實(shí)數(shù)運(yùn)算中會(huì)經(jīng)常遇到，求數(shù)的平方根是學(xué)生需要掌握的基本技能.其教學(xué)難點(diǎn)是平方根的概念.因?yàn)閺膬蓚€(gè)方面去理解平方根概念的本質(zhì)特征學(xué)生無(wú)先前經(jīng)驗(yàn)，并且±具有雙重性含義比較抽象，許多學(xué)生不能自然地把±轉(zhuǎn)化為“（？）2=a”.

3.該課的教學(xué)結(jié)構(gòu)

根據(jù)抽象形式定義概念的認(rèn)知過(guò)程觀，該課教學(xué)結(jié)構(gòu)可用圖2表示.

圖2

這是一個(gè)以數(shù)學(xué)知識(shí)發(fā)生、發(fā)展過(guò)程為載體的學(xué)生認(rèn)知過(guò)程和以學(xué)生為主體的數(shù)學(xué)活動(dòng)過(guò)程.這個(gè)簡(jiǎn)單、自然、動(dòng)態(tài)、和諧的教學(xué)結(jié)構(gòu)，能使學(xué)生經(jīng)歷完整的數(shù)學(xué)思考過(guò)程，對(duì)促進(jìn)學(xué)生認(rèn)知與情感的變化與發(fā)展有積極的影響.

三、針對(duì)性設(shè)計(jì)

環(huán)節(jié)1：經(jīng)歷回顧舊知與提出問(wèn)題的過(guò)程——明確研究問(wèn)題

首先，教師指出：我們知道，52=25，它是已知底數(shù)和指數(shù)求冪的運(yùn)算.在“底數(shù)指數(shù)=冪”中，還能提出怎樣的運(yùn)算？

其次，教師解釋：事實(shí)上，許多實(shí)際問(wèn)題可以轉(zhuǎn)化為這些運(yùn)算.例如，要做一個(gè)面積為25cm2的正方形模型，它的邊長(zhǎng)應(yīng)取多少？這個(gè)問(wèn)題可以轉(zhuǎn)化為已知冪和指數(shù)求底數(shù)的運(yùn)算.

最后，揭示課題：既然這些運(yùn)算有豐富的現(xiàn)實(shí)情景，就有研究這些運(yùn)算的必要.已知x2=a（a是已知數(shù)），怎樣求x？本節(jié)課我們先來(lái)研究與之相關(guān)的問(wèn)題.

分析：提出問(wèn)題是概念教學(xué)不可忽視的一個(gè)環(huán)節(jié)，它旨在激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣和感悟研究的必要性.該課知識(shí)的生長(zhǎng)點(diǎn)是平方運(yùn)算.這個(gè)經(jīng)歷性數(shù)學(xué)活動(dòng)的內(nèi)容，不僅包括平方運(yùn)算，還包括從“底數(shù)指數(shù)=冪”中演繹出“已知x2=a（a是已知數(shù)），求x”的過(guò)程和所蘊(yùn)含的演繹思想及研究開平方運(yùn)算的意義.教學(xué)采用了教師價(jià)值引導(dǎo)下的學(xué)生自主體驗(yàn)的方法.它建立了新知識(shí)和舊知識(shí)之間的內(nèi)在聯(lián)系，能使學(xué)生感悟研究對(duì)象從哪里來(lái)和往何處去.

環(huán)節(jié)2：參與定義平方根的活動(dòng)——形成平方根的概念

第一，教師直接給出定義：一個(gè)數(shù)的平方等于a（a是已知數(shù)），求這個(gè)數(shù)的運(yùn)算，叫作開平方，這個(gè)數(shù)叫作a的平方根，也叫作a的二次方根.即：如果x2=a，那么求x的運(yùn)算叫作開平方，x叫作a的平方根.

第二，教師解釋：開平方與平方是互逆運(yùn)算.根據(jù)平方根概念可得：若x2=a，則x是a的平方根；若x是a的平方根，則x2=a.并舉例說(shuō)明.

第三，教師介紹平方根的符號(hào)表示，并提出算術(shù)平方根概念及其符號(hào)表示：數(shù)學(xué)上把正數(shù)a的平方根記作±.其中a叫作被開方數(shù)，±讀作正、負(fù)根號(hào)a；表示正數(shù)a的正平方根（讀作根號(hào)a）；-表示正數(shù)a的負(fù)平方根（讀作負(fù)根號(hào)a）.一個(gè)正數(shù)a的正平方根也叫作算術(shù)平方根，0的算術(shù)平方根是0，這樣一個(gè)數(shù)a（a≥0）的算術(shù)平方根可以記作.并舉例說(shuō)明.

分析：盡管平方根概念的教學(xué)要求是“了解”，但用根號(hào)表示平方根和算術(shù)平方根的式子在實(shí)數(shù)運(yùn)算中會(huì)經(jīng)常遇到，它需要學(xué)生知道用根號(hào)表示平方根和算術(shù)平方根的式子的含義.這個(gè)參與性數(shù)學(xué)活動(dòng)的內(nèi)容，不僅包括開平方、平方根、算術(shù)平方根的概念，平方根和算術(shù)平方根的符號(hào)表示，還包括開平方與平方是互逆運(yùn)算，從數(shù)學(xué)概念中可以分解出判定和性質(zhì)兩個(gè)命題的經(jīng)驗(yàn)，用根號(hào)表示平方根式子的含義，（2=a和具有雙重非負(fù)性.教學(xué)采用了教師價(jià)值引導(dǎo)下的學(xué)生自主體驗(yàn)的方法.它揭示了平方根概念的本質(zhì)特征，暗示了求數(shù)的平方根的方法，能使學(xué)生知道有雙重性含義和雙重非負(fù)性.

環(huán)節(jié)3：參與求數(shù)的平方根的活動(dòng)——求具體數(shù)的平方根

首先，教師指出：由于開平方與平方是互逆運(yùn)算，所以我們可用平方運(yùn)算來(lái)求數(shù)的平方根，并示范求9的平方根的過(guò)程.

其次，教師要求學(xué)生模仿樣例求下列各數(shù)的平方根：

在求上述各數(shù)的平方根之后，教師要求學(xué)生寫出上述各數(shù)的算術(shù)平方根分別是什么，猜一猜關(guān)于數(shù)的平方根有什么結(jié)論.

再次，教師要求學(xué)生先說(shuō)出下列各式的意義，再計(jì)算.

最后，要求學(xué)生完成課本中的練習(xí)題，待學(xué)生完成任務(wù)后進(jìn)行交互反饋與評(píng)價(jià).

分析：用平方運(yùn)算求數(shù)的平方根是整節(jié)課認(rèn)知過(guò)程的后半段，求數(shù)的平方根是該課的教學(xué)重點(diǎn)，是學(xué)生需要掌握的基本技能，“（）2=a”和“=|a|”在后繼學(xué)習(xí)中會(huì)經(jīng)常用到.這個(gè)參與性數(shù)學(xué)活動(dòng)的內(nèi)容，不僅包括求數(shù)的平方根，還包括求數(shù)的平方根的過(guò)程和所蘊(yùn)含的演繹思想，平方根的有關(guān)事實(shí)，以及獲得平方根有關(guān)事實(shí)的過(guò)程和所蘊(yùn)含的歸納思想.教學(xué)采用了教師價(jià)值引導(dǎo)與學(xué)生自主建構(gòu)相結(jié)合的先“放”后“收”的適度開放的方法.它能促使學(xué)生養(yǎng)成用平方運(yùn)算間接求平方根的習(xí)慣，增強(qiáng)計(jì)算之后反思的意識(shí)，感悟計(jì)算過(guò)程中所蘊(yùn)含的演繹思想和獲得平方根有關(guān)事實(shí)過(guò)程中所蘊(yùn)含的歸納思想等.

環(huán)節(jié)4：參與回顧與思考的活動(dòng)——欣賞研究?jī)?nèi)容與研究方法

首先，教師出示下列問(wèn)題清單，并要求學(xué)生圍繞問(wèn)題清單進(jìn)行回顧與思考.

（1）本節(jié)課研究了哪些內(nèi)容？

（2）“已知x2=a，求x”是從哪里來(lái)的？為何學(xué)習(xí)求數(shù)的平方根？

（3）我們是用什么方法來(lái)求數(shù)的平方根的？

（4）大家在學(xué)習(xí)過(guò)程中有何感觸？

其次，教師組織學(xué)生進(jìn)行合作交流，同時(shí)教師邊傾聽、邊評(píng)價(jià).

最后，教師總結(jié)該課的研究?jī)?nèi)容與研究方法，并指出以后可用計(jì)算器來(lái)求一個(gè)數(shù)的平方根（或其近似值）.

分析：課堂總結(jié)也是整節(jié)課認(rèn)知過(guò)程的后半段，旨在欣賞研究?jī)?nèi)容與研究方法，感悟研究過(guò)程和所蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想及積淀求數(shù)的平方根的經(jīng)驗(yàn).這個(gè)參與式數(shù)學(xué)活動(dòng)的內(nèi)容，不僅包括回顧研究?jī)?nèi)容與研究方法，還包括交流學(xué)生學(xué)習(xí)后的感悟.教學(xué)采用了問(wèn)題清單引導(dǎo)下的學(xué)生獨(dú)立回顧與思考基礎(chǔ)上的交互反饋和交互反饋基礎(chǔ)上的教師總結(jié)性講解的方法.它有助于學(xué)生深化認(rèn)識(shí)，產(chǎn)生個(gè)性化的想法，并對(duì)學(xué)生增強(qiáng)反思意識(shí)，發(fā)展語(yǔ)言表達(dá)能力，以及養(yǎng)成敢想、敢說(shuō)、敢于創(chuàng)新的良好習(xí)慣有積極的影響.

參與研修的教師普遍認(rèn)為該課的教學(xué)解讀，能促進(jìn)教師發(fā)展實(shí)踐性智慧，能促使教師感悟改變當(dāng)前“只教不研”現(xiàn)象的必要性.因此，一般地，生成高立意教學(xué)方案要經(jīng)歷“精致化分析→選擇性決策→針對(duì)性設(shè)計(jì)→反思性審核”的過(guò)程.精致化分析主要是：理解數(shù)學(xué)——研究的對(duì)象、涉及的數(shù)學(xué)結(jié)果及其地位與作用；理解教學(xué)——涉及數(shù)學(xué)結(jié)果的教學(xué)性質(zhì)及其認(rèn)知過(guò)程和所蘊(yùn)含的教育價(jià)值；理解學(xué)生——學(xué)生的認(rèn)知基礎(chǔ)和可能會(huì)遇到的認(rèn)知障礙.選擇性決策主要是：先用課標(biāo)、教材、學(xué)生三把篩子對(duì)分析的結(jié)果進(jìn)行過(guò)濾，再確定其全面、和諧的教學(xué)目標(biāo)；根據(jù)數(shù)學(xué)結(jié)果的地位與作用和所蘊(yùn)含的教育價(jià)值確定教學(xué)重點(diǎn)，根據(jù)數(shù)學(xué)結(jié)果的抽象程度和學(xué)生的實(shí)際確定教學(xué)難點(diǎn)；根據(jù)涉及數(shù)學(xué)結(jié)果的邏輯結(jié)構(gòu)和所蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想方法結(jié)構(gòu)，確定易于學(xué)生接受的教學(xué)順序結(jié)構(gòu).針對(duì)性設(shè)計(jì)就是將選擇性決策中形成的教學(xué)思想轉(zhuǎn)化為具體的教學(xué)行為——根據(jù)確定的教學(xué)結(jié)構(gòu)和數(shù)學(xué)結(jié)果的類型有針對(duì)性地設(shè)計(jì)教學(xué)；根據(jù)數(shù)學(xué)結(jié)果的特點(diǎn)、教學(xué)目標(biāo)和學(xué)生實(shí)際，選擇教學(xué)的載體與方法.反思性審核就是審查：精致化分析是否全面，選擇性決策是否合理，針對(duì)性設(shè)計(jì)是否合適.若教師能改變當(dāng)前“只教不研”的現(xiàn)象，并能遵循上述教學(xué)設(shè)計(jì)的基本規(guī)范，則定能剖解當(dāng)前過(guò)程教育不到位的疑難問(wèn)題.