化繁為簡(jiǎn)，巧用直線的參數(shù)方程

程璐

摘 要：本文主要從四個(gè)方面，舉例說明如何使用直線的參數(shù)方程，求弦長(zhǎng)，解決中點(diǎn)問題，求軌跡方程，證明相關(guān)等式，通過直線的參數(shù)方程可以化繁為簡(jiǎn)，有效提高做題效率。

在平面幾何里，一些關(guān)于焦點(diǎn)弦長(zhǎng)、某點(diǎn)的坐標(biāo)、軌跡方程、等式證明等類型的題目，我們可以考慮運(yùn)用直線的參數(shù)方程去分析解決。它的優(yōu)點(diǎn)在于，能化繁為簡(jiǎn)、減少計(jì)算過程，從而明顯提高做題效率。

首先，直線的參數(shù)方程的標(biāo)準(zhǔn)式：過點(diǎn) 傾斜角為 的直線 參數(shù)方程為 （t為參數(shù)， 為直線的傾斜角）

t的幾何意義是：t表示有向線段 的數(shù)量， 為直線上任意一點(diǎn)。

一、用直線的參數(shù)方程求弦長(zhǎng)相關(guān)問題

如果知道過某點(diǎn)的某一直線與一個(gè)圓錐曲線相交，要求出直線被截的弦長(zhǎng)。我們可把這一直線的參數(shù)方程代入圓錐曲線的方程里，然后利用韋達(dá)定理和參數(shù)t的幾何意義得出弦長(zhǎng)。

例1過點(diǎn) 有一條傾斜角為 的直線與圓 相交，求直線被圓截得的弦長(zhǎng)。

分析：1、考慮點(diǎn)P在不在圓上；2本題用一般方法解要寫出直線方程，然后代入圓方程，要想求出弦長(zhǎng)過程比較復(fù)雜、 計(jì)算量大；3、適合運(yùn)用直線的參數(shù)方程進(jìn)行求解。解：把點(diǎn) 代入圓的方程，得 所以點(diǎn)P不在圓上，在圓內(nèi)可設(shè)直線與圓的交點(diǎn)分別為A、B兩點(diǎn)由題意得直線的參數(shù)方程為 ，（t為參數(shù)）代入圓的方程，得 整理后得 ①因?yàn)棣? 設(shè)①的兩根為 ，即對(duì)應(yīng)交點(diǎn)A、B的參數(shù)值，由韋達(dá)定理得 ； 由t的幾何意義，得弦長(zhǎng)

評(píng)注： 此類求弦長(zhǎng)的問題，若運(yùn)用直線的參數(shù)方程參數(shù)方程去解，根據(jù)參數(shù)t的幾何意義和韋達(dá)定理就能比較簡(jiǎn)捷的求出弦長(zhǎng)。

小結(jié)：我們?cè)谶\(yùn)用直線的參數(shù)方程解決求弦長(zhǎng)問題時(shí)，發(fā)現(xiàn)在解決例1

此類題型時(shí)有一定的規(guī)律，這個(gè)規(guī)律在解決此類問題時(shí)可以當(dāng) 公式來用，對(duì)解題速度很有幫助的。下面我對(duì)這個(gè)規(guī)律進(jìn)行闡述：方法總結(jié)：求二次曲線 ①截直線 ② （t是參數(shù)， 為直線的傾斜角） 所得的弦的長(zhǎng)。

解：由①和②消去 整理后，若能得到t的二元一次方程：

③

則當(dāng)有Δ= ，截得的弦長(zhǎng)為 （公式一）

證明：設(shè) 為③的兩個(gè)實(shí)根，根據(jù)韋達(dá)定理有 ④

又設(shè)直線與二次曲線的兩個(gè)交點(diǎn)為 ，則

， ⑤

根據(jù)兩點(diǎn)的距離公式，由④，⑤得弦長(zhǎng)

（證畢）

上述公式適用于已知直線的傾斜角，那如果已知直線的斜率呢？

例2若拋物線 截直線 所得的弦長(zhǎng)是 ，求 的值。

解：由直線的方程 ，得直線的斜率k= =2，且直線恒過點(diǎn)

∴該直線的參數(shù)方程為 ，（t為參數(shù)）

把參數(shù)方程代入拋物線方程，整理后得

因?yàn)閠是實(shí)數(shù)，所以Δ=

由公式二，有 解得

評(píng)注：我們通過運(yùn)用直線的參數(shù)方程得到了公式一和公式二，在解決關(guān)于弦長(zhǎng)問題時(shí)運(yùn)用公式一或者公式二解題就會(huì)更加方便。如果題目已知的是直線的傾斜角，就應(yīng)該考慮用公式一；如果題目已知的是直線的斜率，就應(yīng)該先考慮用公式二。

運(yùn)用直線的參數(shù)方程解中點(diǎn)問題

例3已知過點(diǎn) ，斜率為 的直線和拋物線 相交于A，B兩點(diǎn)，若AB的中點(diǎn)為M，求點(diǎn)M坐標(biāo)。

解：設(shè)過點(diǎn) 的傾斜角為 ，則 ，則 ，

可設(shè)直線的參數(shù)方程為 （t為參數(shù)）把參數(shù)方程代入拋物線方程 中，整理后得 ，設(shè) 為方程的兩個(gè)實(shí)根，即為A，B兩點(diǎn)的對(duì)應(yīng)參數(shù)，根據(jù)韋達(dá)定理 ，由M為線段AB的中點(diǎn)，根據(jù)的幾何意義可得

所以M所對(duì)應(yīng)的參數(shù)為 ，將此值代入直線的參數(shù)方程里，得M的坐標(biāo) 即

評(píng)注：在直線的參數(shù)方程中，當(dāng) 時(shí)，則 的方向向上；當(dāng) 時(shí)，則 的方向向下，所以AB中點(diǎn)M對(duì)應(yīng)的參數(shù)t的值是 ，這與求兩點(diǎn)之間的中點(diǎn)坐標(biāo)有點(diǎn)相似。

三、運(yùn)用直線的參數(shù)方程求軌跡方程

運(yùn)用直線的參數(shù)方程，我們根據(jù)參數(shù)t的幾何意義得出某些線段的數(shù)量關(guān)系，然后建立相關(guān)等式，最后可得出某動(dòng)點(diǎn)的軌跡。

例4 過原點(diǎn)的一條直線，交圓 于點(diǎn) ，在直線 上取一點(diǎn) ，使 到直線 的距離等于 ，求當(dāng)這條直線繞原點(diǎn)旋轉(zhuǎn)時(shí)點(diǎn) 的軌跡。

解：設(shè)該直線的方程為

，t為參數(shù)， 為直線的傾斜角

把直線方程代入圓方程，得

即 根據(jù)公式一，可得 ，

可設(shè) 點(diǎn)坐標(biāo)為 ，其對(duì)應(yīng)的參數(shù)值為t，則有 ，因?yàn)?，所以 易知，點(diǎn) 到直線 的距離是 ，即 由題意有 = 等式兩邊同時(shí)平方，化簡(jiǎn)后得 解得 或

當(dāng) 時(shí)，軌跡的一支為 ；當(dāng) 時(shí)， ，從而得另一支軌跡 即 ；

因此所求軌跡系是由圓 和直線 組成。

評(píng)注：遇到此類題目，考慮運(yùn)用直線的參數(shù)方程先把弦長(zhǎng)求出來， 在根據(jù)題意建立相關(guān)等式，根據(jù)等式消元化簡(jiǎn)得出結(jié)果，本題的關(guān)鍵主要是建立等式 = 。

四、運(yùn)用直線的參數(shù)方程證明相關(guān)等式

運(yùn)用直線的參數(shù)方程，由參數(shù)t的幾何意義，可以得到一些數(shù)量關(guān)系，對(duì)證明一些幾何等式很有幫助。

例5設(shè)過點(diǎn) 的直線交拋物線 于B、C，求證：

證明：設(shè)過點(diǎn) 的直線的參數(shù)方程為 （t為參數(shù)， 為直線的傾斜角）

因?yàn)橹本€與拋物線交B、C兩點(diǎn)，故 。把直線參數(shù)方程代入拋物線方程，整理后得

設(shè) 為兩根，即點(diǎn)B、C的對(duì)應(yīng)參數(shù)值，根據(jù)韋達(dá)定理得

； 根據(jù)參數(shù)t的幾何意義有AB= ，AC= ，所以

評(píng)注：在證明一些相關(guān)等式問題時(shí)，引用直線的參數(shù)方程輔助證明，會(huì)讓證明思路更加清晰易懂，在證明過程中根據(jù)參數(shù)t的幾何意義，用參數(shù)t去替換其它變量，把所要證的等式化繁為簡(jiǎn)。

總之，我們運(yùn)用直線的參數(shù)方程對(duì)以上例題進(jìn)行了解答，在解題過程中，我們能體會(huì)到直線參數(shù)方程的魅力所在，它使我們?cè)诮鉀Q很多問題時(shí)可以化繁為簡(jiǎn)、容易理解。從中，我們還發(fā)現(xiàn)直線參數(shù)方程的參數(shù)t和韋達(dá)定理的和諧統(tǒng)一，這會(huì)讓我們感受到數(shù)學(xué)的簡(jiǎn)潔美，并為我們的解題帶來了無窮的想象空間和更為廣闊的解題思路。

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