解幾運(yùn)算教學(xué) 讓學(xué)生吃點(diǎn)“虧”也好①

崔志榮

(江蘇省東臺(tái)市安豐中學(xué) 224221)

1 提出問題

眾所周知，運(yùn)算是制約學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的一個(gè)重要因素，尤其是解析幾何，運(yùn)算問題更突出，筆者分析有以下兩個(gè)原因：

(1)不少學(xué)生字母數(shù)式運(yùn)算能力差，他們怕運(yùn)算，運(yùn)算習(xí)慣差，運(yùn)算出錯(cuò)率高；

(2)不擇思路、不善算理分析.有些學(xué)生運(yùn)算能力并不差、習(xí)慣也好，而且他們的數(shù)學(xué)分析能力也不差，他們能找到解題思路，但往往一找到解題方法就做下去，他們不善思辨不同的解題思路，不能權(quán)衡不同方法的優(yōu)劣，不能合理優(yōu)化解題方法，加之不善算理分析，以致解題運(yùn)算失敗.

原因之一需要長(zhǎng)期鼓勵(lì)學(xué)生強(qiáng)化運(yùn)算訓(xùn)練、耐心引導(dǎo)規(guī)范解題，方能有效；原因之二要從解題教學(xué)上解決，需要合理引導(dǎo)學(xué)生分析比較不同的解題思路，讓學(xué)生抉擇解題方法，久而久之，能夠提高他們解題的成功率.本文側(cè)重原因之二的解題教學(xué)探討，力圖讓學(xué)生重視解題思路的權(quán)衡比較，從而合理選擇解題方法，提高運(yùn)算的成功率.

2 問題剖析

日常教學(xué)研討課中，不少教師都善于一題多解，但往往缺少解題思路的分析，也不管解法是否來得自然、學(xué)生能否想到，變成了解法的堆砌，更缺少解法間的比較分析，對(duì)學(xué)生考試幫助不足夠大，因?yàn)榭荚嚂r(shí)間有限，有些解法易想但運(yùn)算耗時(shí)，放棄又不甘心，有時(shí)甚至出現(xiàn)耗去大量時(shí)間還不能完成的情況，影響其他題目的完成、影響整場(chǎng)考試.

在解析幾何中，上述現(xiàn)象比較普遍，比如常見的直線過定點(diǎn)問題，思路易想，求出直線上兩點(diǎn)的坐標(biāo)，再化簡(jiǎn)直線方程得定點(diǎn)，然而往往化簡(jiǎn)直線方程的運(yùn)算量較大，很多學(xué)生難以化簡(jiǎn)而失?。皇聦?shí)上，如能運(yùn)用“先猜后證”的策略，先通過一些特殊情況得出定點(diǎn)坐標(biāo)，然后再證明三點(diǎn)共線，則能減少運(yùn)算量.也許有教師會(huì)說，解析幾何中的這些思想方法，我們都反復(fù)講過多次，但學(xué)生碰到具體問題就是不能運(yùn)用.學(xué)生為什么不能運(yùn)用思想方法呢？其實(shí)，這些思想方法，學(xué)生雖懂但反思不夠，理解不夠深刻且對(duì)其重要性認(rèn)識(shí)不足，到具體解決問題時(shí)，自然不能運(yùn)用.

怎樣才能讓學(xué)生重視這些思想方法并認(rèn)真反思呢？?jī)H僅憑教師的口頭分析，不能引起學(xué)生的足夠重視，得讓他們吃“虧”！先讓他們用自己想到的初級(jí)方法完成，要不怕浪費(fèi)時(shí)間，然后再引導(dǎo)他們思考解題策略，再讓他們重新完成解題過程.如此再來分析比較方法的優(yōu)劣，分析運(yùn)算量的大小，讓他們自己權(quán)衡考試時(shí)應(yīng)該用什么方法？還運(yùn)用自己想到的初級(jí)方法行不行？他們自然會(huì)意識(shí)到這些方法策略的重要性，要加強(qiáng)研究和反思，還用原來的方法，運(yùn)算時(shí)間太長(zhǎng)，考試時(shí)間不夠！久而久之，教師講的這些方法策略才能被學(xué)生接受.為此，本文將結(jié)合兩個(gè)具體的教學(xué)案例，展示讓學(xué)生吃“虧”的教學(xué)過程.

圖1

3 教學(xué)案例

(1)若直線PQ過原點(diǎn)O，求k1k2的值；

(2)設(shè)b=1，k1k2=-1，試探究直線PQ是否過定點(diǎn)？若過，則求出定點(diǎn)坐標(biāo)；否則請(qǐng)說明理由.

為讓學(xué)生對(duì)“先猜后證”的解題策略的理解更深刻，不宜直接引導(dǎo)學(xué)生理解運(yùn)用，需要讓學(xué)生運(yùn)用他們想到的初級(jí)方法完成，得讓他們吃“虧”，然后再與教師引導(dǎo)的優(yōu)化方法比較，他們印象才深刻.學(xué)生通常先是化簡(jiǎn)直線PQ的斜率，然后用點(diǎn)斜式方程化簡(jiǎn)直線PQ的方程，最后求出直線PQ所過的定點(diǎn).給他們15分鐘左右的時(shí)間讓他們運(yùn)算，看有多少學(xué)生能夠求出定點(diǎn)，并借此向?qū)W生說明，如果考試遇到這類定點(diǎn)定值問題，我們機(jī)械運(yùn)算求解，會(huì)耗費(fèi)大量時(shí)間，甚至還不能完成，并且還會(huì)影響其他題目的完成，因此，我們需要運(yùn)用重新優(yōu)化這道題的解法.這樣，學(xué)生才更樂于接受教師引導(dǎo)的解題策略，對(duì)方法的理解才會(huì)更主動(dòng)、更易于接受.基于此，教師提出如下問題：

問題本題中的定點(diǎn)問題，直接化簡(jiǎn)直線方程求定點(diǎn)，運(yùn)算難度很大，我們需要變換角度解決問題，我們能不能先找到定點(diǎn)？然后再證明這個(gè)定點(diǎn)滿足題意呢？

讓學(xué)生從問題中初步理解“先猜后證”的解題策略.由此再提出，我們運(yùn)用怎樣的手段才能找到這個(gè)定點(diǎn)呢？學(xué)生通常能想到，運(yùn)用特殊化的手段可以得到定點(diǎn).于是，有學(xué)生就會(huì)提出，取k的兩個(gè)特殊值，分別得到兩條直線PQ的方程，其交點(diǎn)就是定點(diǎn).同樣這也不是最簡(jiǎn)潔的找定點(diǎn)的方法，但不要著急，讓學(xué)生做做，讓他們?cè)诔浴疤潯敝谐砷L(zhǎng).最后投影展示一學(xué)生的過程：

圖2

(1)求橢圓E的方程；

(2)過點(diǎn)F作直線l與橢圓E交于M,N兩點(diǎn)，連接MO(O為原點(diǎn))并延長(zhǎng)交橢圓E于點(diǎn)Q，求△MNQ的面積的最大值，以及取得最大值時(shí)直線l的方程.

案例2是我校2017屆高三一次檢測(cè)考試的題目，第(2)小題區(qū)分度很大，部分學(xué)生不會(huì)分析找不到解題思路、部分學(xué)生有思路又因運(yùn)算能力差而無法完成；還有一個(gè)原因，這道題主要有兩個(gè)處理方法，一個(gè)方法容易完成，另一個(gè)方法若有好的解題習(xí)慣、注意解題過程的反思，也容易完成，否則容易陷入困境.這道題的教學(xué)過程復(fù)雜、耗時(shí)大，既要引導(dǎo)學(xué)生學(xué)會(huì)分析找思路，又要加強(qiáng)學(xué)生運(yùn)算能力的訓(xùn)練，并且還要讓學(xué)生學(xué)會(huì)反思才能優(yōu)化解題.為此，筆者花了一整節(jié)課完成了該題的教學(xué)，以下將粗略回顧這節(jié)課的教學(xué)流程，重點(diǎn)展示讓學(xué)生吃“虧”的教學(xué)過程.

流程二：方法探討.怎樣求△MNQ的面積呢？并要求已想到方法的同學(xué)，還要思考有沒有別的處理方法？由此總結(jié)得到如下兩種處理方法：

①S△MNQ=2S△MNO，然后以O(shè)F為底求面積，得S△MNQ=OFyM-yN；

②仍用S△MNQ=2S△MNO，以MN為底，過原點(diǎn)作高h(yuǎn)求面積，得S△MNQ=MN·h；

流程三：分析方法①運(yùn)算步驟，并要求未能用該方法正確完成的同學(xué)再完成，最后投影展示一學(xué)生的解答解讀；

4 教學(xué)反思

常聽一些教師說，這個(gè)方法已講過多次，還有不少學(xué)生不會(huì)運(yùn)用.出現(xiàn)這種情況，無非兩種原因：一是學(xué)生基礎(chǔ)差且方法的理解要求高，不論教師怎么引導(dǎo)，總有學(xué)生學(xué)不會(huì)；二是教師引導(dǎo)不當(dāng)，硬塞給學(xué)生，學(xué)生排斥不接受.對(duì)于前者，要因材施教，們樂意去研究，則更容易理解接受， 同時(shí)教學(xué)引導(dǎo)還要順勢(shì)而為，逆著學(xué)生的想法評(píng)講，他們排斥難接受.本文中的吃“虧”教學(xué)，實(shí)際上是因勢(shì)利導(dǎo)，順著學(xué)生的思路方法走，當(dāng)他們碰到困難時(shí)，再向教師預(yù)設(shè)的目標(biāo)加以引導(dǎo)，學(xué)生自然愿意接受.

就解析幾何而言，教學(xué)的兩個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)：一是思路方法的研究；二是運(yùn)算能力的培養(yǎng).對(duì)思路單一的解幾題，只有加強(qiáng)運(yùn)算教學(xué)了.但很多解幾題思路方法靈活，有時(shí)不同方法的運(yùn)算差異相當(dāng)大，這需要教師合理引導(dǎo)學(xué)生選擇思路方法，為讓學(xué)生樂意接受教師的方法策略，需要比較分析教學(xué)，要充分體現(xiàn)運(yùn)用思想方法的優(yōu)越性，為此，讓學(xué)生吃“虧”的必要性就很大，學(xué)生用自己想到的初級(jí)方法耗時(shí)太大，甚至不能完成，他們當(dāng)然就心悅誠服地接受教師的解題策略.