基于數(shù)學(xué)文化視角的命題研究①

祁 平 任子朝 陳 昂 趙 軒

(1.江蘇省蘇州市教育科學(xué)研究院 215004； 2.教育部考試中心 100084)

數(shù)學(xué)是源于物質(zhì)，植根于現(xiàn)實(shí)的文化，與人類生活和社會(huì)發(fā)展緊密關(guān)聯(lián).《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2017年版)》將體現(xiàn)數(shù)學(xué)的人文價(jià)值作為基本理念之一，課程性質(zhì)中指出“數(shù)學(xué)不僅是運(yùn)算和推理的工具，還是表達(dá)和交流的語言.數(shù)學(xué)承載著思想和文化，是人類文明的重要組成部分.”新修訂的課程標(biāo)準(zhǔn)注重?cái)?shù)學(xué)文化的滲透，強(qiáng)調(diào)數(shù)學(xué)與生活以及其他學(xué)科的聯(lián)系，不斷引導(dǎo)學(xué)生感悟數(shù)學(xué)的科學(xué)價(jià)值、應(yīng)用價(jià)值、文化價(jià)值和審美價(jià)值，并特別強(qiáng)調(diào)數(shù)學(xué)是人類文化的重要組成部分.高考數(shù)學(xué)作為選拔人才的重要手段，要發(fā)揮對(duì)中學(xué)數(shù)學(xué)教育的導(dǎo)向作用，更要體現(xiàn)數(shù)學(xué)的文化價(jià)值，本文將從數(shù)學(xué)文化的視角對(duì)命題、考試及其評(píng)價(jià)進(jìn)行探討.

1 數(shù)學(xué)、數(shù)學(xué)文化與“立德樹人”

1.1 數(shù)學(xué)的理解

數(shù)學(xué)是研究空間形式和數(shù)量關(guān)系的科學(xué)，是刻畫自然規(guī)律和社會(huì)規(guī)律的科學(xué)語言和有效工具[1].數(shù)學(xué)是理性與抽象的結(jié)合物，它的最基本要求就是嚴(yán)密精準(zhǔn).數(shù)學(xué)充滿了神奇，它需要縝密的思維，超強(qiáng)的分析.邏輯，合理，嚴(yán)密、精準(zhǔn)是數(shù)學(xué)在其他學(xué)科廣泛應(yīng)用的基礎(chǔ).數(shù)學(xué)的內(nèi)涵，包括用數(shù)學(xué)的觀點(diǎn)觀察現(xiàn)實(shí)，構(gòu)造數(shù)學(xué)模型，應(yīng)用數(shù)學(xué)的語言、圖表、符號(hào)進(jìn)行數(shù)學(xué)交流.通過理性思維，培養(yǎng)嚴(yán)謹(jǐn)素質(zhì)，追求創(chuàng)新精神，欣賞數(shù)學(xué)之美.

數(shù)學(xué)科學(xué)在社會(huì)發(fā)展中起著特殊的無法替代的作用.馬克思曾指出，任何一門學(xué)科是否成熟，只要看這門學(xué)科中數(shù)學(xué)應(yīng)用的程度.在現(xiàn)代社會(huì)，人們更認(rèn)識(shí)到無論是自然科學(xué)，還是經(jīng)濟(jì)科學(xué)、社會(huì)科學(xué)的發(fā)展中，數(shù)學(xué)都發(fā)揮了越來越重要的作用.2016年三位英美科學(xué)家大衛(wèi)·索利斯、鄧肯·霍爾丹、邁克爾·科斯特利茨獲獎(jiǎng).獲獎(jiǎng)理由是“理論發(fā)現(xiàn)拓樸相變和拓樸相物質(zhì)”(拓樸是數(shù)學(xué)的一個(gè)分支，它研究的是當(dāng)一個(gè)物體在未被撕裂的條件下，被拉伸、扭曲或變形時(shí)保持不變的特性).2016年紐約時(shí)報(bào)記者曾報(bào)道，雖然諾貝爾獎(jiǎng)不設(shè)數(shù)學(xué)獎(jiǎng)，但是，數(shù)學(xué)以其神奇的方式領(lǐng)取了2016諾貝爾物理獎(jiǎng).在智能時(shí)代，數(shù)學(xué)建模、算法的重要價(jià)值顯得更為重要.數(shù)學(xué)不僅影響著人工智能的深度學(xué)習(xí)的水平，而且在給予人類形成理性思維、改善與發(fā)展人的思維品質(zhì)的過程中，永遠(yuǎn)會(huì)起到獨(dú)特的、不可替代的作用.因此，數(shù)學(xué)是人類文化的重要組成部分.

1.2 數(shù)學(xué)文化的內(nèi)涵

數(shù)學(xué)文化是指數(shù)學(xué)的思想、精神、方法、觀點(diǎn)、語言以及數(shù)學(xué)的概念和思想方法在形成和發(fā)展中所體現(xiàn)的文化特征與文化價(jià)值.[2]廣義上還包括數(shù)學(xué)家、數(shù)學(xué)史、數(shù)學(xué)美、數(shù)學(xué)教育、數(shù)學(xué)發(fā)展中的人文成分，還包括數(shù)學(xué)與社會(huì)的聯(lián)系、數(shù)學(xué)與各種文化的關(guān)系等等.

在數(shù)學(xué)發(fā)展的歷史長河中，數(shù)學(xué)文化高度體現(xiàn)了人類為探索真理不屈不撓、永往直前乃至奮不顧身的崇高精神；數(shù)學(xué)是人類心靈最突特的創(chuàng)作，因此數(shù)學(xué)文化也體現(xiàn)了人們創(chuàng)造美好世界的精神向往，數(shù)學(xué)以其特殊的方式給了人類無窮的創(chuàng)造力.數(shù)學(xué)文化是一種理性的文化，它影響著人們的品格健全和健康心理的養(yǎng)成.

王梓坤先生總結(jié)了數(shù)學(xué)在四個(gè)方面的巨大作用，其中一條就是“對(duì)全體人民的科學(xué)思維與文化素質(zhì)的哺育.”他進(jìn)一步指出：“數(shù)學(xué)文化具有比數(shù)學(xué)知識(shí)體系更為豐富和深邃的文化內(nèi)涵，數(shù)學(xué)文化是對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)、技能、能力和素質(zhì)等概念的高度概括.”[3]我們學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)不僅是為了獲取知識(shí)，更能通過數(shù)學(xué)接受數(shù)學(xué)精神、數(shù)學(xué)思想和數(shù)學(xué)方法的熏陶，提高思維能力，鍛煉思維品質(zhì).

1.3 數(shù)學(xué)文化的教育價(jià)值

數(shù)學(xué)是科學(xué)的語言文化，是人類智力開發(fā)的工具，是人類傳播思想的一種基本方式.數(shù)學(xué)不僅在應(yīng)用中充滿了理性精神和創(chuàng)新精神，還具有良好的德育教育價(jià)值，是人類社會(huì)開啟科學(xué)大門的鑰匙.《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2017年版)》中指出：數(shù)學(xué)在形成人的理性思維、科學(xué)精神和促進(jìn)個(gè)人智力發(fā)展的過程中發(fā)揮著不可替代的作用.數(shù)學(xué)素養(yǎng)是現(xiàn)代社會(huì)每一個(gè)公民應(yīng)該具備的基本素養(yǎng).數(shù)學(xué)教育承載著落實(shí)立德樹人根本任務(wù)、發(fā)展素質(zhì)教育的功能.作為文化的數(shù)學(xué)，其課程全面關(guān)注“真”的演繹，高度體現(xiàn)“真”的教育——千教萬教，教人求真，千學(xué)萬學(xué)，學(xué)做真人.作為文化的數(shù)學(xué)，其課程不僅能幫助學(xué)生掌握現(xiàn)代生活和學(xué)習(xí)必需的數(shù)學(xué)知識(shí)、技能、思想和方法，更發(fā)揮著數(shù)學(xué)在培養(yǎng)人的思維能力、創(chuàng)新意識(shí)以及形成正確世界觀方面的特有作用，有利于促進(jìn)學(xué)生全面發(fā)展.日本教育家米山國藏認(rèn)為：“成功的數(shù)學(xué)教育，應(yīng)當(dāng)是數(shù)學(xué)的精神、思想方法深深地永遠(yuǎn)地銘刻在學(xué)生的頭腦里，長久地活躍于他們?nèi)粘５氖聞?wù)中，雖然那時(shí)，數(shù)學(xué)的知識(shí)可能已經(jīng)淡忘了”.因此，數(shù)學(xué)教育是一種文化的教育.

李大潛院士提出：“數(shù)學(xué)是一種先進(jìn)的文化，是人類文明的重要基礎(chǔ).它的產(chǎn)生和發(fā)展在人類文明的進(jìn)程中起著重要的推動(dòng)作用，占有舉足輕重的地位.”[4]美國著名數(shù)學(xué)家克萊因(M. Kline)認(rèn)為：“數(shù)學(xué)是一種精神，一種理性的精神.”[5]正是這種精神，激發(fā)、促進(jìn)、鼓舞并驅(qū)使人類的思維得以運(yùn)用到最完善的程度.正是這種精神，試圖決定性地影響人類的物質(zhì)、道德和社會(huì)生活；試圖回答有關(guān)人類自身存在提出的問題；努力去理解和控制自然；盡力去探求和確立已經(jīng)獲得的最深刻的、最完美的內(nèi)涵.而這正是數(shù)學(xué)的教育價(jià)值.

2 數(shù)學(xué)文化視角下的高考數(shù)學(xué)

教育部考試中心下發(fā)《關(guān)于2017年普通高考考試大綱修訂內(nèi)容的通知》(教試中心函〔2016〕179號(hào))，增加了數(shù)學(xué)文化的要求，明確提出在高考數(shù)學(xué)考題中要體現(xiàn)數(shù)學(xué)文化，這體現(xiàn)了數(shù)學(xué)學(xué)科對(duì)學(xué)生核心素養(yǎng)的考核，要求學(xué)生加強(qiáng)對(duì)數(shù)學(xué)文化知識(shí)的學(xué)習(xí)，自覺地、有針對(duì)性地重視對(duì)數(shù)學(xué)文化修養(yǎng)的提升.在高考試題中滲透數(shù)學(xué)文化，不僅彰顯數(shù)學(xué)的人文特征，豐富數(shù)學(xué)高考內(nèi)容，而且可以正確引導(dǎo)中學(xué)數(shù)學(xué)的教學(xué)，使得更多的教師關(guān)注數(shù)學(xué)文化，強(qiáng)化立德樹人的理念，將數(shù)學(xué)的本質(zhì)教授給學(xué)生.

2.1 以數(shù)學(xué)文化為載體的數(shù)學(xué)命題

基于數(shù)學(xué)的歷史、社會(huì)的發(fā)展和科技的不斷進(jìn)步，數(shù)學(xué)文化所涉及的內(nèi)容相當(dāng)寬泛，如何在高考試題中體現(xiàn)數(shù)學(xué)文化？全國高考命題的基本理念和做法是，數(shù)學(xué)文化主要考查我國古代優(yōu)秀數(shù)學(xué)成果和數(shù)學(xué)史的內(nèi)容，通過命題引導(dǎo)學(xué)生提高人文素養(yǎng)，傳承民族精神，樹立民族自信心和自豪感.近幾年來高考數(shù)學(xué)命題進(jìn)行了積極有益的嘗試，全國卷及各省份的高考試題以及?？荚囶}已經(jīng)在這方面有所體現(xiàn)，出現(xiàn)了一些滲透數(shù)學(xué)文化的精彩題目.分析這些高考試題會(huì)發(fā)現(xiàn)目前主要有以下三種方式.

2.1.1 命題滲透數(shù)學(xué)史

“數(shù)學(xué)史作為試題背景，主要包括數(shù)學(xué)家生平故事，數(shù)學(xué)史事件，數(shù)學(xué)名著，數(shù)學(xué)名題，數(shù)學(xué)發(fā)展的歷史等.以數(shù)學(xué)史為試題情景材料，可以引導(dǎo)中學(xué)生理解數(shù)學(xué)、對(duì)培養(yǎng)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣起到積極的推動(dòng)作用；可以讓學(xué)生感受數(shù)學(xué)家的崇高品質(zhì)以及探究解決數(shù)學(xué)問題的過程；可以弘揚(yáng)中國優(yōu)秀傳統(tǒng)文化，并潛移默化的加強(qiáng)學(xué)生的愛國主義情感.”[6]

例1(2017·全國卷Ⅱ)我國古代數(shù)學(xué)名著《算法統(tǒng)宗》中有如下問題：“遠(yuǎn)望巍巍塔七層，紅光點(diǎn)點(diǎn)倍加增，共燈三百八十一，請(qǐng)問尖頭幾盞燈？”意思是：一座7層塔共掛了381盞燈，且相鄰兩層中的下一層燈數(shù)是上一層燈數(shù)的2倍，則塔的頂層共有燈( )

A.1盞 B.3盞 C.5盞 D.9盞

點(diǎn)評(píng)以我國古代數(shù)學(xué)名著《算法統(tǒng)宗》為載體，以詩入題，考查等比數(shù)列的基本運(yùn)算，彰顯數(shù)學(xué)的人文情懷，激發(fā)考生對(duì)中華民族優(yōu)秀傳統(tǒng)文化的熱愛.

例2(2017·浙江卷)我國古代數(shù)學(xué)家劉徽創(chuàng)立的“割圓術(shù)”可以估算圓周率π，理論上能把π的值計(jì)算到任意精度.祖沖之繼承并發(fā)展了“割圓術(shù)”，將π的值精確到小數(shù)點(diǎn)后七位，其結(jié)果領(lǐng)先世界一千多年，“割圓術(shù)”的第一步是計(jì)算單位圓內(nèi)接正六邊形的面積S內(nèi)，S內(nèi)= .

點(diǎn)評(píng)以古代中國數(shù)學(xué)家劉徽、祖沖之創(chuàng)立“割圓術(shù)”估算圓周率π領(lǐng)先世界一千多年的史實(shí)，激發(fā)學(xué)生的愛國主義熱情和民族自豪感.

2.1.2 命題滲透數(shù)學(xué)美

數(shù)學(xué)文化的美學(xué)特征是構(gòu)成數(shù)學(xué)文化的重要內(nèi)容.數(shù)學(xué)美表現(xiàn)為一種抽象，嚴(yán)謹(jǐn)，含蓄的理性美，從其表現(xiàn)形式上可分為數(shù)學(xué)內(nèi)容的和諧美，數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)的形式美，幾何圖形的構(gòu)造美.哲學(xué)史上對(duì)美的本質(zhì)的揭示，最初也是源于推理論證的嚴(yán)謹(jǐn)美、數(shù)學(xué)公式的簡潔美.高考命題中引入數(shù)學(xué)的美有助于評(píng)價(jià)學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)的理解.

例3(2017·全國卷Ⅰ)如圖，正方形ABCD內(nèi)的圖形來自中國古代的太極圖.正方形內(nèi)切圓中的黑色部分和白色部分關(guān)于正方形的中心成中心對(duì)稱.在正方形內(nèi)隨機(jī)取一點(diǎn)，則此點(diǎn)取自黑色部分的概率是( )

點(diǎn)評(píng)以我國傳統(tǒng)文化太極圖中的陰陽魚為原型，設(shè)計(jì)幾何概型以及幾何概型計(jì)算問題，運(yùn)用對(duì)稱性質(zhì)進(jìn)行計(jì)算，讓考生充分感悟數(shù)學(xué)的對(duì)稱美.

數(shù)學(xué)美滲透在數(shù)學(xué)的各個(gè)方面.又如，一些試題在深層次層面關(guān)注數(shù)學(xué)美的理解——數(shù)學(xué)美引領(lǐng)人們?nèi)グl(fā)現(xiàn)、創(chuàng)造和優(yōu)化試題的研究方法和研究思想.

2.1.3 命題滲透理性精神

數(shù)學(xué)對(duì)人類最大的貢獻(xiàn)之一就是培養(yǎng)理性思維.數(shù)學(xué)所蘊(yùn)含的邏輯思維、所教授的推理方法、所訓(xùn)練的分析問題、解決問題能力，都是在個(gè)人的發(fā)展過程以及現(xiàn)實(shí)生活中必不可少的組成部分.因此，高考數(shù)學(xué)應(yīng)充分利用學(xué)科的特點(diǎn)，深入考查考生的理性思維能力[7].數(shù)學(xué)的理性精神具體體現(xiàn)在對(duì)新的問題情境，能靈活應(yīng)用所學(xué)的知識(shí)與方法進(jìn)行研究，合理地選擇有效的策略和方法，運(yùn)用轉(zhuǎn)化與化歸的思想解決問題.數(shù)學(xué)命題通過創(chuàng)設(shè)新情景、新問題考查學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題、提出問題、分析問題、解決問題和評(píng)價(jià)問題的能力，突出體現(xiàn)反思性、探究性和獨(dú)立思考等方面的思維品質(zhì).

B.(0,1]∪[3,+∞)

點(diǎn)評(píng)本題情境是通過創(chuàng)設(shè)函數(shù)的圖像，考查函數(shù)的圖像、函數(shù)與方程及函數(shù)性質(zhì)的綜合應(yīng)用，檢測已知函數(shù)有零點(diǎn)求參數(shù)取值范圍常用的方法和思路，如直接法：直接根據(jù)題設(shè)條件構(gòu)建關(guān)于參數(shù)的不等式，再通過解不等式確定參數(shù)范圍；分離參數(shù)法：先將參數(shù)分離，轉(zhuǎn)化成求函數(shù)值域問題并加以解決；數(shù)形結(jié)合法：先對(duì)解析式變形，在同一平面直角坐標(biāo)系中，畫出函數(shù)的圖像，然后數(shù)形結(jié)合求解.

例5(2017·江蘇卷)對(duì)于給定的正整數(shù)k，若數(shù)列an滿足

an-k+an-k+1+…+an-1+an+1+…+an+k-1+an+k=2kan對(duì)任意正整數(shù)n(n>k)總成立，則稱數(shù)列an是“P(k)數(shù)列”.

(1)證明：等差數(shù)列an是“P(3)數(shù)列”；

(2)若數(shù)列an既是“P(2)數(shù)列”，又是“P(3)數(shù)列”，證明：an是等差數(shù)列.

點(diǎn)評(píng)本題是引入新定義的題型，主要考查考生的閱讀理解能力，對(duì)等差數(shù)列模型與性質(zhì)的理解掌握程度以及邏輯推理能力，讓考生體驗(yàn)從特殊到一般的數(shù)學(xué)問題探索經(jīng)歷，感悟數(shù)學(xué)的對(duì)稱美對(duì)解決問題的影響與作用.問題的解決體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的理性精神.

2.2 彰顯數(shù)學(xué)文化的數(shù)學(xué)應(yīng)用題

數(shù)學(xué)源于實(shí)際生活，隨著科學(xué)研究的發(fā)展和進(jìn)步，使得現(xiàn)代數(shù)學(xué)的抽象程度越來越高，數(shù)學(xué)概念與方法空前廣泛地滲透到數(shù)學(xué)之外的其他學(xué)科領(lǐng)域和我們的生活.高考數(shù)學(xué)應(yīng)用題的設(shè)置關(guān)注社會(huì)發(fā)展的科技進(jìn)步的時(shí)代特征，也著重體現(xiàn)數(shù)學(xué)的應(yīng)用價(jià)值，以及數(shù)學(xué)作為一種文化的育人價(jià)值.數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)不僅要關(guān)注數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的培養(yǎng)，也要關(guān)注豐富的生活世界，努力培養(yǎng)創(chuàng)新精神和實(shí)踐能力.如果能發(fā)現(xiàn)并應(yīng)用所學(xué)的知識(shí)去解決社會(huì)與生活中的實(shí)際問題，是數(shù)學(xué)應(yīng)用的價(jià)值所在.

2.2.1 關(guān)注社會(huì)熱點(diǎn)問題

關(guān)注社會(huì)民生是時(shí)代的要求，近幾年的高考命題把握時(shí)代的脈搏，設(shè)計(jì)出了格調(diào)清新、情境鮮活、富有時(shí)代氣息的好題，成為高考一道亮麗的風(fēng)景線.這些與社會(huì)熱點(diǎn)問題密切相關(guān)的數(shù)學(xué)應(yīng)用題構(gòu)思精妙，既有強(qiáng)烈的德育功能，又可讓學(xué)生從數(shù)學(xué)的角度分析社會(huì)現(xiàn)象提高應(yīng)用能力；既重視考查數(shù)學(xué)思想和方法，又可引導(dǎo)學(xué)生關(guān)注社會(huì)熱點(diǎn)、增加社會(huì)責(zé)任感.

例6(2017·全國卷Ⅰ)幾位大學(xué)生響應(yīng)國家的創(chuàng)業(yè)號(hào)召，開發(fā)了一款應(yīng)用軟件.為激發(fā)大家學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，他們推出了“解數(shù)學(xué)題獲取軟件激活碼”的活動(dòng).這款軟件的激活碼為下面數(shù)學(xué)問題的答案：已知數(shù)列1，1，2，1，2，4，1，2，4，8，1，2，4，8，16，…，其中第一項(xiàng)是20，接下來的兩項(xiàng)是20，21，再接下來的三項(xiàng)是20，21，22，依此類推.求滿足如下條件的最小整數(shù)N：N>100且該數(shù)列的前N項(xiàng)和為2的整數(shù)冪.那么該款軟件的激活碼是( )

A.440 B.330 C.220 D.110

點(diǎn)評(píng)本題以軟件開發(fā)為載體，反映當(dāng)前國家對(duì)“大眾創(chuàng)業(yè)、萬眾創(chuàng)新”的要求，體現(xiàn)“立德樹人”的教育理念；以等差、等比數(shù)列求和為知識(shí)考點(diǎn)，重點(diǎn)考查學(xué)生的推理論證能力、運(yùn)算能力.

例7(2017·全國卷Ⅱ)海水養(yǎng)殖場進(jìn)行某水產(chǎn)品的新、舊網(wǎng)箱養(yǎng)殖方法的產(chǎn)量對(duì)比，收獲時(shí)各隨機(jī)抽取了100個(gè)網(wǎng)箱，測量各箱水產(chǎn)品的產(chǎn)量(單位：kg)，其頻率分布直方圖如下：

舊養(yǎng)殖法

新養(yǎng)殖法

(1)設(shè)兩種養(yǎng)殖方法的箱產(chǎn)量相互獨(dú)立，記A表示事件“舊養(yǎng)殖法的箱產(chǎn)量低于50kg，新養(yǎng)殖法的箱產(chǎn)量不低于50kg”，估計(jì)A的概率；

(2)填寫下面列聯(lián)表，并根據(jù)列聯(lián)表判斷是否有99%的把握認(rèn)為箱產(chǎn)量與養(yǎng)殖方法有關(guān)；

箱產(chǎn)量<50kg箱產(chǎn)量≥50kg舊養(yǎng)殖法新養(yǎng)殖法

(3)根據(jù)箱產(chǎn)量的頻率分布直方圖，求新養(yǎng)殖法箱產(chǎn)量的中位數(shù)的估計(jì)值(精確到0.01).

附：

P(K2≥k)0.0500.0100.001k3.8416.63510.828

，

點(diǎn)評(píng)本題以現(xiàn)實(shí)生產(chǎn)實(shí)踐中的水產(chǎn)品養(yǎng)殖方法創(chuàng)新為背景，設(shè)計(jì)了根據(jù)樣本數(shù)據(jù)分析比較新舊養(yǎng)殖方法產(chǎn)量的問題.試題的第(1)問是根據(jù)直方圖估計(jì)事件的概率，第(2)問是根據(jù)整理的數(shù)據(jù)進(jìn)行隨機(jī)變量間獨(dú)立性檢驗(yàn)，第(3)問是根據(jù)直方圖估計(jì)總體中位數(shù).本題目情境貼近生產(chǎn)實(shí)際，貼近現(xiàn)實(shí)，具有濃厚的時(shí)代氣息，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)與社會(huì)的密切聯(lián)系，對(duì)考生的閱讀理解能力、推理論證能力、理性思維進(jìn)行了全方面的考查.

2.2.2 突出數(shù)學(xué)建模意識(shí)

所謂數(shù)學(xué)模型，是指對(duì)于現(xiàn)實(shí)世界的某一特定研究對(duì)象，為了某個(gè)特定的目的，在做了一些必要的簡化假設(shè)，運(yùn)用適當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)工具，并通過數(shù)學(xué)語言表述出來的一個(gè)數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu).數(shù)學(xué)中的各種基本概念，都是以各自相應(yīng)的現(xiàn)實(shí)原型作為背景而抽象出來的數(shù)學(xué)概念.各種數(shù)學(xué)公式、方程式、定理、理論體系等，都是一些具體的數(shù)學(xué)模型.加強(qiáng)應(yīng)用意識(shí)和創(chuàng)新意識(shí)，突出數(shù)學(xué)建模的考查，是近年來數(shù)學(xué)高考命題進(jìn)行探索與改革的重要思路與創(chuàng)新舉措，它有助于培養(yǎng)學(xué)生自覺地運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)去思考和處理日常生活、生產(chǎn)中所遇到的問題，從而形成良好的思維品質(zhì)，造就一代具有探索新知識(shí)、新方法的創(chuàng)造性思維能力的新人，體現(xiàn)文化育人、立德樹人的教育理念.

例8(2017·北京卷)三名工人加工同一種零件，他們?cè)谝惶熘械墓ぷ髑闆r如圖所示，其中點(diǎn)Ai的橫、縱坐標(biāo)分別為第i名工人上午的工作時(shí)間和加工的零件數(shù)，點(diǎn)Bi的橫、縱坐標(biāo)分別為第i名工人下午的工作時(shí)間和加工的零件數(shù)，i=1，2，3.

①記Q1為第i名工人在這一天中加工的零件總數(shù)，則Q1，Q2，Q3中最大的是______.

②記pi為第i名工人在這一天中平均每小時(shí)加工的零件數(shù)，則p1，p2，p3中最大的是______.

點(diǎn)評(píng)本題以加工零件為載體，重點(diǎn)考查學(xué)生的數(shù)據(jù)分析與處理能力，通過觀察與數(shù)據(jù)整合，自覺選擇以“斜率”為模型，解決三位工人加工零件數(shù)最大的問題，具有較好的考查價(jià)值.

(1)求新橋BC的長；

(2)當(dāng)OM多長時(shí)，圓形保護(hù)區(qū)的面積最大？

點(diǎn)評(píng)本題以文物古跡保護(hù)為載體，考查數(shù)學(xué)閱讀理解能力、數(shù)學(xué)建模的能力以及運(yùn)算能力，是一道體現(xiàn)人文價(jià)值和育人意識(shí)的經(jīng)典問題，有較好的社會(huì)效應(yīng)和現(xiàn)實(shí)意義.

3 數(shù)學(xué)文化視角的命題思考

3.1 引導(dǎo)課程教學(xué)的改革

數(shù)學(xué)課程影響著人的發(fā)展，數(shù)學(xué)命題引導(dǎo)人們對(duì)數(shù)學(xué)課程建設(shè)作積極的探索.“關(guān)鍵知識(shí)，必備品格”與數(shù)學(xué)新課程目標(biāo)具有一致性.有什么樣的課程就有什么樣的世界.從文化的高度來認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)課程的育人功能，才能從靈魂深處來改革傳統(tǒng)的數(shù)學(xué)課程觀和數(shù)學(xué)教學(xué)觀，才能將機(jī)械訓(xùn)練的教學(xué)向重視育人的教學(xué)轉(zhuǎn)型，才能有很好體現(xiàn)數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的課堂教學(xué)，才能有面向?qū)W生未來發(fā)展的數(shù)學(xué)教育.

試題的導(dǎo)向首先影響數(shù)學(xué)教師的數(shù)學(xué)教學(xué)觀.基于立德樹人、符合學(xué)生發(fā)展的核心素養(yǎng)，促進(jìn)學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的數(shù)學(xué)教學(xué)觀是什么？知識(shí)固然重要，想象力比知識(shí)更重要.在教學(xué)過程中如何培養(yǎng)學(xué)生的想象力？想象力是人在已有形象的基礎(chǔ)上，在頭腦中創(chuàng)造出新形象的能力.高考試題命制中，積極體現(xiàn)、深刻反映“直觀想象”素養(yǎng)的試題在各個(gè)層面進(jìn)行了很好的設(shè)計(jì).培養(yǎng)學(xué)生的想象力，必須在教學(xué)活動(dòng)中讓學(xué)生注重?cái)?shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)，在對(duì)話與探究中努力使學(xué)生的思維參與到教學(xué)活動(dòng)的各個(gè)方面.在教學(xué)設(shè)計(jì)中注重觀察力、聯(lián)想能力的培養(yǎng)，從數(shù)學(xué)本質(zhì)到學(xué)生認(rèn)知特點(diǎn)，系統(tǒng)設(shè)計(jì)培養(yǎng)學(xué)生直覺想象等方面的素養(yǎng)，從而有效提高學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題、提出問題和解決問題的能力.知識(shí)是有限的，想象力能將學(xué)生的眼光引向世界的四面八方.教學(xué)中，要轉(zhuǎn)變數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的評(píng)價(jià)觀，要研究促進(jìn)學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的積極性評(píng)價(jià)，保護(hù)好奇心，鼓勵(lì)學(xué)生在遇到挫折的過程中不斷創(chuàng)新……

3.2 體現(xiàn)數(shù)學(xué)的應(yīng)用價(jià)值

如何體現(xiàn)數(shù)學(xué)的應(yīng)用價(jià)值？一些關(guān)注社會(huì)發(fā)展、科學(xué)發(fā)展的應(yīng)用問題還不多，近幾年的高考命題在這方面作了積極的探索.

數(shù)學(xué)試題要真正體現(xiàn)數(shù)學(xué)應(yīng)用價(jià)值，那種不符合學(xué)生生活經(jīng)驗(yàn)和認(rèn)知水平，貼上應(yīng)用標(biāo)簽的應(yīng)用題，難以體現(xiàn)數(shù)學(xué)的應(yīng)用之美，難以體現(xiàn)數(shù)學(xué)應(yīng)用的教育價(jià)值，難以引起學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的興趣，這類假應(yīng)用問題往往不貼近學(xué)生、命制試題時(shí)任務(wù)驅(qū)動(dòng)，試題題干冗長、牽強(qiáng)附會(huì)等等這些，怎么能引發(fā)學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的興趣，怎么能引導(dǎo)學(xué)生自覺進(jìn)行數(shù)學(xué)探究，提高數(shù)學(xué)研究能力呢？

數(shù)學(xué)試題要體現(xiàn)數(shù)學(xué)的應(yīng)用價(jià)值，還必須符合時(shí)代特征(體現(xiàn)現(xiàn)代科技發(fā)展的特點(diǎn)和現(xiàn)代社會(huì)生產(chǎn)的特點(diǎn)).教學(xué)中為應(yīng)用而應(yīng)用編制的試題依然存在，試題所反應(yīng)的數(shù)學(xué)應(yīng)用脫離當(dāng)今社會(huì)與生產(chǎn)發(fā)展的現(xiàn)狀，忽視現(xiàn)代技術(shù)應(yīng)用的現(xiàn)實(shí)背景.這樣的試題及其相應(yīng)的教學(xué)就難以刻畫出數(shù)學(xué)的應(yīng)用價(jià)值，難以讓學(xué)生體會(huì)到數(shù)學(xué)應(yīng)用之美，難以引發(fā)學(xué)生在數(shù)學(xué)觀指引下的深度學(xué)習(xí).

從數(shù)學(xué)文化的層面來認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)的應(yīng)用價(jià)值，對(duì)改進(jìn)我們的數(shù)學(xué)教學(xué)很有指導(dǎo)意義，也應(yīng)當(dāng)是我們廣大一線教師深入研究的重要課題.

3.3 展示理性思維的本質(zhì)

數(shù)學(xué)教育要在提升學(xué)生的數(shù)學(xué)能力上下功夫，體現(xiàn)對(duì)學(xué)生思維品質(zhì)的教育，而數(shù)學(xué)文化的核心要素正是數(shù)學(xué)的理性思維品質(zhì).數(shù)學(xué)試題要突出體現(xiàn)對(duì)數(shù)學(xué)能力的考查，從而引導(dǎo)中學(xué)在教學(xué)設(shè)計(jì)中要深刻理解理性思維的本質(zhì)，在教學(xué)過程中要充分展示理性思維的本質(zhì).在師生對(duì)話與數(shù)學(xué)探究等教學(xué)活動(dòng)中真正關(guān)注“數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)學(xué)建模、數(shù)學(xué)運(yùn)算、直觀想象、數(shù)據(jù)分析”等素養(yǎng)的培養(yǎng).培養(yǎng)創(chuàng)新意識(shí)是理性思維的高層次表現(xiàn)，如觀察、猜想、類比、抽象、概括、證明等是合情推理能力的基本要素[8].真正展示數(shù)學(xué)理性思維本質(zhì)的教學(xué)，才能讓探索與發(fā)現(xiàn)在課堂上真正發(fā)生，才能讓深度學(xué)習(xí)在課堂上真正發(fā)生，才能讓創(chuàng)新思維在課堂上真正發(fā)生.人存在的價(jià)值在于思考，優(yōu)秀人才的共性之一在于具有較好的思維品質(zhì)和良好的創(chuàng)新素養(yǎng)，時(shí)代發(fā)展呼喚創(chuàng)新思維的培養(yǎng).因此，數(shù)學(xué)命題應(yīng)為發(fā)展學(xué)生的理性思維引領(lǐng)方向，積極引領(lǐng)數(shù)學(xué)教學(xué)的改革.

基于數(shù)學(xué)文化的數(shù)學(xué)試題的命制，要堅(jiān)持立德樹人的教育思想，用數(shù)學(xué)文化去關(guān)心人與自然和社會(huì)的和諧發(fā)展.基于數(shù)學(xué)文化的數(shù)學(xué)試題的命制，要堅(jiān)持體現(xiàn)試題的基礎(chǔ)性、應(yīng)用性和創(chuàng)新性，并積極引導(dǎo)教學(xué)要努力培養(yǎng)學(xué)生能用數(shù)學(xué)的眼光去觀察世界，能用數(shù)學(xué)的思想和方法去研究世界，從而培養(yǎng)學(xué)生提出問題、分析問題和解決問題的能力，使創(chuàng)新精神和實(shí)踐能力的培養(yǎng)在教學(xué)中全面體現(xiàn).在相關(guān)論文中我們?cè)岢?，通過這些試題的設(shè)置，希望促進(jìn)中學(xué)教學(xué)改革，引導(dǎo)教師和學(xué)生以中學(xué)數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)為中心，將眾多的知識(shí)點(diǎn)連成網(wǎng)，形成體系，提高學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，理解數(shù)學(xué)的科學(xué)價(jià)值和理性價(jià)值，培養(yǎng)創(chuàng)新意識(shí)和探究精神，真正提高學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)，切實(shí)提高數(shù)學(xué)課程的育人質(zhì)量.