小學(xué)數(shù)學(xué)基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)“積累力”的有效建構(gòu)

夏常明

[摘 要]積累力對學(xué)生數(shù)學(xué)基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)品質(zhì)的提高、結(jié)構(gòu)的完善、層次的提升有著決定性作用。實(shí)踐中，許多教師往往只重視培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，忽略了學(xué)生積累力的培養(yǎng)。積累力立足于學(xué)生的數(shù)學(xué)活動(dòng)，主動(dòng)建構(gòu)感性對象和模式直觀之間的聯(lián)系。學(xué)生積累力不斷有效建構(gòu)的同時(shí)，數(shù)學(xué)基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)也不斷優(yōu)質(zhì)發(fā)展。

[關(guān)鍵詞]積累力；數(shù)學(xué)活動(dòng)；有效建構(gòu)

[中圖分類號(hào)] G623.5 [文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼] A [文章編號(hào)] 1007-9068（2018）29-0058-03

自從《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》將課程目標(biāo)由“雙基”拓展為“四基”，即基礎(chǔ)知識(shí)、基本技能、基本思想、基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)以來，關(guān)于數(shù)學(xué)基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)的研究方興未艾。查閱相關(guān)文獻(xiàn)可以發(fā)現(xiàn)，目前的研究主要集中在兩個(gè)維度：一線教師從感性維度出發(fā)，研究數(shù)學(xué)基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)的教學(xué)策略、方法、路徑、特征等；理論工作者則從理性維度出發(fā)，研究數(shù)學(xué)基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)的內(nèi)涵、類型、價(jià)值、維度等。至于從知性維度出發(fā)，用動(dòng)態(tài)發(fā)展的視角開展數(shù)學(xué)從基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)“積累力”的研究，尚屬空白。

18世紀(jì)，德國著名哲學(xué)家康德在認(rèn)識(shí)論上把人的認(rèn)識(shí)能力分成感性、知性和理性三個(gè)階段。他認(rèn)為，人通過感性直觀對外在感覺對象進(jìn)行綜合統(tǒng)一，得到了關(guān)于外在對象的認(rèn)識(shí)。這樣的認(rèn)識(shí)，局限于一個(gè)個(gè)孤立的事物或感覺對象，至于這些感覺對象之間的聯(lián)系，則模糊不清。“知性”是主體對感性對象進(jìn)行思維活動(dòng)，把特殊的沒有聯(lián)系的感性對象加以綜合處理，并且聯(lián)結(jié)成為有規(guī)律和秩序的自然科學(xué)認(rèn)知能力。這種能力，主動(dòng)安排現(xiàn)象中間的材料，賦予感性直觀一定的必然性和規(guī)律性，其職能就在于思維對象，表現(xiàn)在數(shù)學(xué)基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)中，就是積累力。在觀察的基礎(chǔ)上，積累力是從簡單問題入手，經(jīng)歷猜想和發(fā)現(xiàn)，不斷嘗試和反思，主動(dòng)建構(gòu)感性對象和模式直觀之間的聯(lián)系，進(jìn)而建構(gòu)一定的數(shù)學(xué)直觀感知和判斷能力。

小學(xué)數(shù)學(xué)基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)積累力的建構(gòu)并不是一次感性直觀行動(dòng)就能完成的，也不是簡單的理性模式，而是要經(jīng)歷思維的過程。思維是以密切結(jié)合在一起的普遍與特殊的運(yùn)動(dòng)著的統(tǒng)一為其基本結(jié)構(gòu)，又是來自直接過程的間接表現(xiàn)過程。

一、突顯主體參與，從嘗試與承受聯(lián)結(jié)中建構(gòu)

杜威認(rèn)為，經(jīng)驗(yàn)是有機(jī)體與環(huán)境事物之間相互作用的過程，包含主動(dòng)因素和被動(dòng)因素。主動(dòng)方面，經(jīng)驗(yàn)是不斷嘗試；被動(dòng)方面，經(jīng)驗(yàn)是承受結(jié)果。小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)活動(dòng)過程是一個(gè)由提出數(shù)學(xué)問題和解決數(shù)學(xué)問題不斷交織、螺旋發(fā)展的過程。問題是數(shù)學(xué)的心臟，可以提示事物的矛盾或引起主體的內(nèi)心沖突，打破學(xué)生主體已有認(rèn)知結(jié)構(gòu)的平衡狀態(tài)，激發(fā)內(nèi)驅(qū)力，喚醒已有經(jīng)驗(yàn)，使學(xué)生快速進(jìn)入主體角色，真正參與到學(xué)習(xí)活動(dòng)中。這種由本能支配的學(xué)習(xí)活動(dòng)具有很強(qiáng)的主動(dòng)性和能動(dòng)性，學(xué)生會(huì)努力克服遇到的困難，經(jīng)歷數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)自然發(fā)展過程，最終找到問題的解決方法，將經(jīng)驗(yàn)的兩個(gè)方面進(jìn)行有效聯(lián)結(jié)，獲取有價(jià)值的經(jīng)驗(yàn)生長。

例如，在教學(xué)“3的倍數(shù)特征”時(shí)，教師先帶領(lǐng)學(xué)生復(fù)習(xí)2和5的倍數(shù)的特征，然后拋出問題：“任意寫一個(gè)數(shù)，我都能快速判斷它是不是3的倍數(shù)。”這有效激發(fā)了學(xué)生學(xué)習(xí)的主動(dòng)性。接著，教師出示了一張1～100的數(shù)字表，讓學(xué)生在表格中圈出3的倍數(shù)。學(xué)生通過圈一圈、議一議、想一想、看一看、說一說、辨一辨等活動(dòng)，逐步掌握了3的倍數(shù)的特征。在開展這些數(shù)學(xué)活動(dòng)時(shí)，學(xué)生始終處于主動(dòng)狀態(tài)，不斷發(fā)揮主觀能動(dòng)性，積極探索和歸納3的倍數(shù)的特征，逐步完成相關(guān)數(shù)學(xué)經(jīng)驗(yàn)的建構(gòu)。此時(shí)，教師及時(shí)引導(dǎo)學(xué)生展開論證，主動(dòng)進(jìn)行知識(shí)外延的探索，合理開展數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)建構(gòu)內(nèi)化，幫助學(xué)生掌握3的倍數(shù)本質(zhì)特征。

案例中，教師激發(fā)了學(xué)生學(xué)習(xí)的主動(dòng)性，強(qiáng)化了數(shù)學(xué)經(jīng)驗(yàn)之間的聯(lián)結(jié)，引導(dǎo)學(xué)生開展了3的倍數(shù)特征的探索活動(dòng)。這樣的活動(dòng)，源于學(xué)生的主動(dòng)嘗試，主動(dòng)接受結(jié)果，有效建構(gòu)了學(xué)生的數(shù)學(xué)基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)積累力。

二、挖掘錯(cuò)誤資源，從去偽走向求是中建構(gòu)

喻平教授指出：“數(shù)學(xué)活動(dòng)應(yīng)當(dāng)是學(xué)生學(xué)習(xí)知識(shí)由不確定性到知識(shí)確定性的漸進(jìn)過程，是由去偽走向求是的過程，漸進(jìn)過程是動(dòng)態(tài)變化的，建構(gòu)活動(dòng)貫穿于每個(gè)環(huán)節(jié)?！睂W(xué)生數(shù)學(xué)知識(shí)的增長和活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)的發(fā)展是由不斷進(jìn)行問題猜想，不斷去除不確定性和求是確定性實(shí)現(xiàn)的。需要指出的是，問題猜想最終無論是被去偽，還是被求是，都不意味著猜想過程是沒有價(jià)值的。從學(xué)生數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)的增長來看，去偽過程的效果遠(yuǎn)大于知識(shí)本身的獲取。

例如，在教學(xué)“分?jǐn)?shù)與百分?jǐn)?shù)的互化”時(shí)，教師出示分?jǐn)?shù)[425]，請學(xué)生自主嘗試將這個(gè)分?jǐn)?shù)轉(zhuǎn)化成百分?jǐn)?shù)。學(xué)生展現(xiàn)了以下三種不同的方法。

生1：先將分?jǐn)?shù)的分母乘4，再將分子乘4，通分得到[16100]，所以結(jié)果是16%。

生2：先將分?jǐn)?shù)[425]化成小數(shù)0.16，再把0.16化成百分?jǐn)?shù)，得到16%。

生3：[425][×]100=16=16%。

學(xué)生根據(jù)已有的分?jǐn)?shù)與小數(shù)、小數(shù)與百分?jǐn)?shù)互化的數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，自主探究分?jǐn)?shù)與百分?jǐn)?shù)的互化方法。其中，第三種方法的過程是錯(cuò)誤的，但值得肯定的是，學(xué)生也是力圖在原有知識(shí)經(jīng)驗(yàn)的基礎(chǔ)上對新知進(jìn)行構(gòu)建。學(xué)生敏銳地覺察到分?jǐn)?shù)與百分?jǐn)?shù)之間的內(nèi)在聯(lián)系，并且將這種聯(lián)系應(yīng)用在了分?jǐn)?shù)與百分?jǐn)?shù)的互化方法上。建構(gòu)活動(dòng)，不能簡單地將數(shù)學(xué)活動(dòng)的“求是”與“去偽”人為地割裂開來，而應(yīng)該在“去偽”的過程中進(jìn)行合理“求是”，變“去偽”為“求是”。在“去偽”中進(jìn)行“求是”，學(xué)生不僅掌握了分?jǐn)?shù)與百分?jǐn)?shù)互化的方法，還認(rèn)識(shí)了分?jǐn)?shù)與百分?jǐn)?shù)相乘的計(jì)算方法，為以后進(jìn)一步學(xué)習(xí)相關(guān)知識(shí)打下堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)。

教師引導(dǎo)學(xué)生改進(jìn)：

想一想：有沒有辦法改正第三種方法的錯(cuò)誤？

辨一辨：[425][×]100，這個(gè)式子里的“100”指的是什么？

改一改：將[425][×]100改成[425][×]100%，可以嗎？

思一思：將算式[425×100]與[425×100]%對比，有什么變化？

證一證：將100改成100%，100%就是1，分?jǐn)?shù)的大小不變，而且順利轉(zhuǎn)化成了百分?jǐn)?shù)。

三、引領(lǐng)深度學(xué)習(xí)，從感性走向理性中建構(gòu)

小學(xué)數(shù)學(xué)基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)不是簡單傳遞，而是經(jīng)驗(yàn)的轉(zhuǎn)換處理和內(nèi)化平衡。這樣的過程，需要學(xué)生善于根據(jù)整個(gè)問題，從不同角度進(jìn)行深度思考，突破感性直觀的表面現(xiàn)象，深入問題本質(zhì)，把分散且毫無聯(lián)系的材料綜合改造，從而產(chǎn)生具有普遍性和必然性的數(shù)學(xué)基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)。需要指出的是，小學(xué)生數(shù)學(xué)知識(shí)的學(xué)習(xí)立足于已有的感性經(jīng)驗(yàn)，在解決問題的過程中，學(xué)生會(huì)出現(xiàn)很多不同的解決方法。深度思維的目標(biāo)不是將各種不同的經(jīng)驗(yàn)消除，而是讓不同經(jīng)驗(yàn)相互競爭，優(yōu)勝劣汰，最終將感性經(jīng)驗(yàn)提升為理性經(jīng)驗(yàn)。這種理性經(jīng)驗(yàn)，既從過去經(jīng)驗(yàn)中采納了某些東西，又以某種方式改變過去經(jīng)驗(yàn)的性質(zhì)。這樣的思維活動(dòng)循序漸進(jìn)，體現(xiàn)了螺旋上升的原則，符合學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律，有利于建構(gòu)完整的數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)體系。

例如，在教學(xué)“用方向和距離確定位置”時(shí)，教師出示圖1，學(xué)生則給出了以下四種不同的答案。

生1：漁船在救助船東北60°方向。

生2：漁船在救助船東北30°方向。

生3：漁船在救助船北偏東30°方向。

生4：漁船在救助船東偏北60°方向。

面對四種不同的答案，如果教師只是簡單地出示正確答案，糾正學(xué)生的錯(cuò)誤，顯然是不行的。在學(xué)生已有的方向經(jīng)驗(yàn)上，教師進(jìn)一步應(yīng)用了度量角和畫角的方法以及比例尺的知識(shí)，讓學(xué)生深入了解方向、體會(huì)距離，發(fā)展空間觀念。

師：現(xiàn)在你有什么發(fā)現(xiàn)？

生5：北偏東30°方向是以南北軸為基準(zhǔn)，由北向東偏30°。

生6：東偏北60°方向是以東西軸為基準(zhǔn)，由東向北偏60°。

師：兩種不同的表示方法，為什么指的是同一個(gè)方向？

……

學(xué)生根據(jù)已有的方向經(jīng)驗(yàn)和度量角的方法，給出了四種不同的答案。生1和生2在已有的方向經(jīng)驗(yàn)上進(jìn)行了簡單的角度相加，屬于感性經(jīng)驗(yàn)；生2和生4對已有的數(shù)學(xué)方向經(jīng)驗(yàn)進(jìn)行了初步加工，屬于理性經(jīng)驗(yàn)。教師應(yīng)及時(shí)引導(dǎo)學(xué)生開展思維活動(dòng)，幫助學(xué)生認(rèn)識(shí)感性經(jīng)驗(yàn)的局限性，體會(huì)理性經(jīng)驗(yàn)的深度，使學(xué)生的經(jīng)驗(yàn)逐步從感性走向理性。這樣的思維活動(dòng)，指向深度學(xué)習(xí)，有助于提升學(xué)生數(shù)學(xué)基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)的積累力。

四、把握知識(shí)本質(zhì)，從偶然走向必然中建構(gòu)

皮亞杰的認(rèn)知發(fā)展理論中有四個(gè)關(guān)鍵詞：圖式、同化、順應(yīng)、平衡。同化和順應(yīng)是認(rèn)知建構(gòu)的兩種方式，平衡則是主體主動(dòng)建構(gòu)的動(dòng)力。學(xué)生的數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)建構(gòu)過程，是以已有經(jīng)驗(yàn)為基礎(chǔ)，通過自身不斷內(nèi)化和順應(yīng)，將原有數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)納入新的數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)中，形成新的認(rèn)知平衡的過程。當(dāng)學(xué)生原有的主體經(jīng)驗(yàn)不能同化客體經(jīng)驗(yàn)時(shí)，那就只是停留在數(shù)學(xué)知識(shí)的表面，深入不了數(shù)學(xué)知識(shí)的本質(zhì)。這時(shí)，教學(xué)活動(dòng)就必須調(diào)整原有主體經(jīng)驗(yàn)結(jié)構(gòu)，引起主體經(jīng)驗(yàn)質(zhì)的變化，建立新的主體經(jīng)驗(yàn)，從而觸及數(shù)學(xué)知識(shí)的本質(zhì)，達(dá)到更高層次的平衡。只有那些為學(xué)生提供準(zhǔn)備去獲得未來更深刻、更廣泛的證偽活動(dòng)，深入理解數(shù)學(xué)知識(shí)的本質(zhì)，積累探索規(guī)律的數(shù)學(xué)經(jīng)驗(yàn)，才能使學(xué)生的數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)獲得真正意義的生長。

例如，在教學(xué)“找規(guī)律填數(shù)”時(shí)，教師出示填空題：[23]、1、[32]、[94]、（ ）、（ ）。

生1：[23]、1、[32]、[94]、（1）、（[49]）。

師：你是怎么想的？

生1：因?yàn)榈谝粋€(gè)數(shù)和第三個(gè)數(shù)互為倒數(shù)，中間的數(shù)是1，所以我認(rèn)為第四個(gè)數(shù)和第六個(gè)數(shù)也應(yīng)該互為倒數(shù)，它們倆中間的數(shù)也是1。（大部分學(xué)生表示贊同）

師：如果在這道題的末尾多加一個(gè)括號(hào)，即[ 23]、1、[32]、[94]、（ ）、（ ）、（ ），你們知道應(yīng)該填多少嗎？

（如果按照生1的說法，后加的括號(hào)將無法填數(shù)或答案不唯一，顯然生1總結(jié)的規(guī)律不正確）

師：這道題究竟隱藏著怎樣的規(guī)律呢？我們一起來探索。

數(shù)學(xué)中的規(guī)律一般是指事物在數(shù)量關(guān)系或空間形式方面存在的某種聯(lián)系或發(fā)展趨勢，有著整體性、聯(lián)系性和必然性的特點(diǎn)。生1由于受到前面倒數(shù)相關(guān)知識(shí)的影響，憑著自己的直觀感受，發(fā)現(xiàn)了“第一個(gè)數(shù)和第三個(gè)數(shù)互為倒數(shù)，第二個(gè)數(shù)為1”的規(guī)律，并認(rèn)為后面的數(shù)也應(yīng)該按照這樣的規(guī)律來排列?？梢哉f，學(xué)生的發(fā)現(xiàn)只停留在淺顯的直觀視覺經(jīng)驗(yàn)上，并沒有觸及數(shù)學(xué)規(guī)律知識(shí)的本質(zhì)。教師應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生尋找出現(xiàn)這種情況的原因，探索數(shù)學(xué)規(guī)律的必然性，讓學(xué)生感受到規(guī)律之間的聯(lián)系和必然。

數(shù)學(xué)基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)是小學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程和學(xué)習(xí)結(jié)果相統(tǒng)一的產(chǎn)物。幫助學(xué)生積累基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，核心要素是讓學(xué)生真正發(fā)揮主觀能動(dòng)性，經(jīng)歷知識(shí)產(chǎn)生與發(fā)展的過程。積累力將數(shù)學(xué)基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)的主體與客體進(jìn)行了有效聯(lián)結(jié)，對提升學(xué)生的數(shù)學(xué)經(jīng)驗(yàn)的品質(zhì)、完善數(shù)學(xué)經(jīng)驗(yàn)的結(jié)構(gòu)、提高數(shù)學(xué)經(jīng)驗(yàn)的層次，有著不可估量的作用。

[本文系江蘇省教育科學(xué)“十二五”規(guī)劃立項(xiàng)課題“小學(xué)生數(shù)學(xué)基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)‘積累力提升策略的研究”階段研究成果之一。]

[ 參 考 文 獻(xiàn) ]

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[3] 黃加衛(wèi).淺議“證偽”思想在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中的作用[J].中學(xué)數(shù)學(xué)雜志，2011（7）.

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（責(zé)編 李琪琦）