探究“兔子數(shù)列” 提升數(shù)學(xué)能力
——指向解決問(wèn)題素養(yǎng)的有效例析

浙江杭州市蕭山區(qū)萬(wàn)向小學(xué)（311215）

斐波那契數(shù)列是人教版舊教材二年級(jí)下冊(cè)“規(guī)律的認(rèn)識(shí)”中的內(nèi)容，而斐波那契的生平和兔子問(wèn)題的探索則是在課外閱讀資料中呈現(xiàn)。本節(jié)拓展課綜合了兩個(gè)內(nèi)容，從數(shù)學(xué)知識(shí)的學(xué)習(xí)和數(shù)列的規(guī)律發(fā)現(xiàn)上來(lái)講，對(duì)四年級(jí)學(xué)生來(lái)說(shuō)不存在難度，但如何依托學(xué)習(xí)材料，讓學(xué)生在掌握知識(shí)的同時(shí)提升解決問(wèn)題的素養(yǎng)則是本節(jié)課更進(jìn)一步的追求，尤其是對(duì)學(xué)生今后的學(xué)習(xí)和探索能力的培養(yǎng)。因此，讓學(xué)生經(jīng)歷化繁為簡(jiǎn)、數(shù)形結(jié)合、圖表分析、概括歸納的過(guò)程，感受解決問(wèn)題的數(shù)學(xué)思維方法，提高學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)就成為本課教學(xué)的素養(yǎng)目標(biāo)。

教學(xué)斐波那契數(shù)列時(shí)主要采用了微課題的形式，具體過(guò)程如下。

一、研究有趣問(wèn)題，探索數(shù)列規(guī)律

1.復(fù)雜問(wèn)題圖示化

【設(shè)計(jì)意圖】通過(guò)呈現(xiàn)有趣又較復(fù)雜的學(xué)習(xí)材料，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)興趣，但材料較多，學(xué)生理解困難，故首先梳理圖片，從抽象思維回歸形象思維，用圖像表征的方式幫助學(xué)生更好地理解題意；通過(guò)“猜一猜”活動(dòng)，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)感，激發(fā)學(xué)生探究數(shù)學(xué)問(wèn)題的內(nèi)驅(qū)力。

師：今天，我們要研究一個(gè)數(shù)學(xué)問(wèn)題，它有一個(gè)有趣的名字，叫“兔子數(shù)列”。很久以前，有一個(gè)意大利人發(fā)現(xiàn)了一對(duì)神奇的兔子，這對(duì)是剛出生的小兔，一個(gè)月后能長(zhǎng)成一對(duì)大兔，再過(guò)一個(gè)月便能生下一對(duì)小兔，并且以后每個(gè)月都生一對(duì)小兔。一年內(nèi)沒(méi)有死亡。那么，由一對(duì)剛出生的兔子開(kāi)始，12個(gè)月后會(huì)有多少對(duì)兔子呢?

師：你理解題目的主要意思嗎？

生1：①小兔一個(gè)月后能長(zhǎng)成一對(duì)大兔；②大兔過(guò)一個(gè)月便能生下一對(duì)小兔；③以后每個(gè)月都生一對(duì)小兔；④一年內(nèi)沒(méi)有死亡。

師：讓我們?cè)賮?lái)梳理一遍。（投影圖片，學(xué)生說(shuō)，教師擺）

師：大家想一想，第四個(gè)月會(huì)有幾對(duì)兔子？幾對(duì)大兔和幾對(duì)小兔？

生2：三對(duì)兔子。兩對(duì)大兔和一對(duì)小兔。

師：怎么變化來(lái)的？

生3：原來(lái)的小兔長(zhǎng)成了大兔，原來(lái)的大兔還在，并且又生了一對(duì)小兔。

師擺圖：

師：12個(gè)月后一共會(huì)有幾對(duì)兔子呢？

生4：11對(duì)。因?yàn)?個(gè)月是3對(duì)，所以12個(gè)月就是11對(duì)。

生5：19對(duì)。因?yàn)?個(gè)月有2對(duì)大兔，所以以后每個(gè)月小兔會(huì)2對(duì)2對(duì)地增加，那么后面還要增加2×8=16（對(duì)），所以一共有16+3=19（對(duì)）。

生6：96對(duì)。

……

2.初步探究符號(hào)化

【設(shè)計(jì)意圖】讓學(xué)生感受擺圖片太麻煩，想到用簡(jiǎn)潔的圖示表示兔子的變化過(guò)程，幫助學(xué)生建立符號(hào)意識(shí)。通過(guò)對(duì)幾種不同方法的分析，讓學(xué)生自己能辨析并提煉最優(yōu)方案。

師：圖片擺不起了，有什么方法繼續(xù)來(lái)探究這個(gè)問(wèn)題呢？

生1：可以寫(xiě)數(shù)字。

生2：可以畫(huà)符號(hào)。

生3：可以寫(xiě)字記錄。

……

師：請(qǐng)你用自己喜歡的方式記錄上面4個(gè)月的兔子數(shù)量的變化過(guò)程。

第一種：

第二種：

第三種：

第四種：

第五種：

第六種：

生4：第一、三、四種中，一個(gè)圖示符號(hào)代表一只小兔，要求幾對(duì)，還要再除以2，不夠簡(jiǎn)潔；第二種用文字表示也可以，就是麻煩一點(diǎn)；而第五和第六種方法一樣，它們圖示簡(jiǎn)潔、容易理解，尤其是第六種，寫(xiě)清楚了符號(hào)代表的意義，更為清楚。因此第六種最佳。

3.感悟探究數(shù)字化

【設(shè)計(jì)意圖】學(xué)生找到自認(rèn)為簡(jiǎn)潔的方法去解決問(wèn)題，在想想畫(huà)畫(huà)的過(guò)程中感受到規(guī)律的存在，但在深入畫(huà)圖的過(guò)程中發(fā)現(xiàn)“太麻煩”的心理狀態(tài)，能促使學(xué)生產(chǎn)生強(qiáng)烈的尋求更加簡(jiǎn)潔的方式來(lái)解決問(wèn)題的欲望，這樣一來(lái)，圖標(biāo)數(shù)據(jù)的收集和分析就變成學(xué)生學(xué)習(xí)的自然需要。

生1：越畫(huà)越多，數(shù)起來(lái)太麻煩了！

生2：畫(huà)符號(hào)還是很麻煩的。能不能再簡(jiǎn)潔一點(diǎn)？

……

師：是的，現(xiàn)在用符號(hào)表示也不是很方便，有沒(méi)有更好的途徑？

生3：用數(shù)字來(lái)記錄不是更好嗎？

師：生3用數(shù)字來(lái)記錄，能又快又清楚地知道大兔和小兔的只數(shù)。下面我們就試試填表格，用數(shù)字來(lái)記錄小兔的數(shù)量變化過(guò)程。

4.數(shù)形結(jié)合表格化

【設(shè)計(jì)意圖】讓學(xué)生通過(guò)簡(jiǎn)潔的填寫(xiě)表格的方式收集和統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)，并能夠在合作交流過(guò)程中發(fā)現(xiàn)規(guī)律。

師：四人小組合作，填表后交流，說(shuō)說(shuō)你們發(fā)現(xiàn)了什么。完成后集體議一議。

第一種：未完成，且有錯(cuò)誤。

生1（自評(píng)）：第5個(gè)月開(kāi)始發(fā)生錯(cuò)誤。因?yàn)榍耙粋€(gè)月2對(duì)大兔可生2對(duì)小兔。關(guān)鍵在于理解題目有誤，以為每個(gè)月只有當(dāng)初那對(duì)大兔在生小兔。

第二種：正確，且已發(fā)現(xiàn)了規(guī)律。

生2：斜著看是一樣的。前一個(gè)月的大兔對(duì)數(shù)就是后一個(gè)月的小兔對(duì)數(shù)。

師：為什么？（用筆標(biāo)注，見(jiàn)上圖）

生3：因?yàn)橐粋€(gè)月一對(duì)大兔就能生一對(duì)小兔。

生4：我發(fā)現(xiàn)斜著看還有規(guī)律：前一個(gè)月大兔和小兔的總對(duì)數(shù)就是后一個(gè)月的大兔對(duì)數(shù)。

師：那是為什么？

生5：因?yàn)榍耙粋€(gè)月有幾對(duì)小兔，到后一個(gè)月都長(zhǎng)成大兔了。

生6：我橫著看，發(fā)現(xiàn)前兩個(gè)月的兔子總對(duì)數(shù)就是后一個(gè)月的兔子總對(duì)數(shù)。

歸納得出：上個(gè)月大兔對(duì)數(shù) =下個(gè)月小兔對(duì)數(shù)

上個(gè)月兔子總對(duì)數(shù)=下個(gè)月大兔對(duì)數(shù)

前兩個(gè)月兔子總對(duì)數(shù) =后一個(gè)月兔子總對(duì)數(shù)

師：由此我們可以得出，12個(gè)月后有144對(duì)兔子。144對(duì)大大小小的兔子，一個(gè)龐大的兔子王國(guó)就是由那對(duì)小兔發(fā)展來(lái)的，怎么樣，是不是很有趣？這就是歷史上有名的“兔子數(shù)列”。

5.小結(jié)提升模式化

師：現(xiàn)在請(qǐng)回想一下，解決這樣一個(gè)復(fù)雜問(wèn)題，我們經(jīng)歷了怎樣的學(xué)習(xí)過(guò)程？（板書(shū)：復(fù)雜問(wèn)題——簡(jiǎn)潔圖示——列表觀察——找到規(guī)律）以后大家也可以用這樣的方法去解決生活中的難題。

二、了解數(shù)學(xué)文化，解析自然現(xiàn)象

1.簡(jiǎn)介斐波那契數(shù)列

【設(shè)計(jì)意圖】學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)，不僅僅是數(shù)學(xué)知識(shí)，要讓學(xué)生更加喜歡數(shù)學(xué)，就有必要讓他們了解數(shù)學(xué)文化，了解數(shù)學(xué)知識(shí)的背景?！巴米訑?shù)列”只是通俗的說(shuō)法，而以數(shù)學(xué)家的姓名命名這個(gè)發(fā)現(xiàn)，更會(huì)讓學(xué)生感受到數(shù)學(xué)來(lái)自于生活，學(xué)會(huì)用數(shù)學(xué)的眼光去看待生活。

師：這個(gè)“兔子數(shù)列”是意大利數(shù)學(xué)家斐波那契在1202年從兔子的繁殖過(guò)程中發(fā)現(xiàn)的。為了紀(jì)念他，人們把這個(gè)數(shù)列稱(chēng)為斐波那契數(shù)列。這個(gè)數(shù)列有什么特征呢？讓我們來(lái)讀一讀。“一個(gè)數(shù)列，如果前兩項(xiàng)為1，從第三項(xiàng)起，每一項(xiàng)都是前兩項(xiàng)之和，那么我們就把這樣的數(shù)列稱(chēng)為斐波那契數(shù)列?！边@也正是我們剛才的發(fā)現(xiàn)?？磥?lái)我們的發(fā)現(xiàn)和數(shù)學(xué)家的發(fā)現(xiàn)思路幾乎是一樣的。在這個(gè)數(shù)列中，有很多很多的數(shù)，1、1、2、3、5、8、13、21、34、55、89、144……它的第一項(xiàng)是什么？最后一項(xiàng)是什么？對(duì)，沒(méi)有最后一項(xiàng)，因?yàn)樽匀粩?shù)是無(wú)限的，所以斐波那契數(shù)列自然也沒(méi)有最后一項(xiàng)。

師：看似簡(jiǎn)單的斐波那契數(shù)列包含了太多的奧秘，承載了無(wú)數(shù)的神奇。老師在研究的過(guò)程中發(fā)現(xiàn)了許多和斐波那契數(shù)列相關(guān)的有趣現(xiàn)象，現(xiàn)在和大家一起分享。

2.感受數(shù)學(xué)與自然現(xiàn)象的有趣存在

【設(shè)計(jì)意圖】看圖片欣賞大自然中的松果、向日葵等，通過(guò)數(shù)一數(shù)、分一分、畫(huà)一畫(huà)，感受花瓣數(shù)、枝條數(shù)、螺旋線數(shù)量等，豐富學(xué)生的認(rèn)識(shí)，引導(dǎo)學(xué)生感受大自然的神奇，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)的興趣。

師：馬蹄蓮—1瓣；虎刺梅—2瓣；錢(qián)蘭—3瓣；桃花—5瓣；格?；ā?瓣；其他雛菊有13瓣、21瓣、34瓣等。這些數(shù)都和斐波那契數(shù)列中出現(xiàn)的數(shù)一模一樣。當(dāng)我收集到這種數(shù)時(shí)，不禁嘖嘖稱(chēng)奇：是誰(shuí)讓它們有著如此驚人的規(guī)律？是呀，大自然太神奇了！

師：松果與斐波那契數(shù)又有什么關(guān)系呢？數(shù)學(xué)家發(fā)現(xiàn)松果的兩種螺旋線條數(shù)正好是斐波那契數(shù)列中的數(shù)，還有向日葵也是，在自然界中，據(jù)說(shuō)選擇這樣的模式生長(zhǎng)的向日葵，花盤(pán)上的種子分布最有效，花盤(pán)也最堅(jiān)實(shí)，產(chǎn)生后代的概率也最高。在自然界中像這樣神奇的現(xiàn)象還有很多，有待我們?nèi)ヌ剿骱桶l(fā)現(xiàn)。

三、反思學(xué)習(xí)經(jīng)歷，分享學(xué)習(xí)收獲

師：今天的課，你有什么新的收獲？先和同桌分享，然后我們共享你的收獲。

【課后反思】

學(xué)會(huì)從數(shù)學(xué)的角度去觀察事物、思考問(wèn)題，從而解決問(wèn)題是培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)的目標(biāo)之一。本節(jié)課中，數(shù)學(xué)材料的呈現(xiàn)從復(fù)雜到逐步清晰，用圖像表征的方式幫助學(xué)生更好地理解題意，在滲透數(shù)形結(jié)合思想的同時(shí)激發(fā)學(xué)生進(jìn)一步探索的欲望。學(xué)生的學(xué)習(xí)應(yīng)是一個(gè)主動(dòng)建構(gòu)知識(shí)的過(guò)程，教師應(yīng)為學(xué)生自主探究提供充分的時(shí)間和空間。在材料呈現(xiàn)、圖示理解、符號(hào)表征、列表求解的過(guò)程中，都是學(xué)生先找到了解決問(wèn)題的支點(diǎn)，如獨(dú)立嘗試，用自己喜歡的方式表示兔子數(shù)量的變化，通過(guò)比較選擇最優(yōu)的表達(dá)方式；在繼續(xù)畫(huà)下去的過(guò)程中，發(fā)現(xiàn)圖示還是不夠簡(jiǎn)潔，于是找到利用表格解決問(wèn)題這個(gè)簡(jiǎn)潔有效的辦法，從而發(fā)現(xiàn)規(guī)律的存在。在經(jīng)歷問(wèn)題解決的整個(gè)過(guò)程中，學(xué)生思維得以充分地暴露，解決問(wèn)題的策略也在逐步改進(jìn)，學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)也在不斷地提升。教學(xué)過(guò)程注重?cái)?shù)學(xué)思想的滲透、關(guān)注解決問(wèn)題素養(yǎng)的提升，大膽開(kāi)放探索空間，實(shí)現(xiàn)了學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的“再創(chuàng)造”，課堂教學(xué)也達(dá)成了預(yù)設(shè)的目標(biāo)。