基于函數(shù)單調(diào)性的數(shù)學(xué)概念教學(xué)

☉浙江省臺(tái)州市臺(tái)州第一中學(xué) 汪正旺

任何數(shù)學(xué)理論與數(shù)學(xué)框架的學(xué)習(xí)與構(gòu)建都必須建立在一定的基礎(chǔ)之上，數(shù)學(xué)概念正是充當(dāng)這一角色的重要內(nèi)容，高中數(shù)學(xué)的抽象性之強(qiáng)要求教師在課堂教學(xué)中必須注重生產(chǎn)生活事例的引入與分析，學(xué)生在充分建立感性認(rèn)識(shí)的基礎(chǔ)上才能將高度抽象與概括的數(shù)學(xué)概念領(lǐng)悟透徹.函數(shù)的單調(diào)性這一高中階段的首個(gè)數(shù)學(xué)語言是研究指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)等其他函數(shù)的重要基礎(chǔ)，函數(shù)的值域、定義域、比較兩數(shù)大小、不等式等多個(gè)具體問題的研究都離不開單調(diào)性這一最為基本的函數(shù)知識(shí)，筆者結(jié)合這一概念的實(shí)際教學(xué)對(duì)高中數(shù)學(xué)概念教學(xué)淺要談?wù)勛约旱囊稽c(diǎn)想法.

一、創(chuàng)設(shè)情境，引入課題

問題1：觀察以下函數(shù)，作圖并指出其變化趨勢(shì).

（過程略）

問題2：你能對(duì)“圖像呈逐漸上升趨勢(shì)”的意思進(jìn)行準(zhǔn)確的描述嗎？x與函數(shù)值y此時(shí)是怎樣相互影響的呢？

生：x增大，y隨之增大，所以它的圖像呈上升趨勢(shì)；x增大，y減小，所以它的圖像呈下降趨勢(shì).

師：很好，這就是函數(shù)的單調(diào)性，一個(gè)非常重要的性質(zhì)，也是我們今天研究的主題.

函數(shù)的單調(diào)性這一內(nèi)容的教學(xué)，教師應(yīng)首先要求學(xué)生能夠在實(shí)際問題的研究中學(xué)會(huì)建模，要求學(xué)生在掌握建模過程與方法的基礎(chǔ)上充分體會(huì)其重要意義與價(jià)值，使學(xué)生學(xué)會(huì)運(yùn)用函數(shù)思想來解決實(shí)際問題并因此獲得思維能力的提升.因此，教師在進(jìn)行這一概念的教學(xué)之前首先應(yīng)該對(duì)學(xué)生的認(rèn)知發(fā)展水平與已有的知識(shí)經(jīng)驗(yàn)進(jìn)行摸底與分析，并在此基礎(chǔ)上引導(dǎo)學(xué)生展開觀察、猜想與歸納，引導(dǎo)學(xué)生在函數(shù)圖像的觀察與分析中學(xué)會(huì)應(yīng)用函數(shù)知識(shí)來解題，使學(xué)生充分體會(huì)函數(shù)知識(shí)的應(yīng)用價(jià)值并建立數(shù)學(xué)與生活息息相關(guān)的認(rèn)知.

二、抽象概括，形成概念

思考并討論：

（1）若某函數(shù)在區(qū)間（0，+∞）上有x=1時(shí)y=1，x=2時(shí)y=3，則是否可以說在該區(qū)間上y隨著x的增大而增大呢？

（2）若x=1，2，3，4時(shí)，對(duì)應(yīng)地y=1，3，4，6，則是否可以說在區(qū)間（0，+∞）上y隨著x的增大而增大呢？

（3）若有n個(gè)正數(shù)x1＜x2＜x3＜…＜xn，它們對(duì)應(yīng)的函數(shù)值滿足y1＜y2＜y3＜…＜yn，則是否可以說在區(qū)間（0，+∞）上y隨著x的增大而增大呢？

生：不能，我來舉例說明（略）.

問題3：如果某函數(shù)是增函數(shù)，你能對(duì)其進(jìn)行數(shù)學(xué)語言的表述嗎？你是否能夠嘗試給出確切的定義？請(qǐng)運(yùn)用自己的語言進(jìn)行表達(dá)并講給小組成員聽，各小組進(jìn)行一定的交流并形成統(tǒng)一的意見進(jìn)行展示.

第一步（把“增大”符號(hào)化）：當(dāng)x1＜x2時(shí)，y1＜y2.

第二步（把“隨”符號(hào)化）：當(dāng)x1＜x2時(shí)，f（x1）＜f（x2）.

第三步（把“任意”符號(hào)化）：

是否可以聯(lián)想個(gè)別數(shù)值對(duì)單調(diào)性進(jìn)行一定的說明呢？例如函數(shù)y=x2（x∈R），若x=-1，2，3，4，…，則y=1，4，9，16，…，函數(shù)值y隨著x的增大而增大這一說法正確嗎？

對(duì)區(qū)間I上有限或無限個(gè)自變量滿足x1＜x2，且f（x1）＜f（x2），都無法將“函數(shù)值y隨著x的增大而增大”的本質(zhì)反映出來，因此必須強(qiáng)調(diào)x1、x2的任意性才能將單調(diào)遞增的特征準(zhǔn)確表述出來，對(duì)任意x1＜x2都有f（x1）＜f（x2）.

第四步（把“區(qū)間”符號(hào)化）：

x1、x2在“任意”二字的含義范疇內(nèi)還有著“不任意”的表現(xiàn)與含義，函數(shù)的單調(diào)性這一局部性質(zhì)表明其與區(qū)間密不可分，此時(shí)須強(qiáng)調(diào)定義中x1、x2∈I.

對(duì)于區(qū)間I內(nèi)的任意兩個(gè)值x1、x2，當(dāng)x1＜x2時(shí)，都有f（x1）＜f（x2）.

最后是小組發(fā)言.

函數(shù)的單調(diào)性這一概念的構(gòu)建在本課的教學(xué)活動(dòng)中經(jīng)歷了兩個(gè)關(guān)鍵的過程.

第一個(gè)關(guān)鍵的過程是函數(shù)單調(diào)性意義的構(gòu)建，學(xué)生在若干函數(shù)圖像的觀察中運(yùn)用自然語言對(duì)函數(shù)圖像的特征進(jìn)行描述并不是很困難的一件事，因此，這一過程的構(gòu)建相對(duì)來說是這一概念學(xué)習(xí)完整過程中相對(duì)較為容易的.教師在本課的教學(xué)活動(dòng)中一共設(shè)計(jì)了四個(gè)函數(shù)并引導(dǎo)學(xué)生對(duì)其圖像進(jìn)行了觀察，使學(xué)生在教師的啟發(fā)與圖像觀察的過程中獲得函數(shù)圖像的上升與下降展現(xiàn)單調(diào)性這一函數(shù)基本性質(zhì)的認(rèn)知.

第二個(gè)關(guān)鍵過程是運(yùn)用數(shù)學(xué)符號(hào)將單調(diào)性的意義完整、精確地表示出來，這個(gè)過程對(duì)于學(xué)生來說是有一定難度的.用數(shù)學(xué)符號(hào)對(duì)函數(shù)自變量x增大時(shí)函數(shù)值y增大或減小的動(dòng)態(tài)過程進(jìn)行描述是這一過程中最重要、最關(guān)鍵的環(huán)節(jié)，其不僅要將變化規(guī)律描述清楚，描述還應(yīng)做到完整、準(zhǔn)確而簡潔.學(xué)生在經(jīng)歷靜態(tài)的數(shù)學(xué)符號(hào)描述靜態(tài)數(shù)學(xué)對(duì)象直至動(dòng)態(tài)數(shù)學(xué)對(duì)象之時(shí)所受到的思維挑戰(zhàn)是比較巨大的，這對(duì)于高一新生來講確實(shí)很有挑戰(zhàn)性，因此，這一過程的知識(shí)構(gòu)建需要教師首先準(zhǔn)確把握學(xué)生思維的“最近發(fā)展區(qū)”，著眼于學(xué)生的發(fā)展進(jìn)行有意義的構(gòu)建以促進(jìn)學(xué)生對(duì)知識(shí)難點(diǎn)的把握，本課中的層層設(shè)計(jì)有效地引導(dǎo)了學(xué)生的思維，并順利突破了這一難點(diǎn).

三、深入探索，加深理解

教師在這一定義的教學(xué)中需要重點(diǎn)注意三個(gè)層面含義的把握并引導(dǎo)學(xué)生領(lǐng)悟：

（1）函數(shù)單調(diào)性的定義.一般來說，設(shè)函數(shù)y=f（x）的定義域是I，區(qū)間A?I：如果對(duì)于區(qū)間A內(nèi)的任意兩個(gè)值x1、x2，當(dāng)x1＜x2時(shí)，都有f（x1）＜f（x2）或f（x1）＞f（x2），也就是說函數(shù)f（x）在區(qū)間A上是增加或減少的，因此，函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增或遞減區(qū)間就是A.

教師在教學(xué)中尤其需要把握“區(qū)間A?I”、“任意”、“都”這幾個(gè)關(guān)鍵詞所代表的具體含義.

區(qū)間A?I的存在意味著函數(shù)單調(diào)性的判斷首先必須對(duì)其進(jìn)行定義域的判斷，也就是說，單調(diào)性和“區(qū)間”是密切相關(guān)的，區(qū)間不同，函數(shù)所展現(xiàn)的單調(diào)性也會(huì)不同.因此，教師在函數(shù)單調(diào)性的教學(xué)中尤其要引導(dǎo)學(xué)生注意以下內(nèi)容：如果f（x）在區(qū)間I1上為增函數(shù)，在I2上也為增函數(shù)，這并不代表（fx）在區(qū)間I1∪I2上就一定會(huì)是增函數(shù).例如，函數(shù)在（-∞，0）上為減函數(shù)，在（0，∞）上也為減函數(shù)，不過在（-∞，0）∪（0，∞）上卻不是減函數(shù)，（f1）＞（f-3）就能很好地說明這一點(diǎn).

“任意”兩個(gè)字包含著“整體”的含義，但這必須是建立在某一區(qū)間上進(jìn)行體現(xiàn)的，所以定義中的x1、x2具有任意性且不能用特殊性來代替，不過用來否定函數(shù)是增函數(shù)或是減函數(shù)時(shí)還是適用的；“都”在這一概念中的出現(xiàn)表達(dá)的是“無一例外”的意思，需要強(qiáng)調(diào)的是區(qū)間這一條件的表達(dá).由定義的充要性可知，由（fx）是增（減）函數(shù)且（fx1）＜（fx2）可以得出x1＜x（2x1＞x2），由此我們應(yīng)該能夠感知自變量與函數(shù)值之間不等關(guān)系的正逆互推，而且這正是因?yàn)楹瘮?shù)的單調(diào)性而決定的.

（2）單調(diào)性.假如函數(shù)y=（fx）在定義域的某個(gè)子集上會(huì)增加或減少，則函數(shù)y=（fx）在該子集上就具備單調(diào)性.函數(shù)單調(diào)性概念的學(xué)習(xí)也是數(shù)列單調(diào)性概念的鋪墊性學(xué)習(xí).

（3）假如函數(shù)y=（fx）在整個(gè)定義域內(nèi)增加或減少，則該函數(shù)就可稱為增函數(shù)或減函數(shù)，單調(diào)函數(shù)是其統(tǒng)一的稱謂.

總之，本課教學(xué)設(shè)計(jì)的主線很明確，也就是函數(shù)的單調(diào)性的概念，整個(gè)教學(xué)活動(dòng)以及學(xué)生的學(xué)習(xí)活動(dòng)都是緊緊圍繞這一主線而得以落實(shí)的，貫穿整個(gè)課堂的函數(shù)單調(diào)性概念的教學(xué)將數(shù)形結(jié)合與幾何直觀的思想進(jìn)行了充分的展現(xiàn)，學(xué)生在情境導(dǎo)入、抽象概括、深入探索這三個(gè)環(huán)節(jié)的學(xué)習(xí)中也獲得了函數(shù)單調(diào)性這一概念的深刻思考與掌握.