教之道在于悟
——從問題思考解題教學(xué)

☉江蘇省張家港市暨陽高級中學(xué) 周曉宇

解題教學(xué)最終的目的是會運(yùn)用數(shù)學(xué)知識解決數(shù)學(xué)問題，尤其是對高考數(shù)學(xué)真題的求解.但每每總有很多學(xué)生感覺真題難、無從入手.筆者以為，這樣的現(xiàn)象若是普遍存在于教學(xué)過程之中，可以說明教師對于解題教學(xué)的研究不足，導(dǎo)致學(xué)生對于解題的掌握不夠，以及數(shù)學(xué)素養(yǎng)和能力的缺失.

當(dāng)下中學(xué)數(shù)學(xué)教師對于真題和教材的聯(lián)系是比較缺乏思考的，可能是難以發(fā)現(xiàn)這種思考，也可能是忙于各種事物而缺乏思考的時(shí)間，總之復(fù)習(xí)教學(xué)效率低下是共識.筆者想借助幾道高考真題結(jié)合教材的知識、性質(zhì)和原題，來談一談教之道如何悟.

一、數(shù)學(xué)概念的悟

數(shù)學(xué)概念是高考必定考查的重要方向，但是如何考查卻是各有神通，一般來說概念的考查以簡單運(yùn)用為主，這可以考查大部分學(xué)生對于數(shù)學(xué)概念的掌握程度，偶有概念的考查以能力立意為上.因此感悟教材中的概念從而解決高考真題的教學(xué)成為復(fù)習(xí)教學(xué)特別需要關(guān)注的點(diǎn).

例1（2015年浙江卷改編）存在對應(yīng)關(guān)系f，對任意x∈R，下列對應(yīng)關(guān)系不是函數(shù)法則的是_____.

（1）f（x2+4x）=|x+2|；

（2）f（x2-1）=|x+1|；

（3）f（x2-4x）=|x+2|；

（4）f（x2+1）=|x-1|.

分析：筆者將原題稍加改編，本質(zhì)未做改變.對于學(xué)生而言，初識本題，似乎并無頭緒.靜下心來思考，本題到底考查什么？題意中說對應(yīng)關(guān)系和對應(yīng)法則，應(yīng)該不難想到這是一道與函數(shù)概念相關(guān)的問題.比較簡單的函數(shù)概念判別試題，往往是對函數(shù)概念進(jìn)行簡單的一對一、多對一的思考辨別，而本題顯然不屬于簡單問題.我們知道，函數(shù)關(guān)系是一種特殊的映射關(guān)系，而映射關(guān)系又是特殊的一種對應(yīng)關(guān)系，因此找準(zhǔn)非空數(shù)集和函數(shù)概念就可以解決問題.比如，對于（2），不妨取x=±1，則x2-1=0，也就是說f（0）=2或f（0）=0，從函數(shù)關(guān)系的角度來說，同一個(gè)自變量對應(yīng)不唯一的y值，從而并非是函數(shù)關(guān)系，而是一種一般的對應(yīng)關(guān)系.其余選項(xiàng)可同樣排除，所以答案是（2）（3）（4）.

說明：數(shù)學(xué)概念的深刻“悟”是困難的，因?yàn)檫@勢必需要對概念的方方面面有全面的理解.以函數(shù)概念為例，教會學(xué)生要從概念最本質(zhì)的特征入手思考——“一對一”“多對一”是函數(shù)對應(yīng)關(guān)系，“一對多”一定不是函數(shù)關(guān)系.

二、數(shù)學(xué)性質(zhì)的悟

數(shù)學(xué)性質(zhì)是教學(xué)中教師最為關(guān)注的.但是隨著大量模擬試題的訓(xùn)練，師生往往都忽視了這些教材基本性質(zhì)，還一味地埋頭尋找技巧和技能，這種教學(xué)是得不償失的.教材中的數(shù)學(xué)性質(zhì)有哪些？比如等差數(shù)列所擁有的函數(shù)本質(zhì)，通項(xiàng)是一次函數(shù)的本質(zhì)，求和公式是二次函數(shù)的本質(zhì)；橢圓、雙曲線擁有的基本性質(zhì)，如對稱性、離心率、漸近線等，圍繞這些基本性質(zhì)結(jié)合試題的思考是解題教學(xué)的重要感悟.

例2等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，滿足S30=S60，則下列結(jié)論中正確的是______.

（1）S45是Sn中的最大值；

（2）S45是Sn中的最小值；

（3）S45=0； （4）S90=0.

分析：本題是高三一次聯(lián)考中的數(shù)列問題，筆者以為本題的命制是比較凸顯了回歸教材的基本理念.學(xué)生的思維總是顯得那么直白——利用首項(xiàng)和公差去計(jì)算兩者之間的關(guān)系，進(jìn)而逐一驗(yàn)證每一項(xiàng)的正確性，這種解決方式我們稱之為基本量解決方式，好處是思維極為簡單，但是運(yùn)算量較為復(fù)雜，顯然這樣的解答不是命題者的本意.從數(shù)學(xué)本質(zhì)來說，等差數(shù)列的本質(zhì)如下表所示：

通項(xiàng)公式 函數(shù)本質(zhì) 求和公式 函數(shù)本質(zhì)等差數(shù)列 an=dn+a1-d 一次函數(shù)Sn=d（ ）n 2n2+a1-d2形如Sn=An2+Bn過原點(diǎn)的二次函數(shù)

因此，我們可以從函數(shù)本質(zhì)的角度來思考數(shù)列，使用數(shù)列的函數(shù)特性進(jìn)行研究.等差數(shù)列求和公式的函數(shù)本質(zhì)是形如Sn=An2+Bn的二次函數(shù)，且該二次函數(shù)必過原點(diǎn)，因此根據(jù)S30=S60可以推出其對稱軸為n=45，所以S45可能為最大值，也可能為最小值，顯然（1）和（2）的說法都是片面的，而S90=0則是顯而易見的，正確結(jié)論只有（4）.筆者以為利用正確的數(shù)學(xué)性質(zhì)去感悟數(shù)學(xué)問題，大大增強(qiáng)了學(xué)生對數(shù)學(xué)知識的理解和運(yùn)用，這才是教之道在于悟的更高境界.比如在教材習(xí)題中還有這樣的問題，值得教師去挖掘和深思：

教材習(xí)題：等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn=m，前m項(xiàng)和Sm=n（m≠n），求前m+n項(xiàng)的和Sm+n.

兩位對教材性質(zhì)理解不同的學(xué)生，其解答我們來看一看：

生1：設(shè){an}的公差為d，則由Sn=m，Sm=n（m≠n），得

辨 析：生1利用基本量運(yùn)算，Sm+n=a1（m+n）+，只需求出即可，由Sn，Sm可以構(gòu)造出并求出；生2利用數(shù)學(xué)性質(zhì)——函數(shù)思想，理解等差數(shù)列前n項(xiàng)和Sn滿足的關(guān)系從函數(shù)的角度而言，是必過（0，0）點(diǎn)的二次函數(shù)，借此突破，高效省事.兩種方式孰優(yōu)孰劣，一眼便知.因此可以說，數(shù)學(xué)性質(zhì)的悟恰是數(shù)學(xué)教學(xué)更高的境界，是提升學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)的必經(jīng)之路.

三、數(shù)學(xué)思想的悟

教之道在于悟，要從更高的境界去悟.筆者以為這種高境界需要從思想層面去認(rèn)識、去感悟.可以這么說，數(shù)學(xué)思想是教學(xué)的更高境界.數(shù)學(xué)思想蘊(yùn)藏在何處？蘊(yùn)藏在教材之中，這種挖掘是需要時(shí)間積累、慢慢體會的，以向量為例，為什么這多學(xué)生對于向量的學(xué)習(xí)始終停留在學(xué)習(xí)的表面？這個(gè)原因筆者可以這樣認(rèn)為：第一，向量是不同于數(shù)量范疇的學(xué)習(xí)，很多學(xué)生依然停留在數(shù)量范疇思考.第二，平面幾何知識的薄弱，向量的另一特性是其方向性，即幾何特征，中學(xué)數(shù)學(xué)向量僅僅涉及平面向量和空間向量，幾何特征往往比代數(shù)特征來得更為有效，因此不會運(yùn)用幾何特征解決問題勢必沒有感受到向量的圖形思想.

說到底，向量學(xué)習(xí)主要是數(shù)形結(jié)合思想的貫穿——即以數(shù)解形的運(yùn)用和以形輔數(shù)的魅力！我們來體會下述問題.

例3 （2011年全國卷理12）設(shè)向量a，b，c滿足|a|=|b|=1，a·b=則|c|的最

大值等于______.

分析1：考慮到本題的結(jié)構(gòu)，可以從數(shù)形結(jié)合思想的角度入手，顯然向量a，b滿足夾角120°，且a-c與b-c夾角是60°，思考此處的平面幾何性質(zhì)——對角互補(bǔ)的四邊形必定四點(diǎn)共圓.因此，以四點(diǎn)共圓來建構(gòu)圖形.如圖1，設(shè)可知點(diǎn)C的軌跡是優(yōu)?。?，顯然當(dāng)點(diǎn)C為優(yōu)弧的中點(diǎn)時(shí)取到最大值，即為O，A，B，C四點(diǎn)所在圓的直徑，得在△ABC中，由正弦定理

分析2：本題也可以從數(shù)量積出發(fā)，利用代數(shù)運(yùn)算，結(jié)合不等式的視角進(jìn)行.

說明：顯而易見，本題一般都不會從代數(shù)方式入手，幾何特征的圖形化思想，即數(shù)形結(jié)合思想是問題解決的主要方式.中學(xué)數(shù)學(xué)屬于初等數(shù)學(xué)，因此在二維數(shù)量關(guān)系和三維數(shù)量關(guān)系中，幾何特征往往是解決中學(xué)數(shù)學(xué)問題的首先方式，這一點(diǎn)在高考真題中已經(jīng)頻頻出現(xiàn)，成為一種共識.

總之，解題教學(xué)不能完全依賴題海戰(zhàn)術(shù)，這種落后的方式已經(jīng)不受新課程改革的青睞，效率已經(jīng)極為低下了.從教材中去悟概念、悟性質(zhì)、悟思想，讓教學(xué)圍繞這一層次逐步深入，才是當(dāng)下解題教學(xué)的關(guān)鍵.