分類例談平面向量數(shù)量積的解題策略

☉江蘇省啟東市第一中學(xué) 朱海林

平面向量數(shù)量積是平面向量的重要知識之一，也是近年高考試卷中常見常新的考點之一，常見的類型是數(shù)量積的確定、最值的求解等.解決平面向量數(shù)量積的關(guān)鍵在于向?qū)崝?shù)轉(zhuǎn)化的過程，其轉(zhuǎn)化過程是解決問題的重中之重.本文就平面向量數(shù)量積的常見解題策略加以實例剖析，供大家參考.

一、定義法

根據(jù)平面向量數(shù)量積的定義，平面向量a與b的數(shù)量積a·b=|a||b|cosθ，其中θ為向量a與b的夾角，θ∈［0，π］.

例1 （2017·全國Ⅰ理·13）已知向量a，b的夾角為60°，|a|=2，|b|=1，則|a+2b|=______.

分析：結(jié)合題目條件，通過關(guān)系式|a+2b|的平方展開，結(jié)合平面向量的模運算與數(shù)量積運算，利用定義法來轉(zhuǎn)化，進而確定對應(yīng)的關(guān)系式的模問題.

解：由于|a+2b|2=a2+4a·b+4b2=22+4×2×1×cos60°+4×12=12，則有

點評：涉及平面向量數(shù)量積的問題中已知向量a與b的模或夾角時，往往采用定義法來轉(zhuǎn)化比較簡捷快速.特別需要注意的是尋找兩個向量a與b的夾角θ時，要使得向量a與b的起點相同.

二、投影法

平面向量數(shù)量積a·b=|a||b|cosθ的幾何意義是其中一個向量的長度乘以另一個向量在其方向上的投影，即a·b=|a|（|b|cosθ）或a·b=|b|（|a|cosθ），結(jié)合向量的投影找聯(lián)系來轉(zhuǎn)化.

例2 如圖1，O為以∠BAC為鈍角的鈍角△ABC的外接圓的圓心，且AB=4，AC=2，M為BC邊上的中點，則______.

分析：根據(jù)三角形外心的特征知，外心O在AB，AC上的投影恰好為相應(yīng)邊的中點E，F(xiàn)，而根據(jù)投影知結(jié)合幾何性質(zhì)來分析與處理即可.

解：如圖1，分別取AB，AC的中點為E，F(xiàn)，則外心O在AB，AC上的投影恰好為點E，F(xiàn).

點評：涉及平面向量數(shù)量積的問題中已知幾何圖形中出現(xiàn)與之相關(guān)的垂直條件時，尤其是在垂足確定的情況下，如直角三角形，菱形對角線，三角形的外心等，往往采用投影法來轉(zhuǎn)化比較直觀可行.

三、基底法

在解決平面向量數(shù)量積時，有時無法尋找到計算對應(yīng)向量a與b的數(shù)量積的要素（相應(yīng)的模、夾角），可以考慮用合適的兩個不平行的向量作為基底將a與b表示出來，再根據(jù)條件加以分析與求解.正確且合適選擇平面向量的基底是解決問題的關(guān)鍵.

例3 （2016·天津文·7）已知△ABC是邊長為1的等邊三角形，D，E分別是邊AB，BC的中點，連接DE并延長到點F，使得DE=2EF，則的值為（ ）.

分析：結(jié)合圖形特征，選擇作為一組基底，通過向量的線性運算加以轉(zhuǎn)化，再利用數(shù)量積公式加以分析與求解.

解：由于而

點評：涉及平面向量數(shù)量積的問題中無法直接計算對應(yīng)向量a與b的數(shù)量積，往往可以通過合適基底的選取，進行合理地轉(zhuǎn)化與應(yīng)用，使得相關(guān)向量的線性轉(zhuǎn)化有目標(biāo)，為進一步的數(shù)量積運算奠定基礎(chǔ).

四、坐標(biāo)法

平面向量的數(shù)量積a·b=x1x2+y1y2，其中向量a=（x1，y1），b=（x1，y1）.通過已知向量的坐標(biāo)，或通過巧妙構(gòu)造直角坐標(biāo)系，利用坐標(biāo)法來求解相應(yīng)的平面向量數(shù)量積問題，是高考中比較常見的一類技巧策略.

例4（2016·山東文·13）已知向量a=（1，-1），b=（6，-4），若a⊥（ta+b），則實數(shù)t的值為______.

分析：利用平面向量的坐標(biāo)運算，結(jié)合條件a⊥（ta+b），通過數(shù)量積a·（ta+b）=0建立關(guān)系式，利用坐標(biāo)法來求解對應(yīng)的參數(shù)值.

解：由于ta+b=t（1，-1）+（6，-4）=（t+6，-t-4），

而a⊥（ta+b），則有a·（ta+b）=（1，-1）·（t+6，-t-4）=t+6-（-t-4）=2t+10=0，解得t=-5.

點評：涉及平面向量數(shù)量積的問題中已知向量的坐標(biāo)或是易于建系并寫出點的坐標(biāo)時，可以采用平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)法來處理.特別對于一些方便構(gòu)造直角坐標(biāo)系的平面向量問題，合理構(gòu)造直角坐標(biāo)系，結(jié)合條件建立與坐標(biāo)有關(guān)的參數(shù)關(guān)系式，進而確定向量的坐標(biāo)，再結(jié)合平面向量數(shù)量積公式來處理，解答過程流暢，解題方法巧妙.

五、極化恒等式法

例5（2016·江蘇·13）如圖2，在△ABC中，D是BC的中點，E，F(xiàn)是AD上的兩個三等分點，的值是______.

極化恒等式

分 析 ：根據(jù)條件均為不變的向量，通過極化恒等式的轉(zhuǎn)化即可來處理相應(yīng)的數(shù)量積問題.

點評：涉及平面向量數(shù)量積的問題中有關(guān)向量加、差的模問題時，可以采用與對相關(guān)的極化恒等式來處理，其是針對特殊關(guān)系式下相應(yīng)恒等式成立時的特殊方法.利用極化恒等式來解決數(shù)量積問題，可以使得問題的解決簡潔、高效，但要注意使用的特殊情況.

六、三角形公式法

例6已知為邊BC的中點，則______.

分析：根據(jù)條件利用三角形公式加以轉(zhuǎn)化，再結(jié)合平面向量的中點公式來轉(zhuǎn)化即可求解相應(yīng)的向量的模問題

點評：涉及平面向量數(shù)量積的問題中涉及三角形的三邊的長度與相應(yīng)邊的向量的數(shù)量積時，可以根據(jù)三角形公式法建立相應(yīng)的平面向量的數(shù)量積公式，結(jié)合條件來合理轉(zhuǎn)化與應(yīng)用.利用三角形公式法來處理，思維獨特，方法巧妙.

研究平面向量數(shù)量積問題是實現(xiàn)平面向量的幾何問題實數(shù)化，根據(jù)不同的題目類型，選擇行之有效的方法與解題策略來處理對應(yīng)的平面向量數(shù)量積，使得問題的解決合理、有效、可行、正確，達到數(shù)與形的緊密結(jié)合，知識與能力的有效融合.