不同的視角 不同的解法
——一道最值題的解法賞析

☉江蘇省天一中學(xué) 潘 干

在近幾年的高考題與模擬題中，經(jīng)常會(huì)碰到求解三角形面積的最值或取值范圍問(wèn)題.此類問(wèn)題的前景往往活潑多樣，而且解答難度較大，解決問(wèn)題的思維方式多變，解決方法有時(shí)也多樣.下面結(jié)合一道三角形面積的最值問(wèn)題來(lái)加以實(shí)例剖析，結(jié)合多維角度切入，達(dá)到殊途同歸，多點(diǎn)開(kāi)花.

例題在△ABC中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，若則△ABC面積的最大值為_(kāi)_____.

分析：本題給出三角形相關(guān)邊與角的關(guān)系的兩個(gè)關(guān)系式，根據(jù)射影定理與正弦定理得到c=1與a=2b，接下來(lái)解決問(wèn)題的關(guān)鍵是找到三角形面積公式中所需要的一個(gè)角的正弦值或是對(duì)應(yīng)的底邊與高線之間的關(guān)系，可以借助余弦定理來(lái)轉(zhuǎn)化，可以借助平面直角坐標(biāo)系來(lái)處理，還可以借助海倫公式來(lái)巧妙解決，不同的切入點(diǎn)都要巧妙代入三角形的面積公式，綜合利用二次函數(shù)的圖像與性質(zhì)、利用基本不等式、利用不等式的性質(zhì)等來(lái)確定對(duì)應(yīng)的最值即可，進(jìn)而達(dá)到求解問(wèn)題的目的.根據(jù)射影定理與正弦定理得到c=1與a=2b，通過(guò)余弦定理得到cosC的值，結(jié)合同角三角函數(shù)基本關(guān)系式求得sinC的關(guān)系式，代入三角形的面積公式，通過(guò)二次函數(shù)的圖像與性質(zhì)來(lái)確定三角形面積的最大值即可.

解法1：根據(jù)射影定理得c=acosB+bcosA.

根據(jù)射影定理與正弦定理得到c=1與a=2b，通過(guò)余弦定理得到cosA的值，結(jié)合同角三角函數(shù)基本關(guān)系式求得sinA的關(guān)系式，代入三角形的面積公式，通過(guò)二次函數(shù)的圖像與性質(zhì)來(lái)確定三角形面積的最大值即可.

解法2：根據(jù)射影定理得c=acosB+bcosA.

根據(jù)射影定理與正弦定理得到c=1與a=2b，通過(guò)構(gòu)造圖形，利用三角形邊與角之間的關(guān)系得到cosB的值，結(jié)合同角三角函數(shù)基本關(guān)系式求得sinB的關(guān)系式，代入三角形的面積公式，通過(guò)二次函數(shù)的圖像與性質(zhì)來(lái)確定三角形面積的最大值即可.

解法3：根據(jù)射影定理得c=acosB+bcosA.

如圖1，過(guò)A作AD⊥BC交BC于點(diǎn)D，可得|AD|=sinB，

根據(jù)射影定理與正弦定理得到c=1與a=2b，結(jié)合c=1為定值，要求三角形面積的最大值，只需求出對(duì)應(yīng)的高的最大值即可，而通過(guò)建立平面直角坐標(biāo)系，根據(jù)距離公式建立關(guān)系式，得到頂點(diǎn)C的軌跡方程為對(duì)應(yīng)的圓的方程，那么點(diǎn)C取得離x軸距離最遠(yuǎn)的點(diǎn)，即高為對(duì)應(yīng)的半徑，則可得到三角形面積的最大值.

解法4：根據(jù)射影定理得c=acosB+bcosA.

以AB邊所在直線為x軸，AB的中垂線為y軸建立平面直角坐標(biāo)系，則

由a=2b可得a2=4b2，即整理可得

根據(jù)射影定理與正弦定理得到c=1與a=2b，通過(guò)半周長(zhǎng)的求解，結(jié)合海倫公式得到對(duì)應(yīng)的三角形面積的關(guān)系式，利用含參數(shù)b的表達(dá)式的變形，利用基本不等式來(lái)確定三角形面積的最大值即可.

解法5：根據(jù)射影定理得c=acosB+bcosA.

總結(jié)：涉及三角形的面積的最值問(wèn)題，解決問(wèn)題的總體思維是通過(guò)代數(shù)運(yùn)算，將幾何模型代數(shù)化，利用正弦定理、余弦定理、三角相關(guān)公式等來(lái)轉(zhuǎn)化與解題，利用二次函數(shù)的圖像與性質(zhì)、基本不等式、三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)、不等式的基本性質(zhì)等來(lái)確定最值.解決此類問(wèn)題時(shí)還要注意的是，在利用二次函數(shù)的圖像與性質(zhì)、基本不等式、三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)、不等式的基本性質(zhì)等確定最值時(shí)，一定要考慮等號(hào)成立的條件.如果不等式多次放縮，那么等號(hào)成立的條件要同時(shí)成立，不要忽視.

通過(guò)從多個(gè)不同角度來(lái)處理，巧妙地把該題的底蘊(yùn)充分挖掘出來(lái)，多角度出發(fā)，多方面求解，真正體現(xiàn)對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的融會(huì)貫通，充分展現(xiàn)知識(shí)的交匯與綜合，達(dá)到提升能力，拓展應(yīng)用的目的.進(jìn)而真正達(dá)到在學(xué)中“悟”，在“悟”中不斷提升解題技能.正如我國(guó)著名數(shù)學(xué)家蘇步青先生所言：“學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)要多做習(xí)題，邊做邊思索，先知其然，然后知其所以然.”