數(shù)學(xué)教學(xué)中概念教學(xué)的重塑

羌達(dá)勛

摘要：現(xiàn)代發(fā)生學(xué)認(rèn)為，概念的學(xué)習(xí)以學(xué)習(xí)者的經(jīng)驗(yàn)為基礎(chǔ)，是學(xué)習(xí)者自主建構(gòu)的過(guò)程。高中數(shù)學(xué)課堂長(zhǎng)期以來(lái)過(guò)于注重實(shí)用，一味地在應(yīng)試的層面上對(duì)學(xué)生進(jìn)行機(jī)械訓(xùn)練而未將概念的發(fā)生、發(fā)展過(guò)程以及產(chǎn)生背景、規(guī)定和限制的條件等內(nèi)容完整地呈現(xiàn)給學(xué)生，教學(xué)效果不佳。從教學(xué)診斷出發(fā)，注重概念的生成與學(xué)生發(fā)現(xiàn)、提出、分析及解決問(wèn)題能力的培養(yǎng)，能為概念教學(xué)找到合理的實(shí)施途徑。

關(guān)鍵詞：概念生成；數(shù)學(xué)教學(xué)；概念教學(xué)；教學(xué)診斷

中圖分類號(hào)：G633.6文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A文章編號(hào)：2095-5995（2018）02-0044-03

一、引言

我國(guó)的高中數(shù)學(xué)課堂，長(zhǎng)期以來(lái)過(guò)于注重實(shí)用，即強(qiáng)調(diào)通過(guò)大量的訓(xùn)練、講解、測(cè)試等應(yīng)試手段，強(qiáng)化知識(shí)的掌握與鞏固。這一方法雖然有利于學(xué)生在考試中取得較好的成績(jī)，但也導(dǎo)致了教學(xué)內(nèi)容多浮于皮表，深度學(xué)習(xí)難以生發(fā)。筆者基于多年的教學(xué)管理經(jīng)驗(yàn)，認(rèn)為一味地追逐實(shí)用性訓(xùn)練，而輕視深入的概念授受，教學(xué)效果往往事倍而功半，甚至?xí)髿W(xué)生的既有興趣和固有才能。教師與學(xué)生的付出與成果呈負(fù)相關(guān)，整個(gè)教學(xué)的秩序和生態(tài)均陷入低效、負(fù)能的尷尬狀態(tài)中。數(shù)學(xué)教學(xué)要擺脫這樣的困局，關(guān)鍵要重塑概念教學(xué)理念，進(jìn)而調(diào)整教學(xué)策略和行為。下面是蘇教版高中《數(shù)學(xué)》必修4“弧度制”概念教學(xué)的一個(gè)片段，本文以此為例展開(kāi)論述：

師：我們?cè)诔踔袑W(xué)習(xí)過(guò)角的度量。大家回憶一下，1°的角是如何定義的？

生：1°的角是指周角的1/360。

師：嗯，這種定義的原理，我們稱為“角度制”?，F(xiàn)在，我們?cè)賮?lái)學(xué)習(xí)一種全新且較為常用的單位制：弧度制。

師：“弧度”寫(xiě)作“rad”。通常情況下，長(zhǎng)度等于半徑長(zhǎng)的弧所對(duì)的圓心角，就叫作1弧度的角。同時(shí)，AB弧的長(zhǎng)等于半徑r，其所對(duì)的圓心角就是1弧度的角。假設(shè)圓心角∠AOC所對(duì)的弧長(zhǎng)l=2r，其弧度數(shù)就是l/r=2r/r=2。

師：現(xiàn)在，請(qǐng)同學(xué)們利用這一知識(shí)，進(jìn)行合理地遷移：圓周角的弧度數(shù)應(yīng)如何表達(dá)，平角與直角呢？

生：圓周角的弧度數(shù)應(yīng)為2π，平角為π，直角為π/2。

師：這樣我們就知道，任一0°到360°的角的弧度數(shù)，均服從于0≤x<2π的關(guān)系。如果圓心角表示一個(gè)負(fù)角，且它所對(duì)的弧長(zhǎng)l=4πr時(shí)，我們就應(yīng)先求出其絕對(duì)值，然后在前面加上“—”號(hào)，即-l/r=-4πr/r=-4π。

綜上所述，任一角α的弧度數(shù)的絕對(duì)值|α|均等于l/r，其中l(wèi)是以角α為圓心角時(shí)所對(duì)的弧長(zhǎng)，r是半徑。這種度量角的單位制叫作弧度制。

這堂數(shù)學(xué)課的教學(xué)片斷，在當(dāng)前的數(shù)學(xué)教學(xué)中非常常見(jiàn)，但其忽視了概念生成的本然規(guī)律性。教師雖然很用心地闡釋定義，但這只是教師基于個(gè)人的理解設(shè)計(jì)的教學(xué)，沒(méi)有讓概念的學(xué)習(xí)從學(xué)生的知識(shí)經(jīng)驗(yàn)出發(fā)。從皮亞杰的發(fā)生學(xué)原理來(lái)看，這一教學(xué)的問(wèn)題在于學(xué)生沒(méi)有參與到概念的建構(gòu)過(guò)程之中，學(xué)生只是被動(dòng)接收、復(fù)制。同時(shí)，分析這一教學(xué)片斷也可以發(fā)現(xiàn)，教師對(duì)學(xué)生的既有經(jīng)驗(yàn)估計(jì)不足，甚至可能是刻意忽視，沒(méi)有充分地分析學(xué)生的認(rèn)知背景，而且教學(xué)忽視了概念的由來(lái)過(guò)程，只是把精力放在應(yīng)試訓(xùn)練上，即追求所謂的“概念教學(xué)最小化”和“習(xí)題講解最大化”。

從學(xué)生的角度看，他們大都認(rèn)為概念教學(xué)單調(diào)、乏味，疏離個(gè)人的既有經(jīng)驗(yàn)、認(rèn)識(shí)習(xí)慣和表達(dá)習(xí)慣。正是由于這種親和性的喪失，逐漸導(dǎo)致學(xué)生對(duì)概念不求甚解，抱著死記硬背的態(tài)度，嚴(yán)重影響了數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的科學(xué)性與有效性。在此情形下，學(xué)生只會(huì)針對(duì)特定的題型，模仿教師的解法，“依葫蘆畫(huà)瓢”，而為了畫(huà)出更多的“瓢”，師生不得不共同陷入無(wú)休止的“題海鏖戰(zhàn)”中。

數(shù)學(xué)作為一門起源于實(shí)用訴求的學(xué)科，雖然對(duì)思維能力、想象能力等提出了很高的要求，但它的基本概念一定來(lái)源于生活和生產(chǎn)的現(xiàn)實(shí)需要。數(shù)學(xué)教學(xué)中之所以出現(xiàn)概念難、概念空、概念虛等“囚徒困境”，其根本原因是數(shù)學(xué)教師沒(méi)有做到概念的生活化解構(gòu)和情景性還原，甚至部分教師只知道解題，悶頭把自己煉成解題高手，因而不能用清晰、簡(jiǎn)明和生活化的語(yǔ)言詮釋概念及其本質(zhì)屬性，這樣就導(dǎo)致學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)概念只知其然而不知其所以然。長(zhǎng)此以往，學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)興趣被消磨殆盡，逐漸淪為只會(huì)做題的“機(jī)器”。

《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（實(shí)驗(yàn)）》指出：“數(shù)學(xué)教學(xué)中應(yīng)強(qiáng)調(diào)對(duì)基本概念和基本思想的理解和掌握，對(duì)一些核心的概念和基本思想要貫穿高中數(shù)學(xué)教學(xué)的始終，幫助學(xué)生逐步理解。……在教學(xué)中要引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷具體實(shí)例抽象數(shù)學(xué)概念的過(guò)程，在初步運(yùn)用中逐步理解概念的本質(zhì)。”[1]數(shù)學(xué)概念教學(xué)的目的不是就概念教概念，更不是為了應(yīng)試之需而生搬硬套概念，而是幫助學(xué)生真正理解數(shù)學(xué)概念，掌握數(shù)學(xué)思維方法，進(jìn)而提升數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)能力。因此，要使學(xué)生真正理解和掌握數(shù)學(xué)的獨(dú)特術(shù)語(yǔ)，教師就必須在此環(huán)節(jié)上多下功夫，把概念教學(xué)作為數(shù)學(xué)教學(xué)的重中之重。

二、注重正本清源，還原“概念立場(chǎng)”

數(shù)學(xué)概念大都產(chǎn)生于生活生產(chǎn)的實(shí)際，都有其生發(fā)的具體的知識(shí)背景。教學(xué)中教師若舍棄背景知識(shí)鋪墊，而直接拋給學(xué)生一連串的概念，學(xué)生是難以理解與接受的。而這種做法確是當(dāng)前數(shù)學(xué)教學(xué)的常態(tài)，教師的這種路徑依賴常常使學(xué)生感到概念是“空降”而來(lái)的，除了對(duì)概念野蠻地生吃活剝以外，也白白錯(cuò)過(guò)了許多本可以培養(yǎng)能力、啟發(fā)思維的機(jī)會(huì)。

現(xiàn)實(shí)教學(xué)中，很多教師由于對(duì)概念的生成性沒(méi)有足夠的認(rèn)識(shí)，尤其是忽視了概念本身的邏輯性和精確性，喜歡給學(xué)生“植入”各類概念，背離了概念教學(xué)的初衷。任何數(shù)學(xué)概念的產(chǎn)生都需要一定的過(guò)程，這一過(guò)程是眾多數(shù)學(xué)家的質(zhì)疑、摸索與探討的過(guò)程?；诖?，如果教師能適當(dāng)還原概念的形成機(jī)理與過(guò)程，讓學(xué)生去重新經(jīng)歷概念形成的過(guò)程，必將有效提升概念教學(xué)的效率。布魯納指出：“當(dāng)基本概念以正規(guī)形式出現(xiàn)在兒童面前時(shí)，他們?nèi)绻孪葲](méi)有從直覺(jué)上加以理解，對(duì)這些概念則將無(wú)能為力?！盵2]事實(shí)上，由于概念天然的抽象性不利于學(xué)生理解，于是，強(qiáng)化概念在“直覺(jué)”和“感官”上的還原，就顯得尤為重要。例如，在“弧度制”引入時(shí)，教師可以做如下設(shè)計(jì)：

師：在歷史上，數(shù)學(xué)家們最初以“弧”為數(shù)學(xué)語(yǔ)言，定義和研究三角函數(shù)。這樣就出現(xiàn)：當(dāng)長(zhǎng)度與半徑的弦所對(duì)的圓心角是60°，那么長(zhǎng)度等于半徑的弧所對(duì)的圓心角則是多大呢？其大小與所在圓的半徑是否有關(guān)聯(lián)性？

生：角的度數(shù)與圓的半徑無(wú)關(guān)。

師：它和60°角孰大孰小？

生：由于長(zhǎng)度等于半徑的弦所對(duì)的圓心角，比長(zhǎng)度等于半徑的弧所對(duì)的角要大一些，所以這個(gè)角一定比60°小。

教師用“60°角”作為一個(gè)直觀形象的工具，并以數(shù)學(xué)史相關(guān)知識(shí)為背景，讓學(xué)生在質(zhì)疑、對(duì)比和論證的過(guò)程中獲得對(duì)“弧度制”概念的深層理解，產(chǎn)生了很好的教學(xué)效果。與此相類似，在函數(shù)、方程式、概率論等不同的數(shù)學(xué)分支領(lǐng)域中，教師在教授概念時(shí)巧妙地結(jié)合些文化史、生產(chǎn)史、軍事史等相關(guān)知識(shí)，用看似發(fā)散的、跨界的知識(shí)進(jìn)行類比和遷移，可以實(shí)現(xiàn)概念的精確聚焦，幫助學(xué)生還原概念的產(chǎn)生過(guò)程，加深對(duì)抽象概念的理解。從實(shí)踐上說(shuō)，概念聚焦的本身是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)實(shí)現(xiàn)舉一反三的奧秘所在。如果數(shù)學(xué)教師都能這樣進(jìn)行概念教學(xué)，那么學(xué)生自然就能掌握扎實(shí)的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)，其在解題中自然就能游刃有余。從這個(gè)意義上看，數(shù)學(xué)教學(xué)須站在“概念立場(chǎng)”上來(lái)完成，這一立場(chǎng)是以學(xué)生學(xué)習(xí)為中心的“學(xué)生立場(chǎng)”，能真正實(shí)現(xiàn)學(xué)生學(xué)習(xí)效率的提升。因此，概念不應(yīng)再作為數(shù)學(xué)教學(xué)設(shè)計(jì)的鋪墊而存在，它本身就應(yīng)該站在教學(xué)舞臺(tái)的中心。

三、樹(shù)立問(wèn)題意識(shí)，推動(dòng)“概念建模”

數(shù)學(xué)概念從源頭看，多源自于實(shí)際問(wèn)題的解決需要，爾后才有學(xué)術(shù)性概念，譬如，古埃及尼羅河流域因河水定期漲落而形成的土地丈量幾何學(xué)等。因此，從起源上來(lái)看，數(shù)學(xué)問(wèn)題和數(shù)學(xué)概念往往蘊(yùn)含著濃厚的生活氣息。從心理學(xué)上看，學(xué)生數(shù)學(xué)概念的形成，通常是從具體到抽象、從特殊到一般、從片面到全面的復(fù)雜的思維過(guò)程，甚至中間還會(huì)有反復(fù)。所以，課堂教學(xué)中教師不能急于拋出概念，甚至在講不清概念時(shí)就進(jìn)行練習(xí)。科學(xué)的教學(xué)方式應(yīng)先設(shè)計(jì)具有難度梯度的探究性活動(dòng)，再幫助學(xué)生通過(guò)討論、分析等過(guò)程建立概念模型，直至最終形成概念。我們不妨仍看上述案例，繼續(xù)設(shè)計(jì)，如下：

師：弧長(zhǎng)等于半徑（r）雙倍的圓心角的弧度數(shù)，應(yīng)是多大？弧長(zhǎng)等于三倍半徑、k倍半徑呢？長(zhǎng)度為l的弧，其弧度數(shù)該如何計(jì)算？

（積極引導(dǎo)學(xué)生探究確定：公式α=l/r可表示正角的弧度數(shù)，而如果考慮了角的旋轉(zhuǎn)方向，任何一條弧均對(duì)應(yīng)正、負(fù)兩個(gè)角。故弧長(zhǎng)l、半徑r、圓心角α三者之間的關(guān)系是|α|=l/r。）

師：1弧度的角是否等于1°呢？

生：不等，1°和1rad是兩個(gè)不同大小的角。

師：那為了不出現(xiàn)混亂，當(dāng)用角度制表示角時(shí)，同學(xué)們記得一定要加上符號(hào)“ ° ”。同時(shí)，由于周角的弧度數(shù)是2π，而在角度制下為360°，請(qǐng)大家思考：1°和1rad可以如何換算？

生：由于360°=2πrad，所以180°=πrad，也即1°=π/180rad。若角度化弧度，則是1rad=（180/π）°[3]

這一教學(xué)設(shè)計(jì)中，教師逐漸加深難度提出問(wèn)題，引導(dǎo)學(xué)生思維逐漸深入，類似于蘇格拉底的“產(chǎn)婆術(shù)”。學(xué)生在教師的引導(dǎo)下，慢慢熟悉概念，并從概念的字面意思逐漸深入到概念的內(nèi)核，在探索和發(fā)現(xiàn)中找到思維的樂(lè)趣，并最終對(duì)概念完成了有效建模。

四、拓展概念外延，實(shí)現(xiàn)“概念挖掘”

概念的外延主要表示概念所指稱的范圍。學(xué)生每學(xué)習(xí)一個(gè)新概念，就會(huì)對(duì)舊概念進(jìn)行更新與調(diào)整。眾所周知，數(shù)學(xué)概念具有高度抽象性和概括性。這對(duì)學(xué)生深度理解數(shù)學(xué)概念構(gòu)成了不小的挑戰(zhàn)，許多情況下，一個(gè)數(shù)學(xué)概念的學(xué)習(xí)很難一次完成，這需要數(shù)學(xué)教師提供不同領(lǐng)域的知識(shí)做背景，引導(dǎo)學(xué)生深入探究，或把數(shù)學(xué)概念分割成若干層級(jí)，分層級(jí)進(jìn)行教學(xué)，幫助學(xué)生理解。比如，教學(xué)“弧度制”中的弧長(zhǎng)公式時(shí)，教師若直接傳授概念，學(xué)生通過(guò)加強(qiáng)記憶和反復(fù)訓(xùn)練，也可以在一定程度上理解該概念，但效果不佳。而且這種理解是淺層的，學(xué)生缺少利用已有的知識(shí)重構(gòu)“弧長(zhǎng)公式”的過(guò)程，學(xué)生不能把這一概念納入自己已有的認(rèn)知結(jié)構(gòu)中完成同化或順應(yīng)，這種非意義學(xué)習(xí)容易隨著時(shí)間的消逝而遺忘。所以，教師在教學(xué)中可以借助角度制下的弧長(zhǎng)公式和扇形面積公式，再結(jié)合弧度制的概念，以“弧度”換算公式中的“角度”，通過(guò)知識(shí)的遷移，突破概念的外延，實(shí)現(xiàn)對(duì)弧度概念的深度挖掘，學(xué)生也易于理解與接受。

《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（實(shí)驗(yàn)）》正式提出了數(shù)學(xué)教師須落實(shí)“四基”——基礎(chǔ)知識(shí)、基本技能、基本思想、基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，培養(yǎng)學(xué)生發(fā)現(xiàn)、提出、分析和解決問(wèn)題的能力，促進(jìn)學(xué)生關(guān)鍵能力的發(fā)展與完善。毋庸諱言，概念教學(xué)就是“四基”教學(xué)的重要組成，教師應(yīng)以此為基礎(chǔ)，在教學(xué)中把新概念與學(xué)生已有知識(shí)產(chǎn)生有機(jī)聯(lián)系，實(shí)現(xiàn)學(xué)生的有意義學(xué)習(xí)，培養(yǎng)其發(fā)現(xiàn)和解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的基本思維和方法，引導(dǎo)其認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)的學(xué)科思想和本質(zhì)，最終實(shí)現(xiàn)學(xué)生的全面健康成長(zhǎng)。

參考文獻(xiàn)：

[1] 教育部基礎(chǔ)教育課程教材專家委員會(huì).普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（實(shí)驗(yàn)）[M].北京：人民教育出版社，2003：99.

[2] 徐明.如何進(jìn)行初中數(shù)學(xué)概念的教學(xué)[J].考試周刊，2013（63）：81.

[3] 胡慧敏.弧度制第一課[J].數(shù)學(xué)通報(bào)，2009（1）：32-33.

（責(zé)任編輯：夏豪杰）