數(shù)形結(jié)合，在比較中認(rèn)識倍

梅旭嫦

【摘 要】新課程改革以來，數(shù)學(xué)概念的教學(xué)教學(xué)倡導(dǎo)“淡化形式，注重本質(zhì)”，因此，概念的教學(xué)不像過去過早采用抽象的繁瑣的文字來完整敘述，而是以已有認(rèn)知為基礎(chǔ)，具化抽象概念；以比較探究為手段，建立概念認(rèn)知；以圖形直觀為過渡，完善概念本質(zhì)；以“非標(biāo)準(zhǔn)結(jié)構(gòu)”為載體，深化辨析概念。

【關(guān)鍵詞】概念；比較；數(shù)形結(jié)合；非標(biāo)準(zhǔn)結(jié)構(gòu)

著名心理學(xué)家奧蘇伯爾說過：“比起世界上的各種現(xiàn)象來說，人實(shí)際上是生活在一個概念的世界里?！备拍钍菙?shù)學(xué)學(xué)科知識中的重要組成部分，概念是思維的細(xì)胞，只有掌握了概念的本質(zhì)屬性，才能談得上提高分析能力和解決問題的能力?！氨兜恼J(rèn)識”這一概念教學(xué)新教材將原來分散在二年級上冊和二年級下冊的關(guān)于“整數(shù)倍”的內(nèi)容在三年級上冊第五單元集中編排，使得內(nèi)容更集中，更具有邏輯性，也適當(dāng)降低了學(xué)生的學(xué)習(xí)難度。

一、以已有認(rèn)知為基礎(chǔ)，具化抽象概念

本節(jié)課的開始，教師通過兩個量的比較，讓學(xué)生認(rèn)識“一份”和“幾份”，明確“幾份”的產(chǎn)生是由“一份”決定的，“幾份”就是幾倍，由此初步建立“倍”的概念。

【教學(xué)片段1】

1、課前老師請小朋友們用○和△來表示3倍的關(guān)系，那現(xiàn)在讓我們一起來看看。

2、出示學(xué)生作品，初步建立“ 的個數(shù)是 的3倍”。

（1）（圖1）師：誰看懂了？這里有3倍的關(guān)系嗎？誰是誰的3倍？看來倍是指兩個量之間的一種關(guān)系（板書：關(guān)系）

（2）師：你是怎么看出來的？

（3）誰有辦法讓人一眼就看出誰是誰的3倍？

（把3個圓圈一圈看作一份，是1個2，三角形有這樣的3份是3個2，我們就說三角形的個數(shù)是圓的3倍）

3、課件演示：把2個○看成1份，我們把它圈起來，就是1個2，△有這樣的3份（課件圈一圈），就是3個2，那我們就說△的個數(shù)是○的3倍。

4、分別演示3個3、3個4等學(xué)生作品

【評析：圖是學(xué)生解決問題的腳手架，它能使抽象的概念變得具體化，使學(xué)生在簡明形象的直觀中獲得對數(shù)量關(guān)系的直接感知。課的伊始筆者以學(xué)生的課前預(yù)學(xué)單中的素材來導(dǎo)入學(xué)習(xí)，充分關(guān)注學(xué)生學(xué)習(xí)起點(diǎn)，從學(xué)生自己提供的素材展開研究更能吸引學(xué)生注意力，提高學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣。“倍”實(shí)際上就是一份與多份之間的關(guān)系，“份”和“倍”概念在理解上最大的區(qū)別在于“份”是學(xué)生可以直接看到、感知到的，而“倍”則是學(xué)生在頭腦中通過運(yùn)算得出來的。借助圈一圈的方法可以輕松找到“一份”和“幾份”，可以降低學(xué)生對“倍”的理解上的困難，初步建立倍的表象，這是建立倍概念的最低維度思維，也是最直觀、最易理解的方法，有利于學(xué)生有效表達(dá)自己構(gòu)建的概念表象?！?/p>

二、以比較探究為手段，建立概念認(rèn)知

烏申斯基說：“比較是一切理解和一切思維的基礎(chǔ)。我們正是通過比較來了解世界上的一切的……”研究表明：兒童對于事物的相異點(diǎn)比相同點(diǎn)容易發(fā)現(xiàn)。因?yàn)樵趯W(xué)生初步認(rèn)識兩種量之間3倍的關(guān)系后，教師設(shè)計(jì)了這樣一個環(huán)節(jié)。

【教學(xué)片段2】

1、填一填：（圖2）

獨(dú)立完成——反饋交流：說說你是怎么想的？

2、（圖3）比較：小朋友們你們有沒有發(fā)現(xiàn)，剛才的題目中有圖形、有蘿卜、也有小棒，而且它們的個數(shù)各不相同，為什么我們都可以說多的個數(shù)是少的3倍呢？（都可以說是3倍的關(guān)系）

3、小結(jié)：不論這一份里有幾個只要我們把這些看作是1份，而這里（指著課件）有這樣的3份，我們就說 的個數(shù)是 的3倍。

【評析：比較是重要的數(shù)學(xué)思維，同時(shí)也是重要的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)方式。本環(huán)節(jié)在學(xué)生初步認(rèn)識兩個量之間3倍關(guān)系后，再設(shè)計(jì)了3道練習(xí)題，讓學(xué)生借助實(shí)物圖完成。然后結(jié)合片段1中出現(xiàn)的同樣是3倍關(guān)系學(xué)生作品，重點(diǎn)引導(dǎo)學(xué)生探究：題目中有圖形、有蘿卜、也有小棒，而且它們的個數(shù)各不相同，為什么我們都可以說多的個數(shù)是少的3倍呢？目的在于引導(dǎo)學(xué)生探索在不同事物背后隱藏著的相同點(diǎn)：只要把一方看作一份，另一方有這樣的三份，我們就說 的個數(shù)是 的3倍。異中求同使學(xué)生在比較中揭開“倍”的本質(zhì)，理解抽象的“倍”。同時(shí)借助課件讓學(xué)生從眾多的事物中抽取出共同的、本質(zhì)的特征，完成學(xué)生對倍的認(rèn)識從具體直觀到抽象數(shù)量關(guān)系的轉(zhuǎn)化?！?/p>

三、以圖形直觀為過渡，完善概念本質(zhì)

線段圖雖然是用幾何線段直觀表示出數(shù)量關(guān)系，但對第一次接觸的學(xué)生來說卻是抽象的。借助圖形直觀地把握數(shù)學(xué)對象，進(jìn)行數(shù)學(xué)思考，把研究“對象”抽象成為“圖形”，再把“對象之間的關(guān)系”轉(zhuǎn)化為“圖形之間的關(guān)系”，引導(dǎo)學(xué)生從形象的實(shí)物圖慢慢過渡到線段圖，培養(yǎng)幾何直觀。

【教學(xué)片段3】

1、那你還想到了幾倍？用你喜歡的方式把它表示出來。

要求：（1）、想一想：你準(zhǔn)備怎么表示？

（2）、畫一畫：怎樣畫能讓人一眼就看出來

（3）、說一說： 的個數(shù)是 的（ ）倍

2、校對，指學(xué)生作品追問：要使 的個數(shù)是 的5倍，要畫這樣的幾份？（在學(xué)生作品上畫圈）6倍呢？

（出示圖4）師：看的懂嗎？第二行的個數(shù)是第一行的幾倍？

（演變成圖5）師：現(xiàn)在還是6倍嗎？

如果第二行的個數(shù)是第一行的7倍呢？10倍呢？100倍呢？

3、小結(jié)：也就是說以這樣的長度為一份，下面的線段有這樣的幾份，就是它的幾倍

4、理解1倍：出示學(xué)生作品

這是幾倍？為什么？

【評析：在學(xué)生充分理解兩個量之間的“3倍”關(guān)系后，教師設(shè)計(jì)操作活動：自由創(chuàng)造倍，這樣可以鞏固對倍的認(rèn)識，加深對倍的理解，同時(shí)培養(yǎng)他們的創(chuàng)新精神、觀察和歸納總結(jié)的能力，幫助學(xué)生理解數(shù)形結(jié)合，提升思維能力。而后通過“要使 的個數(shù)是 的5倍，要畫這樣的幾份？”這一核心問題引導(dǎo)學(xué)生思考“一份”和“幾份”之間的聯(lián)系，再借助課件把具體的事物轉(zhuǎn)化為?再過渡到線段圖，層層推進(jìn)，由具化到抽象，提升倍的認(rèn)識，提高學(xué)生抽象概括能力，培養(yǎng)幾何直觀。】

四、以“非標(biāo)準(zhǔn)結(jié)構(gòu)”為載體，深化辨析概念

本節(jié)課是學(xué)生第一次認(rèn)識倍的概念，設(shè)計(jì)清晰、直觀的“標(biāo)準(zhǔn)結(jié)構(gòu)”有助于學(xué)生建立倍的概念，但教學(xué)中不能都是“標(biāo)準(zhǔn)結(jié)構(gòu)”，它不能促進(jìn)學(xué)生真正深入思考，所以設(shè)計(jì)以下兩個“非標(biāo)準(zhǔn)結(jié)構(gòu)”，讓學(xué)生在辨析中深化對倍的認(rèn)識。

【教學(xué)片段4】

1、出示圖6：

師：這個小朋友圈的對嗎？

師：看來不是隨便圈的，要根據(jù)誰的個數(shù)來圈呢？

師：對，我們把其中的一個數(shù)看做一份圈起來，再去圈另一個數(shù)的時(shí)候就要以這一份為標(biāo)準(zhǔn)。

師：如果讓三角形的個數(shù)還是圓形的2倍呢？你有什么辦法？

師小結(jié)：小朋友們很棒，能想到增加三角形的個數(shù)或者減少圓形的個數(shù)，但不管是增加還是減少，我們的目的都是想辦法讓每一份都一樣多。

2、練習(xí)十一第1題（出示圖7）

師：你能找出其中的倍數(shù)關(guān)系嗎？

師：我們一起來圈一圈，擺一擺驗(yàn)證一下

師：如果不擺不圈還存在2倍的關(guān)系嗎？如果讓它更亂一點(diǎn)呢？

師小結(jié)：看來倍數(shù)不在于次序上擺放的整不整齊，而在于數(shù)量上有沒有這樣的關(guān)系。

【評析：第1個活動的設(shè)計(jì)目的是讓學(xué)生在變化的過程中進(jìn)一步理解“倍”的含義，強(qiáng)化標(biāo)準(zhǔn)量的唯一性和重要性，感受變與不變的辯證思想。第2個活動設(shè)計(jì)旨在通過練習(xí)讓學(xué)生理解即使打亂實(shí)物的排列順序不會影響內(nèi)在的倍數(shù)關(guān)系，使學(xué)生跳出圖形去關(guān)注“數(shù)”，進(jìn)而關(guān)注數(shù)量間的關(guān)系，從而做到“舍棄事物或現(xiàn)象的質(zhì)的內(nèi)容，而僅僅著眼于它們量性特征”，對倍的認(rèn)識從感性上升到理性?！?/p>

參考文獻(xiàn)：

[1]金奎 “乘除比翼”：倍認(rèn)識的新視角[J] 寧波教育學(xué)院學(xué)報(bào) 2017（4）

[2]郭立軍 劉鳳偉 從概念同化到概念形成的教學(xué)實(shí)踐研究[J] 課程·教材·教法 2016（8）

[3]謝清霖. 解讀教材，整體把握[J]. 福建教育，2012（27）

[4]萬培珍 蔡海根 數(shù)學(xué)概念可以直接告訴嗎[J] 教學(xué)與管理 2006（3）

（作者單位：浙江省溫州市蒲鞋市小學(xué)）