數(shù)學(xué)試題“適”“用”教學(xué)的研究

中考數(shù)學(xué)試題具有引領(lǐng)課堂教學(xué)的導(dǎo)向作用，但因“施用”卻不“適用”的整體復(fù)制模式（搬運(yùn)試題），導(dǎo)致其實(shí)用價(jià)值流失.因此，研究其“適用”教學(xué)的意義重大.

1試題呈現(xiàn)

題目已知二次函數(shù)y=x2+bx+c，其圖像拋物線交x軸于點(diǎn)A（1，0）、B（3，0），交y軸于點(diǎn)C.直線l過點(diǎn)C，且交拋物線于另一點(diǎn)E（點(diǎn)E不與點(diǎn)A、B重合）.

（1）求此二次函數(shù)關(guān)系式；

（2）若直線l1經(jīng)過拋物線頂點(diǎn)D，交x軸于點(diǎn)F，且l1∥l，則以點(diǎn)C、D、E、F為頂點(diǎn)的四邊形能否為平行四邊形？若能，求出點(diǎn)E的坐標(biāo)；若不能，請(qǐng)說明理由.

（3）若過點(diǎn)A作AG⊥x軸，交直線l于點(diǎn)G，連OG、BE，試證明OG∥BE.

分析本題由3個(gè)設(shè)問構(gòu)成，是“數(shù)形結(jié)合”的集大成者，具有極強(qiáng)的選拔功能.問題（1）考查用待定系數(shù)法求解析式的基本知識(shí)；問題（2）在分類的基礎(chǔ)上考查中點(diǎn)坐標(biāo)法，示范“幾何法”簡化代數(shù)運(yùn)算的優(yōu)勢；問題（3）在強(qiáng)化分類意識(shí)的基礎(chǔ)上，借助相似變換獲得問題解決方案.就考查本質(zhì)而言，這道題依然是動(dòng)態(tài)壓軸題，帶有明顯的“靜中趨動(dòng)”、“動(dòng)中取靜”的特征.由抽樣反饋可知，后兩問的得分率僅為312%，盡管有時(shí)間不足問題，其難度仍可見一斑.

實(shí)踐證明，作為難題，以例題（試題）形式直接呈現(xiàn)于課堂（卷面）的效果了了.若能進(jìn)行適應(yīng)性分解、加工與組合，讓其穿插在相關(guān)課堂的教學(xué)結(jié)點(diǎn)處，進(jìn)行必要的、可行的“適用性”教學(xué)，則能釋放試題滋養(yǎng)課堂原本應(yīng)有的功用力量.

2“適用”教學(xué)的意義

2.1解法研究

問題（1）屬于容易題，不再贅述；問題（2）就標(biāo)準(zhǔn)答案而言，在坐標(biāo)法統(tǒng)攝的基礎(chǔ)上，在分類思想的指導(dǎo)下（分CD為平行四邊形對(duì)角線或邊兩種情況討論），借助平行四邊形頂點(diǎn)平移過程的一致性（本質(zhì)是“向量法”），獲取點(diǎn)E的縱坐標(biāo)為2或4，進(jìn)而達(dá)成問題解決目標(biāo)；問題（3）如，設(shè)直線l的函數(shù)關(guān)系式為y=kx+3，則可知點(diǎn)E坐標(biāo)為（k+4，k2+4k+3）.過點(diǎn)E作EH⊥x軸，交x軸于H，則點(diǎn)H（k+4，0），G（1，k+3）.進(jìn)而可得OA·EH=GA·BH，則有Rt△GOA∽R(shí)t△EBH，終歸于正確結(jié)論.

因問題（2）標(biāo)準(zhǔn)答案采用似“向量法”，過于巧妙，跑偏“大眾數(shù)學(xué)”的價(jià)值取向；借助斜率法（兩直線平行時(shí)k值相等），出現(xiàn)高次方程，對(duì)初中生而言，不具有普適性.窮則思變，筆者借助“幾何中點(diǎn)法”獲取普適簡捷的解決方案.當(dāng)CD為平行四邊形的對(duì)角線時(shí)，則其中點(diǎn)坐標(biāo)為（1，1），其中C（0，3）、E（x1，x21-4x1+3）、D（2，-1）、F（x2，0），此時(shí)EF的中點(diǎn)坐標(biāo)為（x1+x22，x21-4x1+32）.借助“平行四邊形的對(duì)角線互相平分”的性質(zhì)，即可解方程組獲取正確答案E（2+3，2）或E（2-3，2）.類似的，當(dāng)CD為平行四邊形的一邊時(shí)，終歸于正確答案（2+5，4）、（2-5，4）.問題（3）在探尋“對(duì)應(yīng)邊成比例”的過程中需要引入絕對(duì)值符號(hào)，給解題帶來一定難度.其實(shí)，在探得點(diǎn)E、G以及已知點(diǎn)B的坐標(biāo)后，借助待定系數(shù)法求出直線OG和BE的k1值（斜率）相同即可獲得待證結(jié)論.在這里，命題者試圖切入考查相似變換的視角，落實(shí)全面考查的命題目標(biāo).但筆者認(rèn)為，用“相似法”獲得結(jié)論是牽強(qiáng)的，一方面額外增添邏輯步驟，另一方面增加難度系數(shù)，有悖于“以簡馭繁”數(shù)形結(jié)合思想的指導(dǎo)方向.

2.2“適”“用”意義

“適用”原指符合客觀條件的要求，適合應(yīng)用.在這里，“適”指插入的試題信息元具有適配性和針對(duì)性，貼合學(xué)生現(xiàn)實(shí)、適合教學(xué)內(nèi)容、符合認(rèn)知規(guī)律；“用”指功用、效用、實(shí)用和致用，不是拿來主義的“施用”和照單全收的“試用”.

“適”“用”試題教學(xué)的意義可歸結(jié)為以下兩個(gè)層面：一是落實(shí)（2011年版）課標(biāo)政策的實(shí)施建議.把每堂課教學(xué)的知識(shí)置于整體知識(shí)的體系中，注重知識(shí)的結(jié)構(gòu)和體系，引導(dǎo)學(xué)生體會(huì)對(duì)于某些數(shù)學(xué)知識(shí)可以從不同的角度加以分析、從不同的層次進(jìn)行理解.而中考數(shù)學(xué)試題就是研究整體知識(shí)的良好載體，具有多維度視角的可研發(fā)性，但要實(shí)現(xiàn)適用研究的意義，必須經(jīng)歷過程性改造（分解組合、對(duì)號(hào)入座），方能承擔(dān)生長知識(shí)“延伸點(diǎn)”的作用；二是契合尼采的通向智慧之門的“三個(gè)必經(jīng)階段”.第一階段是合群時(shí)期，崇敬、順從和仿效；第二階段是“沙漠時(shí)期”，自由的精神茁壯成長，重估一切價(jià)值；第三階段是創(chuàng)造時(shí)期，在否定的基礎(chǔ)上重新進(jìn)行肯定.中考試題本身具有讓學(xué)生產(chǎn)生崇敬的魅力，其豐富的思想內(nèi)涵能讓學(xué)生在研究中獲得長足發(fā)展，開放的解法能讓學(xué)生在鑒別中優(yōu)化解題思維，進(jìn)而顯化試題“適用”教學(xué)的本體價(jià)值和創(chuàng)新意義.

3“適用”教學(xué)的過程

3.1分解過程

借用高考狀元朱海一的話說，她的高分來自于對(duì)試題的分解研究.分解的過程就是定向積累的過程，一道有意義的中考題總是由典型知識(shí)點(diǎn)的組合伸展而來，在使用時(shí)應(yīng)回歸基點(diǎn)，而不是拿來即用.正如波利亞所說的那樣，沒有任何問題可以解決的十全十美，總剩下些工作要做.這里“剩下要做的工作”就是優(yōu)化解題方法，對(duì)試題進(jìn)行分解與組合，使其貼近課堂現(xiàn)實(shí)，貼合學(xué)生思維發(fā)展區(qū)，進(jìn)而切實(shí)落實(shí)試題服務(wù)于教學(xué)的導(dǎo)向性功能.

就試題表現(xiàn)形式而言：可將問題（1）插入到蘇教版《數(shù)學(xué)》九年級(jí)下冊(cè)第六章“二次函數(shù)”第20頁習(xí)題，作為衍生思維之用并補(bǔ)充“交點(diǎn)式”解法，能讓學(xué)生在“比較研究”中深化對(duì)“頂點(diǎn)式”的理解.將問題（2）插入到本章章末復(fù)習(xí)題，作為“靈活應(yīng)用欄”的一個(gè)典例使用并聚類分析，能讓學(xué)生在問題解決中體驗(yàn)“數(shù)形結(jié)合”思想的優(yōu)越性，感受數(shù)學(xué)內(nèi)部知識(shí)的聯(lián)結(jié)之美和簡捷質(zhì)效.將問題（3）改造后回歸“一次函數(shù)”或“相似三角形”的章末課，作為交匯思維銜接的范例進(jìn)行適用性教學(xué).

就試題領(lǐng)導(dǎo)教學(xué)而言：可將問題（1）改造后回歸蘇教版八年級(jí)《數(shù)學(xué)》上冊(cè)“62一次函數(shù)”課末，作為引領(lǐng)思維發(fā)展的經(jīng)驗(yàn)題呈現(xiàn)；問題（2）經(jīng)過外顯變式放在一次函數(shù)章末課作為例題使用，經(jīng)過內(nèi)顯變式（變化參數(shù)）放在蘇教版《數(shù)學(xué)》八年級(jí)下冊(cè)“93平行四邊形”單元課作為例題使用，這樣能鍛煉學(xué)生變換視角看問題的能力，形成正向問題解決的產(chǎn)生式系統(tǒng)；問題（3）就逆向思維培養(yǎng)需求來說，應(yīng)該放在一次函數(shù)章末復(fù)習(xí)課末端，具有示范考試導(dǎo)向的意義；就命題考查意圖來說，應(yīng)該放在蘇教版《數(shù)學(xué)》九年級(jí)下冊(cè)“探索三角形相似的條件”單元課，作為能力提升題處理，能讓學(xué)生感受相似變換的考察樣態(tài)板式，明白中考在此領(lǐng)域的考查視角.

3.2“適”“用”過程

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》在課程內(nèi)容中指出，“創(chuàng)新意識(shí)的培養(yǎng)是現(xiàn)代數(shù)學(xué)教育的基本任務(wù)，應(yīng)體現(xiàn)在數(shù)學(xué)教與學(xué)的過程之中”.中考試題蘊(yùn)含豐富的思想方法，是培養(yǎng)創(chuàng)新意識(shí)的良好載體，但照搬會(huì)因望而生畏而消化不良，只有結(jié)合課堂教學(xué)現(xiàn)狀對(duì)其進(jìn)行適應(yīng)性改造，方能契合學(xué)生的現(xiàn)有思維水平.唯有立體分解、指向組合、定向把握，方能給學(xué)生發(fā)現(xiàn)提出問題準(zhǔn)備客觀條件，給其獨(dú)立思考、學(xué)會(huì)思考準(zhǔn)備適應(yīng)的研究對(duì)象，給其歸納概括得到猜想和規(guī)律并驗(yàn)證提供可行的平臺(tái)，而這些基于學(xué)生學(xué)習(xí)內(nèi)需的改造行為，正是試題適用教學(xué)的具體創(chuàng)新表現(xiàn).這就在一定層面回應(yīng)了“創(chuàng)新意識(shí)培養(yǎng)應(yīng)從義務(wù)教育階段做起”的政策指令，落實(shí)了試題“適用教學(xué)”課堂研究觀.

改造后的試題形態(tài)呈現(xiàn)如下：

問題（1）適用形態(tài)：已知某函數(shù)y=x2+bx+c，其圖像與x軸交于點(diǎn)A（1，0）、B（3，0），請(qǐng)求出b與c的值，并寫出該函數(shù)關(guān)系式.

問題（2）適用形態(tài)：①借用蘇教版高中《數(shù)學(xué)》（必修四）第二章“平面向量”第77頁練習(xí)第2題作為思維鋪墊：已知ABCD的三個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別為A（2，1）、B（-1，3）、C（3，4），求第四個(gè)頂點(diǎn)D的坐標(biāo).②借用蘇教版《數(shù)學(xué)》八年級(jí)上冊(cè)第五章“平面直角坐標(biāo)系”第133頁復(fù)習(xí)題第10題作為分類啟示：平行四邊形的兩個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別為（-3，0）、（1，0），第三個(gè)頂點(diǎn)在y軸上，且與x軸的距離為3個(gè)單位長度.求第四個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo).③對(duì)原創(chuàng)試題進(jìn)行方向性改造，使其適合單元教育形態(tài)：平行四邊形的兩個(gè)頂點(diǎn)C（0，3）、D（2，-1），第三個(gè)頂點(diǎn)F在x軸上，第四個(gè)頂點(diǎn)E在函數(shù)y=x2-4x+3的圖像上.試求出點(diǎn)E的坐標(biāo).

問題（3）適用形態(tài)：已知平面內(nèi)有一點(diǎn)B（3，0），直線l過函數(shù)y=x2-4x+3圖像上的一點(diǎn)C（0，3）和另一點(diǎn)E（點(diǎn)E不與點(diǎn)A、B重合）.若過點(diǎn)A（1，0）作AG⊥x軸，交直線l于點(diǎn)G，連OG、BE，試說明OG∥BE.

適用教學(xué)說明（就試題領(lǐng)導(dǎo)教學(xué)的研究視角）：

問題（1）作為一次函數(shù)單元題適用，切入了從特殊到一般的方法，能讓學(xué)生在研究中領(lǐng)悟函數(shù)的本質(zhì)和待定系數(shù)法的能動(dòng)性；問題（2）作為一次函數(shù)章末例題適用，體現(xiàn)梯級(jí)思維聚類教學(xué)行為，反映分類思想、中點(diǎn)坐標(biāo)法以及操作不變性思想、數(shù)形結(jié)合思想等，能讓學(xué)生在問題解決中感受知識(shí)考查的本質(zhì)和方向.若作為“平行四邊形”的單元例題呈現(xiàn)，則能讓學(xué)生在研討中體會(huì)“從不同角度加以分析”以及“從不同層次進(jìn)行理解”的本質(zhì)要義，發(fā)展學(xué)生的試題解題觀和創(chuàng)新意識(shí)，證實(shí)了尼采“創(chuàng)造階段”的價(jià)值論.問題（3）作為一次函數(shù)章末復(fù)習(xí)題適用，能讓學(xué)生在思考中感受逆向思維的本質(zhì)以及知識(shí)產(chǎn)生式系統(tǒng)的雙向性，鍛煉了學(xué)生變換視角看問題的能力.若作為“探索三角形相似條件”的單元題適用，則示范數(shù)形結(jié)合的方法，只是違背優(yōu)化思想的指導(dǎo)初衷，但就代數(shù)背景下的“幾何法”能給未來問題解決帶來一定的指導(dǎo)意義.正如弗里德曼在《怎樣學(xué)會(huì)解數(shù)學(xué)題》一書中呼吁，“應(yīng)當(dāng)學(xué)會(huì)這樣一種對(duì)待習(xí)題的態(tài)度，即把習(xí)題看做是精密研究的對(duì)象，而把解答習(xí)題看做是設(shè)計(jì)和發(fā)明的目標(biāo).”這與試題“適”“用”教學(xué)研究的思想本質(zhì)是一脈相通的.

有人說，初中階段的“代數(shù)學(xué)”可歸結(jié)為a2，“幾何學(xué)”可歸結(jié)為“直角三角形”.換句話說，一道有借鑒價(jià)值的中考數(shù)學(xué)試題，命制的“基點(diǎn)”應(yīng)該是“a2”和“直角三角形”元概念，命制的“方法”應(yīng)該是市場化精加工與本土化元?jiǎng)?chuàng)造，命制的“精髓”是形而上數(shù)學(xué)思想群的復(fù)合性滲透；“適”“用”試題教學(xué)的過程就是基于在地性思維“組裝”的基礎(chǔ)上進(jìn)行針對(duì)性“卸載”“穿插”“鑲嵌”等課堂機(jī)制的運(yùn)行，終歸于試題領(lǐng)導(dǎo)教學(xué)的正向作用.

順便提及，那種只是為了“得個(gè)答案”的中考試題教學(xué)觀，生產(chǎn)了大批量“不開竅”的學(xué)生，終將在“過不了升學(xué)觀”的質(zhì)疑聲中被淘汰；而試題“適”“用”教學(xué)的研究行為，終會(huì)在能力漸次發(fā)展的實(shí)踐中得到認(rèn)同和中肯.

作者簡介朱桂鳳，女，中學(xué)高級(jí)教師.連云港市“首批學(xué)術(shù)領(lǐng)軍人才”培養(yǎng)對(duì)象、第五期“521工程”培養(yǎng)對(duì)象、“333工程”培養(yǎng)對(duì)象、“精品課題”培育對(duì)象；獲2014年國家基礎(chǔ)教育教學(xué)成果二等獎(jiǎng)，2013年江蘇省基礎(chǔ)教育教學(xué)成果特等獎(jiǎng)，2014年市精品課題成果一等獎(jiǎng)，市教學(xué)基本功一等獎(jiǎng)；主持省、市“十二五”教育科學(xué)規(guī)劃課題多項(xiàng)，參與國家級(jí)課題研究.研究方向是初中數(shù)學(xué)慢教育；近兩年在國家級(jí)核心期刊發(fā)表12篇文章，在省級(jí)及以上專業(yè)期刊發(fā)表22篇文章，被中國人大書報(bào)復(fù)印資料《初中數(shù)學(xué)教與學(xué)》全文轉(zhuǎn)載了4次；參與編寫《初中數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)理論與實(shí)踐》《教學(xué)創(chuàng)新：初中數(shù)學(xué)教學(xué)案例》一書.