巧用倍比法解決問題

石艷芳

新課程準則將解決問題作為一個重要目標，這個更顯得課程標準的改革需要，美籍匈牙利數(shù)學(xué)家波利亞說過：“所謂解決問題就是在沒有現(xiàn)成的解決方法時找到解決的途徑。就是從困難中找到出路，找到可以解決問題的答案”。新課程標準的一個重要目標就是發(fā)展學(xué)生的創(chuàng)新精神合解決問題的實踐能力，不僅使學(xué)生學(xué)到知識，更重要的是使他們在錯綜復(fù)雜的情況中利用所學(xué)習(xí)的知識對具體問題作有條理的分析和預(yù)測。解決問題的方法有很多，例如圖表法，猜測法，假設(shè)法，邏輯推理法，等量代換法，分干合想法，倍比法等等。但是針對不同的實際問題我們應(yīng)該選擇恰當?shù)慕忸}方法才能高效快捷的解決問題。在多年的一線教學(xué)過程中，我發(fā)現(xiàn)在解決問題的過程中巧妙的使用倍比法往往會帶給我們意想不到的收獲。

倍比法就是在解決問題時先求出兩個對應(yīng)的同類量的倍數(shù)，再通過“倍數(shù)”去求未知數(shù)，這種解決問題的方法叫做倍比法。要想用倍比法解決問題，關(guān)鍵是要要找到題目中的同類量。再找到同類量之間的倍數(shù)關(guān)系，所求問題便迎刃而解了。那么在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中怎么樣確定兩個量是不是同類量呢？我認為應(yīng)該從幾個方面去進行教學(xué)。

第一，比較的兩個量必須是同一類計量，例如面積單位不能和體積單位相比較，長度單位不能和面積單位比較等等。

第二，在同一類計量的基礎(chǔ)上計量單位必須相同，例如200平方米不能和0.5公頃相比較，必須將它們化成相同的計量單位，然后再來比較它們的大小或找出它們的倍數(shù)關(guān)系。

第三，比較的兩個量具有同一個單位“1”，例如一本書第一天看了全書的，第二天看了余下的，第一天和第二天看的書哪一天看得多？就不能拿和直接比較，必須轉(zhuǎn)換成相同的單位“1”。

第四，不具有同一個單位“1”的題目要想用倍比法，題目中必須有某部分絕對數(shù)相等的情況的兩個分率，利用其倍數(shù)關(guān)系同樣可以使問題得以解決。

遵循以上幾點找同類量的方法，我們可以通過畫圖表或者畫線段圖的方法讓學(xué)生更加簡明直觀的感受到題目中的同類量，以便更好的明白列式的原理。那么有哪些類型題更適合使用倍比法呢？在日常教學(xué)中我發(fā)現(xiàn)在以下幾種題型中使用倍比法可以開門見山明確列式原理，更容易更快捷的解決實際問題。

一、用倍比法解決歸一問題

歸一問題就是解題時先求出一份量即單一量，然后以單一量為標準，求出所要求的量，這類題目叫做歸一問題。當求單一量不能除盡時，對于中年級學(xué)生來講就是一個很大的困難。此時我們可以調(diào)整解題思路巧妙的用倍比法解決問題就可以順利解決。例如，45個人筑路每天修路870米，為了盡早完成任務(wù)，現(xiàn)在增加90人參加修路。照這樣計算，每天要多修多少米？按歸一法解題先求單一量用872÷45根本除不盡，在向下計算就困難重重。這時我們可以通過一個表格表示出題目中的同類量，再找到同類量中的倍比關(guān)系就能順利解決問題。例如：

不難看出兩個已知量90人和45人是同類量，增加的90人是45人的幾倍，增加的修路米數(shù)就是872的幾倍。列式為872×（90÷45）。

再例如，某學(xué)校六年級8名學(xué)生4小時栽樹238棵，照這樣計算，48名學(xué)生2天（每天按8小時計算）可以栽樹多少棵？這道題如果先求單一量，列式應(yīng)該是238÷8÷4，作為三年級學(xué)生是無法完成任務(wù)的。

我在教學(xué)時列表分析如下：

從表中可以看出48人與8人是同類量，16小時與4小時是同類量，因為48人是8人的6倍，16小時是4小時的4倍，所以48人2天栽種的棵樹一定是238棵的24倍。列式為238×（48÷8）×（16÷4）。找到同類量之間的倍比關(guān)系用倍比法解決問題就像是找到了一個支點，很容易撬動這塊頑石。

二、用倍比法解答分數(shù)乘除法的實際問題

在高年級的數(shù)學(xué)教學(xué)中，要培養(yǎng)學(xué)生用多種算法解題的能力，以拓展學(xué)生的解題思路。高年級學(xué)生對于各種數(shù)量關(guān)系已經(jīng)有了比較清晰的認識，思維敏捷的學(xué)生解題時會不拘一格，思路很寬廣。在教學(xué)過程中經(jīng)常會讓老師喜不自禁。

三、用倍比法解決稍復(fù)雜的行程問題

解決行程問題，離不開速度、時間、路程三者之間的數(shù)量關(guān)系，但是復(fù)雜的行程問題理解這三個量的數(shù)量關(guān)系是遠遠不夠的，此時如果學(xué)生的思維體系中能夠注入倍比的理念就相當于找到了解決問題的另外一把密鑰。在教學(xué)過程中 遇到過這樣一道行程問題：甲車從A地到B地要8小時，乙車從B地到A地要12小時，現(xiàn)在兩車同時從兩地相對開出，在距離中點53千米處兩車相遇，相遇時甲車行了多少千米？要想解答這道題，學(xué)生心中必須要有反比的思想，也就是路程一定，速度和時間是反比例關(guān)系，那么8小時和12小時這兩個同類量的比應(yīng)是快車和慢車速度比的反比。因為t甲：t乙=8：12=2：3所以v甲：v乙=3：2由此得出兩車同時出發(fā)到相遇時時間相同，那么時間相同的情況下速度之比等于路程之比就會得出s甲：s乙=3 ：2說明乙車走的路程是甲車所走路程的，乙車比甲車少行1-而且相遇時甲車比乙車多行兩個53千米。相遇時甲車行了多少千米可以列式為53÷（1-）=159（千米）.這道題利用了兩個同類量之間的反向倍比關(guān)系解決了這道復(fù)雜的行程問題。

四、用倍比法解決幾何圖形的實際問題

幾何圖形的教學(xué)內(nèi)容是小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)的重要內(nèi)容，在求各種平面圖形的面積或者是陰影部分的面積的時候如果單純依靠公式有時力不從心，無法達到目的，此時根據(jù)題目中一個不變的量，找到其中兩個已知量的倍比關(guān)系就可以解決此類難題了。