換元法在常微分方程中的應(yīng)用

摘 要：換元法又叫變量代換法。這是一種被廣泛應(yīng)用于解決常微分方程中問題的常用方式。主要是利用新的變量代替原來方程中的變量，由難化簡，把無法解決的問題轉(zhuǎn)化為能解決問題，快速求出方程解的一種解題思想。換元法的運用對數(shù)學(xué)研究領(lǐng)域有著至關(guān)重要的意義，使得求出的解更加簡便快速，是解決高等數(shù)學(xué)理論和方法的重要工具之一。因此，我們對通過討論齊次方程和一階常微分方程的換元思想進行求解，重點總結(jié)和概括換元法在常微分方程中的應(yīng)用。

關(guān)鍵詞：換元思想；常微分方程；應(yīng)用求解

中圖分類號O175 文獻標(biāo)識碼：A 文章編號：1004-7344（2018）11-0040-02

在我們的生活中，無論是哪個研究領(lǐng)域，都有許許多多的問題需要被解決。我們一般在解決問題時，會對問題先進行假設(shè)，在此基礎(chǔ)上在進行合理分析，將其轉(zhuǎn)化，利用數(shù)學(xué)方法進行解決。當(dāng)然，在數(shù)學(xué)領(lǐng)域也是同樣的道理。換元法就是采用數(shù)學(xué)方法解決數(shù)學(xué)問題的有效方法之一，其實質(zhì)是轉(zhuǎn)化變量，關(guān)鍵是構(gòu)造新的元素和假設(shè)元素，依據(jù)等量代換值不變的原理，通過變量代入，將原方程由繁變簡，化難為易，實現(xiàn)從未知向已知的轉(zhuǎn)化，從而達到解決問題的目的。

換元思想無論是在初等數(shù)學(xué)階段和是高等數(shù)學(xué)領(lǐng)域都是十分重要的，常在代數(shù)中被用于求導(dǎo)、求最大值和最小值等。在微分方程中也常常被用于求齊次方程、一階齊次微分方程和一次隱性微分方程的解。因此，為了探討出換元法在常微分方程中的應(yīng)用，本文將通過換元法在齊次方程、一階齊次微分方程和隱性微分方程中的應(yīng)用，重點總結(jié)常微分方程中的換元思想，從而進一步為我國數(shù)學(xué)研究學(xué)者提供有力的借鑒依據(jù)。

1 換元法的相關(guān)定義

1.1 換元法的基本概念和注意事項

用新的變量（未知量）代替方程中的舊變量（未知量），運用已知的數(shù)學(xué)方法求出新的變量（未知量），引入到原方程中，在借用替代關(guān)系求出原方程中的變量（未知量）的方式，叫做輔助元素法，又稱之為換元法或者變量代換法。其中在方程里新的那個未知量被稱為輔助元素，簡稱輔助元或構(gòu)造元。

利用換元法首先要對構(gòu)建的新元特別注意，在換元前，要尤其注意新元的適用范圍和限制條件，引入適當(dāng)?shù)拇鷵Q，可找到較為簡便的解題方法，從而更加快速的求出方程的解。在換元后，必須要對新元進行檢驗，確保換元正確，不會影響計算結(jié)果。

1.2 換元的基本思想

（1）我們使用換元法時，要遵循有利于運算、有利于標(biāo)準(zhǔn)化的原則，換元后要注重新元范圍的選取，新元的取值范圍要與原方程中自變量的取值范圍相同，不能過大也不能過小。如上幾例中的t>0和α∈[0，]。

（2）可以先采用觀察的方法，從原方程中找出與換元法相似的未知量，用自己喜歡的字母進行標(biāo)注，將微分方程進行計算，如果計算的結(jié)果中也同樣含有這個字母，就將它代入方程中，也可求出方程的解。

計算流程：

構(gòu)造元→求解→代入方程→檢驗。

轉(zhuǎn)換變量等量代換等量關(guān)系。

2 常微分方程的相關(guān)定義

2.1 常微分的概念

在微分方程中，未知函數(shù)只與一個自變量有關(guān)的方程式被稱為常微分方程。

2.2 常微分的階

微分方程中，出現(xiàn)的未知量的最高階導(dǎo)數(shù)的階數(shù)，一般被稱為是階。主要有以下幾種形式：

dy/dx=2x…一階。

x2y+xy-4y'=3x…二階。

由于常微分方程的未知量只有一個，所以一般它的階只有一個，主要形式為：dy/dx=2x。

2.3 一階常微分方程的形式

y'=f（x，y）或f（x，y，y'）=0

2.4 常微分方程計算的注意事項

（1）微分方程的通解不一定包含它的所有解，有些特殊解不包含在通解中。

（2）利用初等方法（初等積分法）求解微分方程，通常要進行乘除因式的變形，因此可能產(chǎn)生增解與失解，嚴(yán)格的說必須充分考慮，但是在高等數(shù)學(xué)（非數(shù)學(xué)專業(yè)）中主要為了強調(diào)方程歸類解法，通常不苛求同學(xué)如此嚴(yán)密解題，目的是突出方法，簡化過程。

3 換元法在齊次方程中的應(yīng)用

當(dāng)一階微分方程轉(zhuǎn)化為dy/dx=？準(zhǔn)（y/x）的形式時，被稱為是常微分方程的齊次方程。

設(shè)u=y/x，則y=xu

dy/dx=u+x（dy/dx）

將其代入齊次方程中，可得：

u=x（du/dx）=？準(zhǔn)（u）

x（du/dx）=？準(zhǔn)（u）-u

借助分離變量，換元，可得du/？準(zhǔn)（u）-u=dx/x。

兩邊同時積分，可得出一個關(guān)于u和x的函數(shù)關(guān)系式，將u替換成y/x的形式，則可求出方程的解。

例子1：求方程dy/dx=y/x+tan（y/x）

設(shè)將u=y/x，dy/dx=x（du/dx）+u代入原方程中，

得x（du/dx）=u+tanU

化簡后得：du/dx=tanu/x（1）

將上式分離變量后可得：cotudu=dx/x（2）

將（2）兩邊同時積分得：2n|sinu|=in|x|+e（e可以是任意常數(shù)）

整理后得：sinu=±e×x

令±e=c，則sinu=cx

會出現(xiàn)以下兩種情況當(dāng)tanu=0時，sinu=0（3）；當(dāng)c=0時，sinu=0（4）。

（4）滿足（3）的條件，所以原方程的通解為sin（y/x）=cx。

4 換元法在一階線性方程中的應(yīng)用

在微分方程中出現(xiàn)的未知函數(shù)及未知函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的指數(shù)為一次的方程被稱為一階線性方程。

如：dy/dx+xy2=sinx是一次階線性方程。

一次階的線性方程的形式為dy/dx=P（x）y+QX

在解決一次階線性方程時，要進行分類討論：

當(dāng)Q（X）等于0時，dy/dx+p（x）y=0，是它的齊次線性微分方程。

當(dāng)Q（X）不等于0時，dy/dx+p（xy），不是齊次線性微分方程。

現(xiàn)要求一次階線性方程，先根據(jù)dy/dx+p（x）y=0的解，求dy/dx+p（xy）的值。

換元得：dy/y=-p（x）→in|y|=-fp（x）dx+c→|y|=e-fp（x）dx+c→y=ce-fp.（x）dx（c=±ec），采用常數(shù)變換法，進行下一步的操作：

設(shè)y=ue-|p（x）dx，u=u（x）

則dy/dx=du/dx（e）-|p（x）dx-up（x）e|

代入上式中得，du/dx=Q（x）e{p（x）dx+c}

y=e-|-p（x）dx{|Q（x）e|dx+c}

例子2：求解方程dy/dx=y+sinx。

解：因為原式是一個齊次線性方程，且通解為y=cex。

可得，該方程的通解為dy/dx=cex。

常系數(shù)非齊次線性微分方程的通解=常系數(shù)齊次線性微分方程的通解+常系數(shù)非齊次線性微分方程的的一個特解。

例如：y'+y=1（1）

（1）的齊次方程：y'+y=0（2）的通解。

y（t）=Be^（st）s=-1

y（t）=Be^（-t）

（1）的一個特解：y*=1。

因此（1）的通解：y（t）=Be^（-t）+1。

5 兩種換元法的比較

（1）第一類換元法，就是反用復(fù)合函數(shù)的微分法。

如果g，h相對簡單，就很容易求。

第一類換元法，一般不會改變被積函數(shù)的形式，比如原來是根式，還是根式；原來是分式，還是分式；原來是多項式，還是多項式；原來是三角函數(shù)，還是三角函數(shù)；原來是對數(shù)函數(shù)還是對數(shù)函數(shù)；原來是指數(shù)函數(shù)還是指數(shù)函數(shù)等等。

第一類換元法的基本特征，是在被積函數(shù)與自變量之間，插入一個中間變量：

f（x）=g（z），z=h（x）

比如ln（5x+2）-->ln（z），z=5x+2

（2）第二類換元法，是要改變被積函數(shù)的形式的，通常用來積分根式、三角函數(shù)。比如，變換之后，沒有根號了；三角函數(shù)的萬能變換，將三角函數(shù)變成代數(shù)分式了。反三角函數(shù)變成三角函數(shù)了。

第二類換元法的基本形式是：

f（x），x=g（t），f（x）=f（g（t））

是在被積函數(shù)，自變量x，后面增加一級自變量t，取代了原來的自變量。

比如，lnx，x=e^t，lnx=lne^t=t。

6 結(jié)束語

通過上述換元法在常微分方程中應(yīng)用的分析，我們可以看出，換元法在數(shù)學(xué)領(lǐng)域中是發(fā)揮著極其重要的作用的。與其他學(xué)科相結(jié)合，在其他高等數(shù)學(xué)方法的基礎(chǔ)上，尋找合適的新元，使常微分方程的求解更加簡便快速。

隨著數(shù)學(xué)研究者的不懈努力和科學(xué)領(lǐng)域的不斷進步，常微分方程這一重要的學(xué)科也在數(shù)學(xué)領(lǐng)域中發(fā)揮著越來越重視的作用，被人們逐漸重視。為了進一步完善換元法在常微分方程中的應(yīng)用方法，我們也對數(shù)學(xué)研究學(xué)者提出了更高的要求。希望能在本文探討的結(jié)果下進一步加大對常微分方程的應(yīng)用的討論，總結(jié)出更多的應(yīng)用方法，更好地為解決數(shù)學(xué)領(lǐng)域及其他領(lǐng)域問題提供依據(jù)。由于數(shù)學(xué)知識比較廣泛，所以本文只是針對換元法在常微分方程中的部分應(yīng)用進行了簡單的分析，希望能幫助研究學(xué)者進行分析。

參考文獻

[1]劉星風(fēng).變量代換在高等數(shù)學(xué)中的應(yīng)用（第3版）[J].高校講壇，2016（15）：164～165.

[2]張 東.變量代換法在求解微分方程中的應(yīng)用[J].遼寧交通高等專科學(xué)校學(xué)報，2015，23（05）：341～342.

[3]詩敏偉，吳斌華.變量代換在求解微分方程中的應(yīng)用[J].徐州教育學(xué)院學(xué)報，2015，26（04）：123～125.

收稿日期：2018-3-5

作者簡介：王天璐，數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)專業(yè)。