探究高中數(shù)學(xué)解題中導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用

魏再彬

摘要：作為高中數(shù)學(xué)中的重點(diǎn)知識內(nèi)容，導(dǎo)數(shù)不僅是同學(xué)們課堂學(xué)習(xí)中的一部分，也是數(shù)學(xué)思想應(yīng)用的典型實(shí)例。其豐富的數(shù)學(xué)思維運(yùn)用，可以很好的幫助同學(xué)們建立數(shù)學(xué)的邏輯思維，同時也可以應(yīng)用于其他部分的學(xué)習(xí)，幫助同學(xué)們以更加簡單快捷的方式解決問題，不僅提高性學(xué)習(xí)效率，對于題目正確率的提升也是十分有幫助的。高中階段，同學(xué)們在日常練習(xí)解題的過程中應(yīng)用導(dǎo)數(shù)知識已經(jīng)十分普遍，導(dǎo)數(shù)在解決讀書數(shù)學(xué)問題中的優(yōu)勢性已經(jīng)逐漸顯現(xiàn)出來。本文筆者將結(jié)合自身生活學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)，從一名高中生的角度，探究高中數(shù)學(xué)解題中導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，以供讀者參考。

關(guān)鍵詞：導(dǎo)數(shù);高中數(shù)學(xué);解題應(yīng)用

中圖分類號：G633

文獻(xiàn)標(biāo)識碼：A

文章編號：1672 - 9129（ 2018） 12 - 0162 - 01

近幾年，新課標(biāo)規(guī)定不斷對課堂所學(xué)知識提出改進(jìn)改革建議，各學(xué)科的許多內(nèi)容都有了不同程度的增添、刪減、但是數(shù)學(xué)課堂之中的導(dǎo)數(shù)部分卻始終保持學(xué)習(xí)優(yōu)勢，在學(xué)習(xí)中的地位也逐漸突出。同學(xué)們對于導(dǎo)數(shù)的了解也不再像過去一樣，僅限于是課堂中的所學(xué)知識，是試卷上的幾個題型，而是逐漸在其他部分的學(xué)習(xí)中把導(dǎo)數(shù)運(yùn)用其中，使其成為解題的良好輔助。在遇到一些抽象難以理解的題目時，換用導(dǎo)數(shù)的思維能夠更加清晰直觀的找出其中思路，以達(dá)到更加快速的解題，更好的提高準(zhǔn)確率的目的。而新課標(biāo)對于同學(xué)們的要求中也提到了綜合能力素養(yǎng)的問題，導(dǎo)數(shù)的靈活運(yùn)用，很好的符合了這一要求，同時也提高了學(xué)生的學(xué)科成績。

探究導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，首先要從導(dǎo)數(shù)本身談起。簡單來說，導(dǎo)數(shù)作為高中數(shù)學(xué)課程中的重點(diǎn)學(xué)習(xí)部分，其概念理論、公式定義和圖形方程的運(yùn)用都有了相對完善的體系。同學(xué)們需要做的是盡量掌握相關(guān)內(nèi)容，然后靈活的加以運(yùn)用。尤其對于數(shù)學(xué)中的函數(shù)、極值求解、區(qū)間單調(diào)性、不等式證明、曲線的切線等題型中運(yùn)用較多。只要同學(xué)們掌握了導(dǎo)數(shù)的知識原理，自身的解題能力就會有根本的提高，接下來需要的就是在練習(xí)中不斷強(qiáng)化、完善自身的解題方式。以此促進(jìn)數(shù)學(xué)科目的學(xué)習(xí)，提高學(xué)習(xí)成績。

1 利用導(dǎo)數(shù)求解題目最值

涉及導(dǎo)數(shù)問題，首先求解定義域，這是每個教師上課中都強(qiáng)調(diào)過的內(nèi)容知識。所以關(guān)于導(dǎo)數(shù)的具體應(yīng)用，也離不開定義域問題，伴隨的即是最值求解。在學(xué)習(xí)函數(shù)內(nèi)容之前，對于函數(shù)求解的方式是多種多樣的，但是都存在有各自的局限性，或是準(zhǔn)確率不高或是步驟過于繁瑣。當(dāng)函數(shù)正式成為數(shù)學(xué)中的學(xué)習(xí)部分之后，函數(shù)的最值求解即有了一種全新的更為便捷的方式，直觀清晰，也避免了步驟過度而引起的小失誤。

作為高中階段的重點(diǎn)知識，函數(shù)的題型可以認(rèn)為是逢考必出的，而高中階段的最值求解更是受出題教師喜歡，即便有時不會出現(xiàn)在前面的選擇中，也一定會在后面的大題中涉及一些分值，這也就顯出了掌握最值求解問題的必要性。試題中往往最值求解的對象都是二次函數(shù)，如果用傳統(tǒng)方式去分解方程或是逐一描點(diǎn)畫圖，誤差太大，會降低最終結(jié)果的穩(wěn)定性。而運(yùn)用導(dǎo)數(shù)方法，則可以很快明確方程曲線走勢，使其變得容易起來。而應(yīng)用導(dǎo)數(shù)求解最值問題的本質(zhì)是在函數(shù)定義域范圍內(nèi)的區(qū)建里，判斷函數(shù)單調(diào)性，分別列出函數(shù)的增區(qū)間和減區(qū)間，最后帶人區(qū)間兩邊函數(shù)圖像所對應(yīng)的橫坐標(biāo)值，求出圖像所對的縱坐標(biāo)即為所求最大值或最小值。比如以具體題目為例，有一函數(shù)其f（x） =In（l +x） -x.要求求解f（x）的對應(yīng)值。對于該題目中的函數(shù)求值，可能許多同學(xué)會想到畫圖，更為直觀和易于理解，但是這種方式誤差過大，過程較長。因此這里采用導(dǎo)數(shù)方式，首先要根據(jù)題目函數(shù)確定函數(shù)的定義域，定義域?yàn)閤∈（-1，﹣∞），求導(dǎo)可得出f（x）= -1，函數(shù)取極值時f（x）=0，此時可得x=0，以O(shè)為分界點(diǎn)，當(dāng)-10函數(shù)圖像呈上升趨勢，單調(diào)遞增;當(dāng)x>0時，f（x）

2 利用導(dǎo)數(shù)解決函數(shù)的單調(diào)性問題

對于所給函數(shù)，將其轉(zhuǎn)換成導(dǎo)數(shù)形式，然后根據(jù)特定區(qū)間內(nèi)導(dǎo)數(shù)的符號正負(fù)來判斷函數(shù)單調(diào)性的增減，這是解決函數(shù)單調(diào)性問題的一般步驟，也是利用幾何方式研究函數(shù)曲線走向的典型用法，這個過程中所體現(xiàn)的是數(shù)學(xué)思維中數(shù)形結(jié)合的思維方式。通常對于簡單函數(shù)的單調(diào)性判斷，同學(xué)們會首先考慮定義法，步驟簡單過程直觀是它的首要特點(diǎn)，但是這種方式在面對較為復(fù)雜的函數(shù)問題時并不適用，過多的函數(shù)復(fù)合起來會讓解題變得困難，最終變成無從下手的狀況。這時候適當(dāng)應(yīng)用導(dǎo)數(shù)就能起到很好的效果。往往復(fù)雜的導(dǎo)數(shù)經(jīng)過求解就會變得形式簡潔，再進(jìn)行相應(yīng)分析計算就會簡單的多。也因?yàn)橐陨显?，?dǎo)數(shù)的單調(diào)性判斷方式相比于定義法的判斷方式應(yīng)用更為廣泛。

實(shí)際應(yīng)用中，要通過導(dǎo)數(shù)轉(zhuǎn)換來判斷函數(shù)單調(diào)性，需要做的首先是確定原函數(shù)的定義域，然后再定義域范圍內(nèi)判斷導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)符號問題。假設(shè)函數(shù)f（x）的定義域是區(qū)間[a，b]，那么如果原函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)f（x）在此區(qū)間內(nèi)大于O，則f（x）在此區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增，同理，f（x）小于O，原函數(shù)在此區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減。舉例，可以給定一個函數(shù)函數(shù)f（x）=x2 eax，定義函數(shù)中的a不大于O，在此條件下求解函數(shù)f（x）的單調(diào)性。審題可以得出此函數(shù)定義域x可取全體實(shí)數(shù)，在此基礎(chǔ)上，對原函數(shù)求導(dǎo)可得f（x）=x（ax +2）ex，需要令f（x）=0，a=0（符合函數(shù)中的a不大于O），解得x=0，可知此時函數(shù)的單調(diào)性。此題中函數(shù)屬于簡單函數(shù)，平時練習(xí)要注意復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)問題，及每部分函數(shù)單獨(dú)求導(dǎo)然后相加。單獨(dú)求導(dǎo)可根據(jù)課本中的公式進(jìn)行，這需要同學(xué)們牢記公式。另外，在解題過程中歸納單調(diào)性也要注意區(qū)間問題。

3 利用導(dǎo)數(shù)解決函數(shù)其他問題

解決函數(shù)圖像的切線問題。上文中介紹了函數(shù)求導(dǎo)后的單調(diào)性問題，在定義域區(qū)間內(nèi)，導(dǎo)函數(shù)大于零時，則函數(shù)圖像單調(diào)遞增，反之，導(dǎo)函數(shù)小于零，函數(shù)圖像在定義域區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減。而存在的另一種情況，當(dāng)導(dǎo)函數(shù)等于O時，函數(shù)圖像斜率為零。這三種情況很好的驗(yàn)證了導(dǎo)函數(shù)的幾何意義即是求解圖形某點(diǎn)斜率的問題。不只函數(shù)，圓錐曲線、三角曲線、指數(shù)圖像等都可以利用導(dǎo)數(shù)來確定切線斜率。但是因?yàn)槎ㄊ剿季S影響，許多時候同學(xué)們并不能意識到導(dǎo)函數(shù)求解函數(shù)斜率切線的普適性。固有的方法總是存在許多局限性，鼓勵同學(xué)們嘗試?yán)脤?dǎo)數(shù)知識解決切線問題，可以為以后的學(xué)習(xí)提供新的想法和思路。

解決不等式求證問題。與函數(shù)一起作為高中數(shù)學(xué)知識中的兩大支撐性存在，不等式的考察往往會涉及許多函數(shù)知識，有意識的引導(dǎo)學(xué)生的綜合學(xué)習(xí)能力。數(shù)學(xué)試卷中一般都會有一道函數(shù)和不等式的結(jié)合問題。解決此類問題需要運(yùn)用導(dǎo)數(shù)知識對所給函數(shù)做將次處理，的出原函數(shù)圖像分布在進(jìn)行比較和證明。

綜上所述，導(dǎo)數(shù)知識在數(shù)學(xué)解題過程中應(yīng)用十分廣泛。日常聯(lián)系中同學(xué)們可以通過對導(dǎo)數(shù)知識的強(qiáng)化運(yùn)用來提高解題速度和正確率。這就要求同學(xué)們掌握好導(dǎo)數(shù)的相關(guān)知識和內(nèi)容，并在遇到問題時仔細(xì)分析，開闊思路，把導(dǎo)數(shù)知識靈活的用用其中。對于函數(shù)極值問題、單調(diào)性的判斷、不等式證明和曲線斜率切線問題大多都可以使用導(dǎo)函數(shù)知識。同學(xué)們多多練習(xí)，強(qiáng)化相關(guān)知識，對于解決數(shù)學(xué)問題和一些實(shí)際情況都是十分有幫助的。

參考文獻(xiàn)：

[1]鄧晗陽.導(dǎo)數(shù)在高中數(shù)學(xué)解題中的應(yīng)用探討.2016 -12

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