分類討論思想在初中數(shù)學解題中的應用

趙秀紅

摘 要：數(shù)學這一門學科對于初中學生來說是非常重要的學科，在新課程改革標準的要求下，初中數(shù)學學科更加注重學生的數(shù)學學習能力以及數(shù)學思維的培養(yǎng)。數(shù)學中題型較多，因此對不同題型的題采用不同的解題思路非常重要，而分類討論思想在數(shù)學解題思路中占有很大的比重。主要介紹了分類討論思想在初中數(shù)學解題中的重要性以及在初中數(shù)學題目解答時的應用。

關(guān)鍵詞：分類討論思想；初中數(shù)學；解題思路

隨著國家新課程標準的改革，初中數(shù)學更加注重數(shù)學的解題方法以及解題思路，而不是以往死記硬背而來的標準答案，因此，教師在課堂上講授數(shù)學知識的時候應該注意數(shù)學解題方法以及解題思路的講解。分類討論思想作為一項數(shù)學最重要的解題方法之一，學生應該及早掌握并且做到熟練應用，只有這樣才能夠培養(yǎng)學生的數(shù)學的邏輯思維，才能夠使得學生增強對數(shù)學的理解，最后使得初中數(shù)學教學效率得到顯著提升。

一、分類討論思想對于初中數(shù)學解題的重要意義

分類討論思想主要是指在進行數(shù)學問題的解題過程中采用化整為零、積零為整的思想，運用歸納和整理的方法從而達到解決題目難的問題。對于初中數(shù)學中的題目使用單一的解題方法不能夠達到解題的目的，而如果采用分類討論思想，將一整個問題分解為單個的、比較簡單的問題，然后再在進行解題，逐個擊破，繼而對各個小問題的結(jié)果進行歸納整理，最終得到正確的答案。分類討論思想不僅解決了學生在審題之后無從下手的難題，還可以通過科學合理的分類討論來培養(yǎng)初中學生的解題能力，增強初中學生對數(shù)學規(guī)律的理解。相較于審題之后直接進行整個題目的解答，分類討論顯得更為容易，這樣一來，學生能夠體驗到數(shù)學解題中的樂趣，學生更容易投入到數(shù)學解題當中，增強學生的自主學習能力，從而增強數(shù)學教學的教學效率。

二、分類討論思想在初中數(shù)學解題過程中的原則

學生在運用分類討論思想進行解題的過程中需要堅持以下兩方面要求：第一項要求便是同一性和相稱性，在進行分類討論前首先要明確所要討論的對象，如果確定或者清楚討論對象，分類討論就不可能有序進行，在分類的過程中要保持一致的標準；第二項要求便是堅持互斥性以及多層次性，互斥性的意思主要是保持各個小問題不應該相互包含，必須互斥。多層次性主要是指在面對問題中需要進行多次分類的情況，需要堅持多層次性原

則，含義是利用二分法把同一層次中互相排斥的問題進行分類，以提高分類討論的科學有序性。

三、分類討論思想在初中數(shù)學中解題的具體應用

1.分類討論思想在初中幾何中的具體應用

例如，學生在解決和圓與圓的位置關(guān)系有關(guān)的問題時，學生可以按照兩圓圓心之間的距離與兩圓的半徑長度關(guān)系進行比較來分類：圓與圓相離、圓與圓相交、圓與圓相外切、圓與圓相內(nèi)切以及圓與圓內(nèi)含五種位置關(guān)系，然后再考慮問題的解題思路，利用分類討論思想來解決圓與圓的位置關(guān)系以及直線與圓的位置關(guān)系是比較常見的解題思想。另外還有就是在求解三角形問題中利用分類討論思想：

例1：在△ABC中，∠C=30°，AH是BC邊上的高，以及AH2=BH·HC，請問∠ABC的度數(shù)。

解析：經(jīng)過審題之后，發(fā)現(xiàn)題目中并沒有規(guī)定三角形形狀，如果貿(mào)然直接求解往往會漏掉一解，因此在解題的時候應該分類討論，根據(jù)題干要求可分類為三角形的高AH在三角形內(nèi)部以及高AH在三角形的外部。當高在內(nèi)部的時候，根據(jù)AH2=BH·HC這一典型的勾股定理可以進而判定該三角形為直角三角形，又因為∠C=30°，所以得到∠ABC=60°；當三角形的高在三角形的外部時，可以進而推斷出該三角形為鈍角三角形，然后根據(jù)AH2=BH·HC可以得出△AHC∽△BHA，所以∠ABC=∠BAH+∠AHC=120°。

在進行這類三角形相似問題解答運用分輪討論思想的時候，主要需要考慮的便是三角形屬于鈍角三角形、銳角三角形還是特殊的直角三角形，所以學生的解題思路首先就是要對三角形進行分類討論，然后在進行解題。

2.分類討論思想在初中函數(shù)中的具體應用

初中函數(shù)問題中大多需要進行分類討論，比如一次函數(shù)、二次函數(shù)的圖象與坐標軸關(guān)系就需要學生進行清晰的分類討論。

例2：己知函數(shù)y=（n-1）x2+（n-2）x-1，其中n為實數(shù)。若函數(shù)的圖象與x軸只有一個交點，求解n的值。

分析：經(jīng)過審題之后，發(fā)現(xiàn)直接求解并不容易，所以這道題需要采用分類討論思想，根據(jù)二次函數(shù)性質(zhì)可以分為兩種情況：n-1=0以及n-1≠0，然后在進行n值的求解。當n-1=0即n=1時，該函數(shù)為y=-x-1，所以與x軸僅有一個交點（-1，0）；當n-1≠0時，該函數(shù)則是一個二次函數(shù)，由Δ=（n-2）2-4（n-1）（-1）=0得n=0。因此，拋物線y=-x2-2x-1的頂點為（1，0），位于x軸上方。綜上所述，當n=0或n=1時，函數(shù)的圖象與x軸只有一個交點。

分類討論思想在初中數(shù)學中解題的應用對于提高學生數(shù)學解題能力，培養(yǎng)學生數(shù)學邏輯思維有著重要的意義。在解題過程中，根據(jù)題干信息選定分類標準，然后有序謹慎地進行分類，進而進行問題討論，最終歸納總結(jié)得出最終答案。分類討論思想并不僅僅是解決數(shù)學問題的一種方式，它更是一種了解數(shù)學的途徑，有效掌握分類討論對學生數(shù)學素養(yǎng)的提升有著重要的作用。

參考文獻：

段素麗.初中數(shù)學例題教學有效性的思考[J].數(shù)學學習與研究，2012（4）.

編輯 馬曉榮