多元情境多重體悟多維建構(gòu)
———《認(rèn)識(shí)方程》教學(xué)案例（一）

鮑善軍

【教學(xué)內(nèi)容】

人教版五年級(jí)上冊(cè)第62、63頁(yè)。

【課前思考】

“認(rèn)識(shí)方程”是學(xué)習(xí)代數(shù)的基礎(chǔ)，是在學(xué)生熟悉了常見(jiàn)的數(shù)量關(guān)系，能夠用字母表示數(shù)的基礎(chǔ)上進(jìn)行教學(xué)的，其內(nèi)涵豐富而抽象。如何讓學(xué)生順利地從算術(shù)思維過(guò)渡到代數(shù)思維？如何讓學(xué)生真正感受到方程的內(nèi)在本質(zhì)？這些都需要深入思考。

方程的本質(zhì)是什么？簡(jiǎn)單地說(shuō)，就是左右兩邊相等，這不僅是方程概念的本質(zhì)，也是列方程解決問(wèn)題的依據(jù)。陳重穆教授曾撰文呼吁：“含有未知數(shù)的等式叫做方程”這樣的定義要淡化，不要記，無(wú)須背，更不要考。關(guān)鍵是要理解方程思想的本質(zhì)，它的價(jià)值與意義。張奠宙教授對(duì)方程重新定義：“方程是為了尋求未知數(shù)，在未知數(shù)和已知數(shù)之間建立起來(lái)的等式關(guān)系?！笨梢?jiàn)，“含有未知數(shù)的等式叫做方程”并非方程的嚴(yán)格定義，僅是一種樸素的描寫(xiě)，方程的意義不在于概念本身，而在于方程的本質(zhì)特征：要“求”未知數(shù)，在未知數(shù)和已知數(shù)之間建立起來(lái)的等式關(guān)系。

如何建構(gòu)方程的意義？方程是一種工具，是一種現(xiàn)實(shí)模型，它能幫助我們很好地解決問(wèn)題。教師引導(dǎo)學(xué)生建立方程模型，首先要為學(xué)生提供一個(gè)生動(dòng)具體的現(xiàn)實(shí)情境，便于學(xué)生通過(guò)觀察、比較，從中抽象出數(shù)學(xué)問(wèn)題，并用簡(jiǎn)潔的數(shù)學(xué)語(yǔ)言進(jìn)行描述。借助天平稱物這一具體情境，抽象出數(shù)學(xué)式子，然后通過(guò)現(xiàn)實(shí)情境，找出兩種事物的等量關(guān)系，學(xué)生逐步擺脫天平的表象，在數(shù)學(xué)問(wèn)題中尋找“心中的天平”，在經(jīng)歷建模的過(guò)程中逐步鞏固加深對(duì)方程概念的理解和應(yīng)用。

方程思想的核心在于建模和化歸，即依據(jù)等量關(guān)系列方程和依據(jù)等式性質(zhì)解方程。學(xué)生在問(wèn)題情境中探索、研究，尋求已知與未知之間的內(nèi)在聯(lián)系，建立數(shù)量之間的相等關(guān)系，把日常語(yǔ)言描述抽象成數(shù)學(xué)表達(dá)（數(shù)量關(guān)系式），再轉(zhuǎn)換成數(shù)學(xué)符號(hào)（方程式）。因此，教學(xué)中不能只強(qiáng)調(diào)方程的外在形式，而應(yīng)設(shè)置多元數(shù)學(xué)情境，經(jīng)歷多重活動(dòng)體悟，進(jìn)行多維模型建構(gòu)，以凸顯數(shù)學(xué)知識(shí)的本質(zhì)，促進(jìn)學(xué)生的數(shù)學(xué)理解。

【教學(xué)過(guò)程】

一、微課導(dǎo)入，整體感知方程

師：今天，我們要認(rèn)識(shí)一位數(shù)學(xué)王國(guó)中的重量級(jí)人物——方程。關(guān)于方程，你知道或想知道些什么？（板書(shū)：方程）

生：我知道方程是一個(gè)算式，方程里有x、y這樣的未知數(shù)。

生：我知道方程可以解決很多問(wèn)題。

生：我想知道方程是誰(shuí)發(fā)明的？

生：我想知道什么是方程？

……

師：其實(shí)，方程在我國(guó)很早就有了，最初的方程和現(xiàn)在可不一樣。請(qǐng)同學(xué)們一起來(lái)了解一下方程的發(fā)展歷史。（內(nèi)容略）

師：看了這段視頻，說(shuō)說(shuō)你對(duì)方程有了哪些新的認(rèn)識(shí)？

（學(xué)生各抒己見(jiàn)，完善認(rèn)知結(jié)構(gòu)。教師相機(jī)板書(shū)：未知數(shù)、等式）

【設(shè)計(jì)意圖：學(xué)生總是帶著已有的生活經(jīng)驗(yàn)走進(jìn)課堂的，后續(xù)學(xué)習(xí)內(nèi)容總是先前學(xué)習(xí)內(nèi)容的進(jìn)一步發(fā)展和提升。課始，開(kāi)門(mén)見(jiàn)山點(diǎn)出要學(xué)習(xí)的內(nèi)容，并以開(kāi)放的姿態(tài)引導(dǎo)學(xué)生參與知識(shí)的建構(gòu)與生成。之后微課中方程的發(fā)展史也是人類(lèi)社會(huì)文明的發(fā)展史，學(xué)生在觀賞視頻的過(guò)程中接納與分析信息，整體感知方程概念?！?/p>

二、多元情境，自主建構(gòu)方程

1.在等量關(guān)系中建立方程的概念。

師：看！老師要給大家介紹一個(gè)很重要的朋友。（出示天平圖）這個(gè)，你們認(rèn)識(shí)嗎？

生：認(rèn)識(shí)！這是天平。

師：那你能用一個(gè)數(shù)學(xué)式子表達(dá)此時(shí)此刻天平中包含的數(shù)量關(guān)系嗎？請(qǐng)寫(xiě)下來(lái)。（出示圖1）

圖1

生：50+a=110。（板書(shū)）

師：請(qǐng)問(wèn)等號(hào)從哪里來(lái)？你怎么知道是相等的？

生：天平兩邊平衡，表示左右兩邊相等。

師：所以我們可以用等號(hào)相連，真不錯(cuò)！那么請(qǐng)問(wèn)天平左邊是蘋(píng)果，右邊是砝碼，怎么會(huì)相等呢？難道蘋(píng)果等于砝碼？

生：不是蘋(píng)果等于砝碼，而是蘋(píng)果的質(zhì)量等于砝碼的質(zhì)量。

師：你們明白他的意思嗎？

生：明白，蘋(píng)果和砝碼是兩種不同的東西，但它們的數(shù)量相等。

師：也就是說(shuō)，天平左右兩邊的兩種事物的數(shù)量相等，我們就可以用這樣的等式來(lái)表示，是嗎？（板書(shū)：兩種事物，數(shù)量相等）

生：是的。

師：那如果沒(méi)有天平，你還能用這樣的式子表示圖中的等量關(guān)系嗎？（出示圖2、圖3）

圖2

圖3

生：圖2為3x=2.4，圖3為x+2.7=6.9。（板書(shū)）

師：你是怎樣找到圖中的等量關(guān)系的？

生：圖2中，可以根據(jù)數(shù)量關(guān)系“單價(jià)×數(shù)量=總價(jià)”，找到它們之間的等量關(guān)系。每本練習(xí)本x元，有3本，一共是2.4元，所以3x=2.4。

師：根據(jù)數(shù)量關(guān)系式來(lái)找不同事物間的等量關(guān)系是個(gè)不錯(cuò)的方法。那圖3也有這樣的關(guān)系嗎？

生：圖3中，x和2.7都是全長(zhǎng)的一部分，數(shù)量關(guān)系是“部分?jǐn)?shù)+部分?jǐn)?shù)=總數(shù)”。

師：非常棒！我們一起看，像50+a=100，3x=2.4，x+2.7=6.9 這樣的式子就是方程?，F(xiàn)在，你能說(shuō)一說(shuō)什么是方程了嗎？

生：方程表示兩種事物之間的數(shù)量相等。

生：我覺(jué)得方程是未知數(shù)和已知數(shù)之間的等量關(guān)系式。

生：含有未知數(shù)的等式，叫做方程。

師：大家說(shuō)的都很有道理！說(shuō)明你們對(duì)方程有了更深入的理解。

（教師強(qiáng)化板書(shū)，形成下圖）

【設(shè)計(jì)意圖：方程的本質(zhì)是描述現(xiàn)實(shí)世界中的等量關(guān)系，它的核心在于用數(shù)學(xué)的形式表達(dá)現(xiàn)實(shí)世界中的等量關(guān)系?！叭绻麤](méi)有天平，你還能用這樣的式子表示圖中的等量關(guān)系嗎？”引導(dǎo)學(xué)生脫離天平情境尋找“心中的天平”，進(jìn)一步豐富對(duì)現(xiàn)實(shí)問(wèn)題中未知數(shù)和已知數(shù)之間的等量關(guān)系的認(rèn)識(shí)，體悟方程的概念。】

2.在辨析關(guān)系中豐富對(duì)方程的理解。

師：我們說(shuō)，含有未知數(shù)的等式叫做方程。請(qǐng)判斷：方程一定是等式，對(duì)嗎？

生：正確！方程是含有未知數(shù)的等式，所以，方程一定是等式。

師：那等式一定是方程嗎？

生：等式不一定是方程，比如2+8=10是等式，但沒(méi)有未知數(shù)，就不是方程。

師：你能用集合圈表示出方程和等式之間的關(guān)系嗎？

學(xué)生展示匯報(bào)：

生：方程一定是等式，等式不一定是方程。

師：根據(jù)這個(gè)集合圈，等式和方程的關(guān)系還可以怎么說(shuō)？

生：等式包含方程，方程是一種特殊的等式。

【設(shè)計(jì)意圖：于意義建構(gòu)基礎(chǔ)上辨析方程與等式之間的關(guān)系，意在幫助學(xué)生進(jìn)一步豐富對(duì)概念的理解，厘清概念的外延?！?/p>

3.在關(guān)聯(lián)情境中溝通方程的認(rèn)知。

師：下列式子中的一個(gè)數(shù)、一個(gè)字母或一個(gè)符號(hào)被蓋住了，想一想，這個(gè)式子有可能是方程嗎？

出示：

x+★，25-x★16，★×7=42。

生：第一個(gè)式子不可能是方程。第二個(gè)式子，如果蓋住的是等號(hào)，就是方程。第三個(gè)式子，如果蓋住的是字母，那就是方程。

師：如果把“★×7=42”中的“★”改成“（）”，還是方程嗎？

生：我認(rèn)為不是，因?yàn)樯w住的不是字母。

生：我覺(jué)得是方程，因?yàn)槔ㄌ?hào)表示的是未知數(shù)。

師：是啊，含有未知數(shù)的等式就是方程。那如果把“★”改成“？”還是方程嗎？

生：（異口同聲）是。

師：原來(lái)，方程一直隱藏在我們身邊。方程和我們?cè)缫呀?jīng)是老朋友了。

【設(shè)計(jì)意圖：“這個(gè)式子有可能是方程嗎？”呈現(xiàn)以往學(xué)習(xí)中接觸過(guò)的含有未知數(shù)的等式，在學(xué)生破解懸念的興奮中進(jìn)行知識(shí)關(guān)聯(lián)，再次凸顯方程的本質(zhì)，有利于學(xué)生更加清晰、全面地認(rèn)識(shí)方程?！?/p>

三、綜合應(yīng)用，深入理解方程

1.根據(jù)圖中的數(shù)量關(guān)系列出方程。

生：x-45=128。

師：你是依據(jù)怎樣的等量關(guān)系列出這個(gè)方程的？

生：我的依據(jù)是：原價(jià)-優(yōu)惠的價(jià)錢(qián)=現(xiàn)價(jià)。

生：還可以列出方程x-128=45，依據(jù)是：原價(jià)-現(xiàn)價(jià)=優(yōu)惠的價(jià)錢(qián)。

生：還有一個(gè)方程45+128=x，依據(jù)是：現(xiàn)價(jià)+優(yōu)惠的價(jià)錢(qián)=原價(jià)。

師：列方程時(shí)，我們一般順向思考找出題中的等量關(guān)系，無(wú)需逆向思考。一起來(lái)看這位同學(xué)列的式子45+128=x，你們有什么想說(shuō)的？

生：他這樣列方程是逆向思考問(wèn)題。

生：這個(gè)方程中45+128的計(jì)算結(jié)果就是x，感覺(jué)與以前學(xué)的算術(shù)方法一樣。

師：是的。像這樣的等式，x沒(méi)有參與運(yùn)算，本質(zhì)上還是算術(shù)思維，所以列這樣的方程也就沒(méi)有意義了。

【設(shè)計(jì)意圖：方程的價(jià)值在于求解，引入方程后，原本需要逆向思考的問(wèn)題，可以通過(guò)順向思考建立等量關(guān)系。當(dāng)學(xué)生列出“45+128=x”時(shí)，教師并沒(méi)有把問(wèn)題留待日后解決，而是從一開(kāi)始就讓學(xué)生明白，未知數(shù)沒(méi)有參與運(yùn)算，本質(zhì)上還是算術(shù)思維，列這樣的方程是沒(méi)有意義的?！?/p>

2.列方程表示下面各題的數(shù)量關(guān)系。

（1）

（2）烏龜每分鐘爬行x米，4分鐘共爬行80米。

（3）弟弟收藏郵票x張，姐姐收藏的郵票是弟弟的4倍，姐姐收藏郵票80張。

（4）一種糖果每千克x元，買(mǎi)4千克糖果需要80元。

師：觀察這四道題，你有什么發(fā)現(xiàn)？

生：題目不一樣，但列出的方程都是4x=80。

師：四道題目各不相同，為什么列出的方程卻相同？

生：因?yàn)樗鼈兊臄?shù)量關(guān)系相同，都可以用“每份數(shù)×份數(shù)=總數(shù)”來(lái)表示。

師：同一個(gè)方程4x=80，等量關(guān)系都是“每份數(shù)×份數(shù)=總數(shù)”，它們所表示的具體意義相同嗎？

生：具體現(xiàn)實(shí)意義不同。第一題表示“成人人數(shù)+兒童人數(shù)=總?cè)藬?shù)”，第二題表示“速度×?xí)r間=路程”，第三題表示“弟弟的郵票張數(shù)×4倍=姐姐的郵票張數(shù)”，第四題表示“單價(jià)×數(shù)量=總價(jià)”。

師：是的，同一個(gè)方程可以表示同一類(lèi)等量關(guān)系，但所表示的具體實(shí)際意義卻各不相同，這就是方程的魅力所在。想一想，你還能根據(jù)方程4x=80編出不同的應(yīng)用題嗎？

（學(xué)生舉例）

【設(shè)計(jì)意圖：方程是一類(lèi)事物普遍適用的數(shù)學(xué)模型。從這一角度來(lái)說(shuō)，同樣的4x=80逆推出的不同問(wèn)題情境，都表示兩種事物數(shù)量相等，而4x=80恰恰是這些不同情境、相似結(jié)構(gòu)的數(shù)學(xué)問(wèn)題的統(tǒng)一數(shù)學(xué)模型。這既豐富了方程的概念，又體會(huì)到方程的簡(jiǎn)潔美，感悟方程的模型思想?！?/p>

四、課堂小結(jié)，反思回顧方程

師：通過(guò)這節(jié)課的學(xué)習(xí)，你對(duì)方程有了哪些認(rèn)識(shí)？有什么收獲與體會(huì)？

【教后反思】

關(guān)于方程，教材的定義是“含有未知數(shù)的等式”，因而，很多教師的理解也往往局限于此。教學(xué)時(shí)在得出一些等式和不等式的基礎(chǔ)上，通過(guò)分類(lèi)引導(dǎo)學(xué)生從中篩選出等式，再篩選出含有未知數(shù)的等式，進(jìn)而揭示方程的意義。筆者認(rèn)同這一教學(xué)線索的合理性，但總覺(jué)得沒(méi)有將方程本身的意義完全凸顯。在筆者看來(lái)，方程的理解不能僅僅停留在“含有未知數(shù)的等式”這一層面，要力求達(dá)到本質(zhì)的理解——方程表示的是兩種事物的數(shù)量相等，是在未知數(shù)和已知數(shù)之間建立的等量關(guān)系。

對(duì)五年級(jí)的學(xué)生而言，方程不僅是外在形式上的認(rèn)識(shí)，更要讓學(xué)生感受它在解決實(shí)際問(wèn)題時(shí)建立模型的過(guò)程。教學(xué)中，借助天平讓學(xué)生明白方程所講的是兩種事物的數(shù)量相等，進(jìn)而脫離天平的表象，從現(xiàn)實(shí)情境中抽象出等量關(guān)系，并用數(shù)學(xué)式子表示，感受到方程與實(shí)際問(wèn)題的聯(lián)系，領(lǐng)會(huì)數(shù)學(xué)建模的思想和基本過(guò)程。建構(gòu)方程概念之后，“價(jià)格優(yōu)惠”問(wèn)題是讓學(xué)生明白根據(jù)不同的數(shù)量關(guān)系式可以找到不同的等量關(guān)系，從而列出不同的方程，但未知數(shù)沒(méi)有參與運(yùn)算的方程是沒(méi)有意義的。緊接著的題組練習(xí)是對(duì)方程的深入理解，只要等量關(guān)系相同，具有相同的數(shù)學(xué)模型，就可以列出相同的方程，但所表示的具體實(shí)際意義各有不同。最后，根據(jù)“4x=80”這一方程進(jìn)行創(chuàng)編，讓學(xué)生進(jìn)一步體會(huì)方程的廣泛應(yīng)用，實(shí)現(xiàn)從算術(shù)思維向代數(shù)思維的過(guò)渡，獲得對(duì)模型思想的深刻感悟。

其實(shí)，無(wú)論是方程概念的教學(xué)，還是其他數(shù)學(xué)概念的教學(xué)，都應(yīng)該著眼于學(xué)生的多重體悟，重本質(zhì)而輕形式，重感悟而輕結(jié)論，這一直是促進(jìn)學(xué)生深入理解數(shù)學(xué)概念的有效策略。