以史為鑒積累數(shù)學活動經(jīng)驗

郭耀宇

歷史是教學的指南，數(shù)學史能夠呈現(xiàn)數(shù)學知識的來龍去脈。數(shù)學學科知識中有不少來源于人們在現(xiàn)實生活中的觀察與實踐總結(jié)。數(shù)學教師如果能夠結(jié)合數(shù)學史料，精心設(shè)計一些探究活動或?qū)嶒灢僮?，那么學生便能親身經(jīng)歷數(shù)學知識的發(fā)生發(fā)展過程，做到知其然并知其所以然。本文試以圓面積計算公式的推導為例，以圓面積計算在數(shù)學史上的發(fā)生發(fā)展來設(shè)計相關(guān)活動，從借鑒數(shù)學史教學價值的角度來談?wù)勅绾畏e累數(shù)學活動經(jīng)驗，提高學生的數(shù)學素養(yǎng)。

一、重現(xiàn)數(shù)學史，通過實驗操作積累數(shù)學活動經(jīng)驗

古埃及萊茵德草書第50題這樣記錄：假設(shè)一直徑為9的圓形土地，其面積等于邊長為8的正方形面積。這說明古埃及人有了圓面積的近似計算公式。基于這一史實，筆者先請學生回憶以前長方形面積公式的推導過程，明確了是用單位正方形先去數(shù)個數(shù)，然后再推導公式。接著在課堂上安排了兩個實驗，實驗一：以觀察為主，課件展示用單位正方形來鋪滿圓，發(fā)現(xiàn)總有縫隙或超出，無法契合鋪滿，引出用直邊圖形面積直接代替曲邊圖形面積的矛盾沖突。實驗二：以操作為主，告知學生古埃及圓的面積計算公式相傳是從數(shù)谷粒的方法中歸納得到的，讓學生通過實驗操作來經(jīng)歷這個過程。給每個學習小組（四人一組，共十組）分發(fā)一個“外方內(nèi)圓”的圖形（圖1），每個小組圓的直徑大小不等。實驗步驟1：挑一挑——學習小組從組長帶來的米粒中挑選出大小均勻的米粒（討論并明確為什么要大小均勻）。步驟2：鋪一鋪——把大小均勻的米粒鋪滿整個圓并記錄下米粒數(shù)，然后把四個邊角的空白也鋪滿，即鋪滿與其外切的正方形，并記錄下米粒數(shù)。步驟3：說一說——討論鋪的過程為什么要盡量做到不重疊又不留縫隙（這樣才能盡最大可能逼近圖形的近似面積）。步驟4：算一算——計算鋪滿圓與鋪滿正方形的米粒數(shù)量之間的比值（表1）。步驟5：辨一辨——明確這個比值就是這兩個圖形面積間的關(guān)系，用正方形的面積乘這個比值就等于圓的面積。步驟6：想一想——此時因為有了各組實驗數(shù)據(jù)的支撐，而學生又知道正方形的面積是可以用公式計算的，所以完全可以拋開正方形內(nèi)的米粒數(shù)而用正方形的面積乘這個比值，圓的面積就可以被粗略地計算出來了，即圓的面積大約等于正方形面積的。

這個實驗操作雖然無法精確地得到圓的面積計算公式，但學生通過“挑—鋪—說—算—辨—想”等實驗操作積累了一定的數(shù)學活動經(jīng)驗，知道了圓面積計算最早發(fā)生的形態(tài)。這會激起學生的學習興趣，更重要的是在積累活動經(jīng)驗的過程中感知到曲邊圖形（圓）與直邊圖形（正方形）的面積有一定的關(guān)聯(lián)，這使得后續(xù)將圓轉(zhuǎn)化為長方形來求得面積變得更為順理成章。

二、借鑒數(shù)學史，通過合作探究積累數(shù)學活動經(jīng)驗

學生在上述實驗操作中萌發(fā)了把圓面積轉(zhuǎn)化成直邊圖形面積來研究的想法，于是筆者啟發(fā)學生回顧平行四邊形的面積是如何通過割補法轉(zhuǎn)化成長方形面積的過程。在轉(zhuǎn)化思想的支撐下，進行了如下對話。

師：“大家能應(yīng)用轉(zhuǎn)化的方法合作探究出圓的面積嗎？”生1：“可以把圓切開，重新拼接?！睅煟骸叭我馇锌梢詥?？”生2：“可以在圓里面切出一個正方形或長方形?！睅煟骸扒型晁倪呅魏?，外圍剩下的4小塊還是曲邊圖形，沒法計算?！鄙?：“可以沿著半徑切。”生4：“可以沿著直徑切?！薄藭r，筆者再順水推舟介紹數(shù)學史上古印度數(shù)學家關(guān)于圓面積的探究：古印度數(shù)學家受切西瓜的啟發(fā)，把圓切成小瓣，然后把這些小瓣上下對接（介紹到此為止，不再往下）。接下來在切西瓜這一動作表象的作用下，請學生用帶來的圓形紙片在小組內(nèi)合作學習，探究圓面積該如何計算。為了使探究活動更為高效，筆者建議學習小組對圓進行偶數(shù)等分。各個學習小組分別對圓進行了四等分、六等分、八等分、十等分、十二等分、十六等分，然后重新拼接。隨著等分的份數(shù)逐漸增加，筆者使用希沃授課助手將各小組拼擺的圖形投影到屏幕上進行對比，學生強烈地感受到分的份數(shù)越多，拼接出來的圖形越接近于長方形，這樣就可以把圓的面積轉(zhuǎn)化成長方形的面積來計算。此時筆者再追問：“圓的面積大小有變化嗎？”生：“不變，圓的面積轉(zhuǎn)化成長方形的面積?！睅煟骸伴L方形的面積=長×寬，那么這個長方形的長和寬分別是哪條？等于什么？”因為有親身的探究經(jīng)歷，學生輕松答出長方形的長等于圓周長的一半，即πr，寬等于半徑，即r，于是得到了圓的面積計算公式：S=πr2。在整個公式的推導過程中，學生密切合作，他們完成了等分、拼接、交流、推導四個探究活動。通過這些探究活動，學生經(jīng)歷了圓面積轉(zhuǎn)化及其計算公式產(chǎn)生、發(fā)展、形成的過程，既感受了數(shù)學邏輯推理的嚴謹性，又發(fā)展了思維能力。這不僅幫助學生積累活動經(jīng)驗，而且極大地提升了學生的數(shù)學素養(yǎng)。

三、聯(lián)系數(shù)學史，通過學以致用積累數(shù)學活動經(jīng)驗

學習金字塔告訴我們：輸出式學習是一種最高效的學習方式。學以致用則是輸出式學習的直接表現(xiàn)。讓學生在學會圓的面積計算之后，立刻加以應(yīng)用，不但能鞏固所學，而且在應(yīng)用中能體會到數(shù)學與生活的聯(lián)系。

筆者在課堂上設(shè)計了一道馬兒吃草的問題：馬的韁繩被綁在一個樹樁上，已知繩子的長度是5米，求這匹馬能吃到草的最大面積是多少？在解決這個問題的過程中，能幫助學生體驗從生活經(jīng)驗向數(shù)學活動經(jīng)驗的升華，這樣的升華能幫助學生從現(xiàn)實生活或者具體情境中抽象出數(shù)學問題并選擇適當?shù)牟呗约右越鉀Q。接下來，學生展示了這道題的兩種解決策略：一是直接應(yīng)用公式S=πr2進行解答;二是應(yīng)用S=πr×r進行計算。從學生的發(fā)言中得知，在解題的過程中他們想到了圓的面積就是轉(zhuǎn)化后的長方形面積，長方形的長是圓周長的一半，寬是圓的半徑，當想到了長×寬就想到了πr×r。第二種解決策略說明了學生對探究活動的過程和結(jié)果已完成了內(nèi)化，凸顯了利用數(shù)學活動獲得知識、形成能力的獨特價值。此時可聯(lián)系數(shù)學史，借助多媒體展示“圓田術(shù)”：大約在1800多年前，漢代數(shù)學家劉徽對《九章算術(shù)》中記載的圓面積公式（圓田術(shù)）進行注解——半周半徑相乘，得積步。也就是說圓面積等于圓的一半周長乘半徑，這樣聯(lián)系數(shù)學史的學以致用，讓學生的數(shù)學活動經(jīng)驗得以積累，學習的熱情得以激發(fā)。

總之，數(shù)學史猶如一座神奇的數(shù)學寶藏，它蘊含著豐富的知識、方法和思想，只要我們深入挖掘，精心設(shè)計，必能為學生提供實驗操作、合作探究、學以致用機會，讓學生經(jīng)歷數(shù)學知識發(fā)生發(fā)展的全過程，從而積累豐富的數(shù)學活動經(jīng)驗。