基于類間功率譜差的FRFT-TDCS門限判決算法

任清華，徐兵政，王桂勝，胡詩駿，劉 洋

(1.空軍工程大學(xué) 信息與導(dǎo)航學(xué)院，西安 710077;2.中國電子科技集團(tuán) 航天信息應(yīng)用技術(shù)重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室， 石家莊 050081;3.95129部隊(duì)，河南 開封 475000)

0 引 言

變換域通信系統(tǒng)(transform domain communication system，TDCS)以其獨(dú)特的利用頻譜空穴“主動(dòng)”抗干擾的思想和低截獲(low probability of interception, LPI)、低檢測(low probability of interception, LPD)性能引起了通信領(lǐng)域內(nèi)的廣泛關(guān)注[1-4]。近幾年來，F(xiàn)RFT作為一種新興的時(shí)頻變換工具，不斷得到完善和發(fā)展，成為了對(duì)LFM信號(hào)良好的處理工具。文獻(xiàn)[5]將FRFT引入TDCS，開啟了分?jǐn)?shù)階傅里葉變換域通信系統(tǒng)(transform domain communication system based on fractional Fourier transform, FRFT-TDCS)的嶄新時(shí)代。

變換域通信系統(tǒng)“主動(dòng)”抗干擾能力主要體現(xiàn)形式是在變換域上將干擾有效地剔除。因此，門限的設(shè)定決定了干擾是否能徹底剔除。傳統(tǒng)的TDCS門限設(shè)置方法以干擾信號(hào)最大頻譜幅度的40%作為門限值對(duì)干擾頻譜進(jìn)行剔除。國內(nèi)許多學(xué)者在TDCS門限上做出貢獻(xiàn)，但是大多是基于傅里葉變換的傳統(tǒng)TDCS的基礎(chǔ)上。目前，有關(guān)FRFT-TDCS的門限設(shè)計(jì)的文獻(xiàn)極其有限，文獻(xiàn)[6]利用FRFT-TDCS對(duì)單分量線性調(diào)頻(linear frequency modulation，LFM)干擾進(jìn)行處理，首先確定最優(yōu)變換階次，再進(jìn)行門限設(shè)置，但是在多分量LFM干擾的情況下，不同LFM干擾信號(hào)由于最優(yōu)變換階次的不同，導(dǎo)致在不同變換階次下的干擾頻譜幅度和位置均不同，難以有效剔除干擾。文獻(xiàn)[7]對(duì)噪聲進(jìn)行估計(jì)，從而自適應(yīng)地確定門限，達(dá)到降低誤碼率的目的，但是忽略了干擾條件對(duì)噪聲估計(jì)的影響，且沒有說明噪聲估計(jì)的方法。本文從干擾與噪聲的特征出發(fā)，利用 “類間方差最大既是錯(cuò)分概率最小”的思想[8],根據(jù)類間方差算法僅以均值為特征的缺陷，提出類間功率譜差算法，無需對(duì)噪聲有先驗(yàn)知識(shí)。仿真結(jié)果表明，該算法能較大地改善系統(tǒng)的抗干擾能力。

1 LFM干擾分?jǐn)?shù)域頻譜特征

1.1 分?jǐn)?shù)階傅里葉變換定義

信號(hào)x(t)的α角度的FRFT定義為

(1)

1.2 線性調(diào)頻干擾定義

LFM干擾是一種典型的非平穩(wěn)干擾信號(hào)，其瞬時(shí)頻率隨時(shí)間呈線性變化，多分量LFM干擾可表示為

(2)

(2)式中，ki，fi，Ai分別代表第i個(gè)分量LFM干擾信號(hào)的調(diào)頻率、初始頻率、幅度。圖1為LFM干擾信號(hào)的時(shí)頻分布圖。

圖1 LFM干擾信號(hào)時(shí)頻分布圖Fig.1 Time frequency distribution of LFM interference

圖1中，加粗黑線代表了LFM干擾的時(shí)頻分布，α代表了LFM干擾在時(shí)頻分布圖上旋轉(zhuǎn)的角度。采用文獻(xiàn)[9]中的方法對(duì)電磁環(huán)境中的多分量LFM干擾信號(hào)參數(shù)進(jìn)行估計(jì)，第i分量LFM干擾信號(hào)的最優(yōu)階次可計(jì)算為

(3)

圖2為LFM干擾信號(hào)的FRFT域頻譜分布圖?？梢钥闯?，多分量LFM干擾由于調(diào)頻率ki的不同導(dǎo)致各分量的最優(yōu)階次不一致，不同分量LFM干擾僅在其最優(yōu)階次時(shí)，其FRFT域頻譜取得最大值，且明顯大于其他變換階次，其他的分量由于遠(yuǎn)離其最優(yōu)階次，導(dǎo)致FRFT域峰值呈下降趨勢。

圖2 LFM干擾信號(hào)的FRFT域頻譜分布圖Fig.2 FRFT domain of LFM interference

不同變換階次下三分量LFM干擾信號(hào)的頻譜分布如圖3所示。可以看出，多分量LFM干擾信號(hào)在不同變換階次下的分?jǐn)?shù)域頻譜分布截然不同，根據(jù)傳統(tǒng)的門限設(shè)置方法將干擾信號(hào)最大頻譜幅度的40%作為門限值(見圖3中直線)，必將導(dǎo)致部分干擾頻譜難以被有效剔除，造成系統(tǒng)性能下降。為此，本文提出自適應(yīng)的門限設(shè)置方法，能夠有效剔除干擾頻譜。

2 FRFT-TDCS工作原理

由于傅里葉變換在處理非平穩(wěn)干擾時(shí)具有局限性，而FRFT作為一種時(shí)頻分析工具對(duì)LFM干擾良好的處理能力，因此，F(xiàn)RFT-TDCS相比于FFT-TDCS(transform domain communication system based on Fourier transform)具有無可替代的作用，其工作原理如圖4所示。

2.1 FRFT-TDCS基函數(shù)生成算法

發(fā)送端首先將電磁環(huán)境在FRFT域進(jìn)行采樣，對(duì)干擾信號(hào)參數(shù)估計(jì)，以相位u和變換階次p為變量，生成[u,p,X(u,p)]三維分?jǐn)?shù)域頻譜分布圖；選擇最優(yōu)階次p，同時(shí)確定門限值，門限設(shè)置可以對(duì)干擾頻譜進(jìn)行判決，小于門限值的頻譜載波進(jìn)行保留，設(shè)置為1，大于門限值的頻譜載波進(jìn)行剔除，設(shè)置為0，得到由0，1序列組成的幅度譜向量A′(k)；將偽隨機(jī)相位ejθk與幅度譜A′(k)相乘生成基函數(shù)，表示為

(4)

圖3 不同變換階次下三分量LFM干擾信號(hào)分?jǐn)?shù)域頻譜分布圖Fig.3 Spectrum distribution of three component LFM interference signal under different FRFT orders

為保證每一調(diào)制波形均能夠以相同的功率進(jìn)行發(fā)射，系統(tǒng)需要對(duì)FRFT域基函數(shù)進(jìn)行能量調(diào)整

(5)

(6)

(6)式中，ejπφp為FRFT變換核。可以從圖2中看出，F(xiàn)RFT-TDCS基函數(shù)具有偽隨機(jī)特性，另外，系統(tǒng)對(duì)FRFT域的干擾頻譜進(jìn)行定周期檢測，其FRFT域幅度譜向量會(huì)根據(jù)干擾頻譜的變化不斷進(jìn)行更新，對(duì)應(yīng)的基函數(shù)也會(huì)不斷更新，因此，可以始終保持良好的抗干擾能力。在接收端，認(rèn)為其所處的電磁環(huán)境相同(例如蜂群無人機(jī)數(shù)據(jù)鏈抗干擾通信)。采用相同的方式，可以得到與發(fā)射端同樣的基函數(shù)，進(jìn)而對(duì)信息位進(jìn)行恢復(fù)，F(xiàn)RFT-TDCS基函數(shù)時(shí)域圖如圖5所示。

圖4 FRFT-TDCS工作原理框圖Fig.4 Working principle diagram of FRFT-TDCS

圖5 FRFT-TDCS基函數(shù)時(shí)域圖Fig.5 Base function time domain graph of FRFT-TDCS

2.2 調(diào)制技術(shù)

與傳統(tǒng)的通信系統(tǒng)不同，TDCS沒有使用載波調(diào)制。而是根據(jù)信道特征所設(shè)計(jì)的具有類噪聲性能的基函數(shù)對(duì)信息數(shù)據(jù)進(jìn)行調(diào)制，以滿足系統(tǒng)對(duì)LDI/LDP性能的要求。下面對(duì)TDCS 2種主要的調(diào)制方式的誤碼率進(jìn)行研究。

現(xiàn)有的調(diào)制技術(shù)有雙極性(Bipolar)調(diào)制、循環(huán)移位鍵控(cyclic shift keying，CSK)調(diào)制、以及CSK的改進(jìn)形式。Bipolar調(diào)制是一種簡單的調(diào)制方式，其將基函數(shù)進(jìn)行翻轉(zhuǎn)，用基函數(shù)的正負(fù)代表不同發(fā)送碼元si，解調(diào)程序簡單，誤碼率性能較好，但傳輸效率極低。CSK是利用基函數(shù)良好的類噪聲性能，將基函數(shù)不同移位后的波形生成一個(gè)數(shù)量龐大發(fā)送波形集合，每一發(fā)送波形均可以對(duì)多個(gè)信息位進(jìn)行調(diào)制，提高了頻譜利用效率。Bipolar調(diào)制和CSK對(duì)比如表1所示。

表1 不同調(diào)制技術(shù)對(duì)比

(7)

M為CCSK的調(diào)制階數(shù).則基于CSK調(diào)制的TDCS系統(tǒng)誤比特率可表示為

(8)

3 基于類間功率譜差的門限判決算法

FRFT-TDCS和擴(kuò)頻通信相比，不再是盲目地利用整個(gè)頻譜，而是利用FRFT域剔除干擾后的“干凈”頻譜，具有良好的抗干擾能力。如果門限判決過高，導(dǎo)致干擾未必剔除，造成誤碼率的必然增高；如果門限判決過低，可能導(dǎo)致剔除不存在干擾的頻段，導(dǎo)致頻譜率用率降低。

3.1 算法描述

首先，由于在文獻(xiàn)[10]中證明FRFT不改變白噪聲的統(tǒng)計(jì)特性，白噪聲不跟隨分?jǐn)?shù)階傅里葉變換的變換階次而改變。因此，高斯白噪聲的幅度不會(huì)隨著變換階次的變化而變化。

其次，令相位搜尋點(diǎn)數(shù)為u，F(xiàn)RFT變換階次搜尋點(diǎn)數(shù)為v，假設(shè)信道中存在LFM干擾j(t)和噪聲n(t)

x(t)=j(t)+n(t)

(9)

對(duì)x(t)進(jìn)行變換角度為α的FRFT變換

X(u,α)=J(u,α)+N(u,α)

(10)

(11)

利用門限值k，幅度值被分到L1(0≤i≤k)的概率P1(k)為

(12)

那么分配到L1的分?jǐn)?shù)階功率譜為

(13)

根據(jù)貝葉斯公式得出

(14)

由于設(shè)定i的值是來自L1，故P(L1/i)=1。

(15)

類似地，分配到L2(k

(16)

整個(gè)分?jǐn)?shù)域三維分布圖的分?jǐn)?shù)階功率譜為

(17)

聯(lián)合(12)，(15)—(17)式可以得到

P1(k)R1+P2(k)R2=RG

(18)

P1(k)+P2(k)=1

(19)

引進(jìn)類間功率譜差的概念，定義為

Z(k)=P1(k)(R1-RG)2+P2(k)(R2-RG)2

(20)

將(18) 式和(19)式代入(20)式，可以得出

Z(k)=P1(k)P2(k)(R1-R2)2

(21)

從(21)式可以看出，R1與R2相差越大，Z的值越大，這表明類間功率譜差和類間方差相似，都可以代表類之間的可分性度量，只是類間方差以均值為特征，類間功率譜差以功率譜為特征。因此，尋找最優(yōu)門限k*使得Z(k)的值最大化。即為了尋找k*，對(duì)所有的k的整數(shù)值進(jìn)行計(jì)算，并選取使得Z(k)最大的k值。

門限設(shè)置步驟描述如下。

1)將電磁環(huán)境在FRFT域進(jìn)行采樣。使用p(i)表示幅度值為i的概率；

2)設(shè)定門限值為k，計(jì)算幅度值i小于k的概率P1和分?jǐn)?shù)階功率譜R1；計(jì)算幅度值i大于k的概率P2和分?jǐn)?shù)階功率譜R2；

3)利用遍歷搜索，將k從0到L-1(即幅度值i的最大值)進(jìn)行取值，并計(jì)算類間功率譜差Z(k)=P1(k)P2(k)(R1-R2)2；

4)得到最佳門限k*，即使Z(k)取得最大值的k值。

3.2 復(fù)雜度分析

P1(k)需要k+1次加法，P2(k)需要L-k-1次加法，R1需要k+1次加法，2k+3次乘法和1次除法，R2需要L-k-1次加法，2L-2k-1次乘法和1次除法，因此，根據(jù)(21)式，類間功率譜差算法根據(jù)門限值k單次運(yùn)算量為：加/減法2L+1次，乘/除法2L+7。依此類推，類間方差算法單次運(yùn)算量為：加/減法2L+1次，乘/除法L+7。雖然相比較類間方差算法，類間功率譜差算法復(fù)雜度略高，但是在大干信比情況下抗干擾性能增益尤為明顯。

4 性能分析與仿真驗(yàn)證

仿真參數(shù)設(shè)置：①信道模型為加性高斯白噪聲信道，固定信噪比為4 dB；②選取9階線性移位反饋寄存器產(chǎn)生的m序列作為偽隨即序列，本原多項(xiàng)式系數(shù)向量為[1 1 1 0 1 1 0 0 1] ，移位寄存器初始狀態(tài)為[0 0 0 0 0 0 0 0 1]；③所傳輸?shù)男畔⑿蛄袨橐粋€(gè)長度為10 000的隨機(jī)序列，迭代次數(shù)為1 000次；④LFM干擾信號(hào)的時(shí)間取值為[-2，2]，采樣頻率fs為128 Hz，采樣點(diǎn)數(shù)為512(與基函數(shù)一致)，干擾信號(hào)為三分量LFM干擾，調(diào)頻率k分別為8，12，20 Hz/s，初始頻率f0分別為40，15，5 Hz，初始相位均為0 rad，圖6為對(duì)應(yīng)的階次為1.16時(shí)，干擾的功率譜圖。

圖6 階次為1.16時(shí)干擾的功率譜圖Fig.6 Power spectrum of interference at order 1.16

從圖6可以看出，硬門限是根據(jù)峰值40%所設(shè)置。對(duì)于多分量LFM干擾信號(hào)，僅能剔除最優(yōu)變換階次為1.16的LFM干擾，嚴(yán)重造成干擾頻譜漏檢。類間方差算法相比較硬門限有較好的改善，但仍然難以完全剔除干擾，改進(jìn)的類間功率譜差算法以噪聲和干擾的功率譜為特征，較前2種算法均有提高，可以有效剔除干擾頻譜。圖7，圖8分別表示在Bipolar調(diào)制、CSK調(diào)制下FRFT-TDCS的誤碼率。

圖7 Bipolar調(diào)制誤碼率Fig.7 Bit error rate of Bipolar modulation

仿真結(jié)果表明，在Bipolar調(diào)制、CSK調(diào)制下類間方差和類間功率譜差算法較傳統(tǒng)硬門限判決算法，誤碼率均有所改善；類間功率譜差算法對(duì)干擾頻譜剔除效果明顯好于類間方差算法，尤其在大信干比情況下，仍然可以保持較好的誤碼率。

圖8 BCSK調(diào)制誤碼率Fig.8 Bit error rate of BCSK modulation

5 結(jié) 論

針對(duì)FRFT-TDCS應(yīng)對(duì)多分量LFM干擾信號(hào)難以有效識(shí)別干擾的問題，受類間方差啟發(fā)，利用噪聲和干擾分?jǐn)?shù)域功率譜的明顯差異，提出了類間功率譜差算法，在FRFT域三維頻譜分布圖上自適應(yīng)地確定FRFT-TDCS門限值。仿真結(jié)果表明，該算法可以有效區(qū)分噪聲和干擾，不僅避免了FRFT變換階次對(duì)門限判決的影響，在誤碼率性能方面也具有明顯的優(yōu)勢。