改進型單頻非遍歷值域姿態(tài)測量算法

權 源，趙修斌，龐春雷，王 勇，伍劭實，吳洪濤

(1.空軍通信士官學校，遼寧 大連 116000； 2.空軍工程大學 信息與導航學院，西安 710077)

0 引 言

隨著衛(wèi)星導航系統(tǒng)技術的迅猛發(fā)展[1]，利用GNSS對載體進行定位、定向逐漸成為一種常用手段[2]。而高精度姿態(tài)測量的關鍵環(huán)節(jié)在于正確解算整周模糊度[3-5]，故針對整周模糊度的快速解算關鍵問題產生了眾多解決方法。根據觀測信息的使用方式不同，可大致分為基于觀測域、基于坐標域、基于模糊度域3種類型[6]。觀測域類型最早由Hatch[7]提出，其核心思想是直接利用P碼觀測值解算整周模糊度；坐標域類型以模糊度函數法[8-9](ambiguity function method, AFM)為代表；模糊度域類型的代表算法有最小二乘搜索法[10](least squares search, LSS)、快速模糊度確定法[11](fast ambiguity resolution approach, FARA)、最小二乘降相關平差法[12](least-squares ambiguity decorrelation adjustment, LAMBDA)等。

值域法[13]本質上是一種基于坐標域解算整周模糊度的算法，它首先建立了模糊度與姿態(tài)角間的數學模型，然后通過遍歷姿態(tài)域確定全體模糊度候選值。但是遍歷搜索的方式會造成運算量增加，文獻[14]通過構造二維姿態(tài)角與二維模糊度方程組，利用二維模糊度搜索空間壓縮姿態(tài)角搜索空間，有效減少了姿態(tài)角候選數目。但該改進算法一方面未考慮到二維模糊度搜索范圍對姿態(tài)角空間的重要程度，使得壓縮效率較低；另一方面采用累積基線長度殘差和最小準則固定整周模糊度，使得需要較多的歷元數據方能消除測量誤差帶來的影響。

針對上述問題，本文首先基于最小二乘搜索法[15]得到全體三維模糊度搜索空間，并利用基線長度與低成本微機電系統(tǒng)(micro electrical mechanical system，MEMS)提供的俯仰角信息[16]對三維模糊度空間進行篩選。然后考慮到仰角越低的衛(wèi)星其觀測噪聲越易偏離正態(tài)分布，且異常的概率也更大。為防止雙差觀測噪聲對算法造成影響，選取其中仰角最高的3顆衛(wèi)星構成二維模糊度搜索空間，并將其代入搜索模型，經MEMS再約束后解得最終的姿態(tài)角搜索空間，即解得整周模糊度候選值。改進算法由于較充分利用到基線先驗信息以及低成本慣性器件提供的姿態(tài)角粗值，使得模糊度候選數目較原算法大大減少，采用殘差比例檢驗法即可快速正確固定模糊度，算法的時效性與可靠性均得到較大提升。

1 非遍歷值域算法

1.1 值域搜索模型

忽略噪聲等影響，假定接收機A和接收機B同時觀測到衛(wèi)星i,j，A到B的基線矢量記為d，長度記為|d|，則衛(wèi)星i,j對應的雙差載波相位方程為

λ(φij+Nij)=(Si-Sj)d

(1)

(1)式中：λ為載波波長；φij為雙差載波相位觀測值；Si和Sj為衛(wèi)星到接收機之間的視線矢量；Nij為雙差整周模糊度。

在東北天坐標系中，取基線端點B作為坐標原點，衛(wèi)星i作為參考星，基線俯仰角為θB，航向角為φB，衛(wèi)星i,j的航向角和俯仰角分別為(φi,θi),(φj,θj)，則 (1) 式可改寫為

(2)

由(2)式可知，通過二維遍歷姿態(tài)角即可解得與之對應的模糊度浮點解，就近取整后得到全體整周模糊度候選值。

1.2 壓縮搜索空間

值域搜索模型通過建立模糊度與姿態(tài)角之間的數學模型，以姿態(tài)角作為中間量解得全體整周模糊度，但遍歷搜索的方式會降低搜索效率，由于該數學模型本質是通過二元自變量推導一元因變量。若已知二維模糊度搜索空間，可構造二元模糊度和二元姿態(tài)角方程組，從而利用模糊度域壓縮姿態(tài)角域。

首先，將(1)式改寫為

(3)

(3)式中，ed=d/|d|，eij=Si-Sj/|Si-Sj|，由 (3) 式可推知

(4)

(5)

由(5)式可以確定二維整周模糊度(Nij,Nik)取值范圍，根據模糊度與姿態(tài)角之間的內在關系構造二元一次方程組

(6)

對任意一組(Nij,Nik)，對(6)式采用解析法[17]即可解得對應的俯仰角θB與航向角φB，然后將解得的姿態(tài)角代入(2)式得全體候選模糊度浮點解。

1.3 固定整周模糊度及姿態(tài)解算

將全體模糊度浮點解就近取整后，分別代入(1)式解得對應不同時刻的基線矢量x，判定使得目標函數(7)成立的整周模糊度為最終解。

(7)

固定整周模糊度后，將其代入(1)式解算高精度基線矢量d，設d在東北天坐標系的坐標為(de,dn,du)，可得航向角φB和俯仰角θB分別為

(8)

2 改進算法

由(5)式可知，二維模糊度空間是由2組一維模糊度通過排列組合形成的。但這種方式會造成二維模糊度搜索數目較多，進而影響姿態(tài)角搜索數目，造成模糊度候選解冗余，不利于判定正確的整周模糊度。

由于模糊度組中僅含有3個線性無關的模糊度，且利用這3個線性無關的模糊度即可解算基線矢量，結合基線先驗信息對模糊度搜索空間進行壓縮，其結果等價于壓縮了模糊度候選空間的大小。

2.1 最小二乘搜索法

首先選取仰角最高的4顆衛(wèi)星(其中一顆為參考星)構造三維雙差整周模糊度搜索空間，其矢量形式可表達為

(9)

若已知三維整周模糊度(N21,N31,N41)中每一維的取值范圍，對三維模糊度全排列組合后即得到三維模糊度搜索空間，將其代入(9)式解算全體基線矢量候選值(de,dn,du)，然后得到對應的基線幾何長度與姿態(tài)角粗值，并以此篩選模糊度空間。

2.2 篩選三維模糊度空間

首先利用(5)式單獨求解每一維度的模糊度，以建立三維模糊度基本搜索空間，為降低模糊度候選數量，本文首先利用基線長度信息對三維模糊度搜索空間進行粗篩選。

將(9)式改寫為矩陣形式

A-1λ(φ+N)=d

(10)

(10)式中，

|d|2=YTA-TA-1Y

(11)

令G=A-TA-1，對其進行Cholesky分解得

G=LTL

(12)

(13)

由于利用(13)式解得的模糊度搜索數量依舊較多，故按以下步驟進一步壓縮數量。

步驟1基線長度約束。由(9)式解得基線矢量后，利用基線長度信息已知，可以排除部分錯誤解，一般取誤差ε1為基線長度1%～2%。

(14)

步驟2MEMS輔助約束俯仰角。美國MicroStrain公司生產了一款基于MEMS傳感器技術的高性能微型捷聯航姿系統(tǒng)，某款型號為3DM-GX3-25捷聯航姿系統(tǒng)由三軸加速度計、三軸陀螺儀、三軸磁強計、溫度傳感器組成，可提供靜態(tài)、動態(tài)的定向以及慣性測量數據(加速度、角速率、磁場、角度偏差、速度偏差矢量等)，三軸加速度計可提供俯仰角信息，且其漂移是周期性的，故可為提供俯仰角粗值信息。

設由MEMS輸出得到的俯仰角為θMEMS，在滿足(14)式的基線矢量中，保留使得(15)式成立的基線矢量對應的三維整周模糊度組，然后選取仰角最高的3顆衛(wèi)星對應的整周模糊度作為二維模糊度搜索空間，將其代入(6)式解算姿態(tài)角搜索空間，進而解得整周模糊度候選值。

(15)

2.3 固定整周模糊度

確認模糊度可采用多種固定準則，如：基線殘差累積平方和最小準則、整周模糊度特性準則、殘差比例法等等，這些準則目的均是從模糊度候選空間中判定出一組正確值，故需要滿足2個條件：①模糊度候選空間中包含正確解；②空間內“危險”的錯誤候選值盡可能少。

由于(5)式中必然包含正確的整周模糊度，故將(6)式解得的姿態(tài)角代入(2)式后，可解得包含正確解的模糊度候選空間，滿足第一個條件。

由于姿態(tài)角候選值與模糊度候選值存在映射關系，故姿態(tài)角數量越多，則模糊度候選空間越大，存在“偽解”的可能性越大，而經過基線長度以及MEMS約束后的姿態(tài)角候選空間必然有所減少，有利于排除部分錯誤解，增強模糊度候選空間稀疏性，最終減少模糊度確認過程所需時間。

假設已知一組整周模糊度真值，將其帶入雙差載波相位方程可知

(16)

(17)

ΔL-λK→0

(18)

(18)式中，K與ΔL同維。λ越小，(18)式越容易成立，即符合精度標準的模糊度越多。λ越大，符合精度標準的模糊度越少。由于約束后的模糊度候選空間元素減少，等同于λ增大，即減少了高精度估計結果的模糊度候選值數量，而模糊度候選空間稀疏性越強，次優(yōu)解殘差則越大(排除了部分偽解)，對應的殘差比值也更易通過統(tǒng)計檢驗。故采用殘差比例檢驗法準則代替原算法的基線殘差累積平方和最小準則，從而完成模糊度固定過程。

殘差比例檢驗法的基本思想是：首先將全體模糊度候選值代入雙差載波方程式中，解得對應的基線矢量，然后以模糊度與基線矢量作為已知量得到雙差載波相位計算值，將計算值與測量值進行運算得到殘差平方和Ω，比較最小殘差平方和Ω1與次小殘差平方和Ω2之間的比值，判定使得Ω2/Ω1>χ成立的最小殘差平方和對應的整周模糊度為正確解。

改進算法流程如圖1所示。與原算法相比，改進算法基于最小二乘搜索算法，結合基線先驗信息與MEMS提供的俯仰角信息對二維模糊度搜索空間進行壓縮，搜索數目的減少有利于增強模糊度候選空間稀疏度，使得正確模糊度對應的殘差比值更易通過統(tǒng)計檢驗。

圖1 改進算法流程圖Fig.1 Flow chart of the improved algorithm

3 試驗結果及分析

3.1 試驗條件

以學院操場作為本次試驗地點，將2臺接收機分別連接在基線兩端，將MEMS測量單元固定在基線中央，Y軸與基線矢量平行，其性能參數在靜態(tài)條件下俯仰角偏差為±0.5°,動態(tài)條件下偏差±2°。事先已測得基線長度為1.907 m，俯仰角和航向角分別為0.1°和229.15°，將其作為真實值與實驗組進行參照對比。采樣頻率設為1 Hz，可見衛(wèi)星編號按仰角大小依次為31#, 32#, 14#, 25#, 3#, 16#, 29#, 20#，其仰角分別為64.5°，52.8°，52.2°，27.2°，24.5°，20.5°，18.7°，15.1°。在基線靜止的情況下，將LAMDA算法經過長時間觀測解得的整周模糊度視作真值，其具體為8 388 608，8 388 613，8 388 609，6 626 617，6 626 615，6 626 631，6 626 635。

3.2 試驗過程

假定方案1為原算法，方案2為本文改進算法，方案3將原算法的固定策略變更為殘差比例檢驗法，方案4將改進算法的固定策略變更為累積基線殘差平方和最小準則。

首先，對比由LAMBDA算法、原算法以及本文算法解算得到的整周模糊度，三者結果相同，可見改進算法壓縮搜索空間的同時保證了搜索空間的正確性。

然后，比較各方案搜索空間大小。方案1的二維模糊度搜索空間數目為16×19=304組，方案2首先解算全體三維模糊度搜索空間，然后利用MEMS提供的俯仰角以及基線長度對其進行篩選，使得最終模糊度空間數目篩選至5組，可見，較方案1的搜索空間數量顯著減小，以模糊度N21，N31，N41為例，由于原模糊度值過大，無法在圖中判斷是否存在1周左右變化，故將前3個模糊度整體減去8 388 600，得到“新”模糊度8，13，9，分布如圖2所示。

圖2 不同方案的模糊度搜索數目Fig.2 Searching number of ambiguity in different cases

當解得二維模糊度搜索空間后，將其代入(6)式解算姿態(tài)角搜索空間。對比可知，方案2的姿態(tài)角空間數目由先前的576組降至8組，如圖3所示。

確定姿態(tài)角搜索空間后，將其代入(2)式解算得到模糊度候選解，下面從不同角度對改進算法性能進行分析。

圖3 不同方案的姿態(tài)角搜索數目Fig.3 Searching number of attitude angle in different cases

對比方案1與方案4，由于原算法模糊度候選數目較多，故采用累計基線殘差平方和最小準則作為固定策略時模糊度固定所需歷元數隨之增多，而改進算法與原算法相反，使得其在某些時刻甚至可單歷元成功固定，如圖4、圖5所示。

圖4 方案1的模糊度收斂過程Fig.4 Convergence process of the ambiguity in case 1

圖5 方案4的模糊度收斂過程Fig.5 Convergence process of the ambiguity in case 4

由于該固定策略極易受到歷元噪聲的影響，且不易判定是否解得正確的整周模糊度。故采用殘差比例檢驗法進行模糊度確認，本文從各歷元最小殘差對應的整周模糊度以及對應的殘差比值2個方面，對方案2、方案3進行對比(取殘差比例檢驗法的閾值為2，由于個別歷元殘差比值過大，為觀察所有歷元的殘差比值情況，對殘差比值作log化處理)，如圖6—圖9所示。

圖6 方案3的各歷元模糊度固定情況Fig.6 Fixed ambiguity in case 3

圖7 方案3在各歷元解得的殘差比值Fig.7 Ratio of residual error in case 3

圖8 基于方案4的各歷元模糊度固定情況Fig.8 Fixed ambiguity in case 4

由圖6，圖7可知，由于原算法模糊度候選數目較多，導致單歷元模糊度固定成功率不高，若將殘差比值取2作為檢驗閾值會導致漏檢甚至誤判的情況發(fā)生。

由圖8，圖9可知，由于改進算法模糊度候選數目較少且模糊度候選空間的稀疏度較高，使得單歷元模糊度固定成功率近100%，且各歷元殘差比值均大于2(殘差比例峰值可達127 9)，而殘差比值越大，模糊度固定結果的可靠性越高。

圖9 基于方案4在各歷元解得的殘差比值Fig.9 Ratio of residual error in case 4

4 結束語

本文在非遍歷值域算法的基礎上，對模糊度候選值數量有著決定性影響的二維模糊度搜索空間解算方法進行了改進，在已知基線長度與MEMS提供的俯仰角信息基礎上，排除部分錯誤解以及“危險”解，使得模糊度候選解數量較原算法大大減小，實現了單歷元解算整周模糊度。