線性空間中函數(shù)的單位分解性

羅炯興，劉煥文

（1.西昌學(xué)院少數(shù)民族預(yù)科教育學(xué)院，四川西昌615000;2.浙江海洋大學(xué)船舶與機電工程學(xué)院，浙江舟山316022）

0 引言

在文中，若函數(shù)的全部求和恒等于1，稱函數(shù)滿足單位分解性；把與此性質(zhì)相關(guān)的定理稱為函數(shù)的單位分解定理?，F(xiàn)在，數(shù)學(xué)研究的許多問題主要的并不涉及單個對象，如一個函數(shù)、測度或算子，而是處理一大類型這種對象。在這方面出現(xiàn)的大多數(shù)有價值的類實際上是具有實數(shù)域R或復(fù)數(shù)域C上的線性空間，由于極限過程在每個解析問題里(明顯或隱蔽地)起作用，因此，這些線性空間都可能配備度量,或者至少是拓撲，然后，從度量和拓撲的角度來考慮線性空間中的相關(guān)問題。

眾所周知，在實數(shù)域R上的n維線性空間X中定義一個范數(shù)，可以使之成為一個賦范空間、度量空間和拓撲空間，通常稱為賦范線性空間。目前關(guān)于賦范線性空間研究的課題和方向有很多，例如等距線性延拓問題[1-3]，一般范數(shù)的正交關(guān)系[4-7]等問題。除此之外,還能夠在線性空間中建立一個微分結(jié)構(gòu)，使之成為一個微分流形。微分流形是一類重要的拓撲空間，它除了具有通常的拓撲結(jié)構(gòu)外，還添上了微分結(jié)構(gòu)，現(xiàn)代微分幾何的研究是建立在微分流形框架上的。在微分流形的的觀點下，可以認為古典微分幾何中二維歐氏空間R2中的曲線是一維微分流形，三維歐氏空間R3中的曲線和曲面分別是二維、三維微分流形。

在線性空間X中應(yīng)用微分流形，可以研究線性空間的某些重要性質(zhì).如對于實數(shù)域R上n維線性空間,對于所有m維子空間組成的集合，能夠利用矩陣中的一般線性群GL(m)，建立一個微分流形，稱之為Grassmann流形G(m,n)。這樣，可以從研究Grassmann流形G(m,n)來間接研究n維線性空間X的性質(zhì)。文獻[8]在歐氏空間Rn構(gòu)造了Clifford代數(shù)Cl8的不可約表示空間，文獻[9-10]利用示性類及微分幾何的方法證明了定向Grassmann流形G(2,n)的上同調(diào)可以用它上面的典范失眾的Euler類生成，給出了線性空間X中侵入定向曲面的Gauss映射g:X→G(2,n)在同調(diào)群上的表達式，等等。

目前，已經(jīng)有許多國內(nèi)外專家和學(xué)者[13-16]研究了定義在閉區(qū)間[0,1]上的任意連續(xù)函數(shù),可以分解為兩個連續(xù)函數(shù)之和，且這兩個函數(shù)的圖像的Hausdorff維數(shù)大于等于1，小于等于2。但這些研究結(jié)果只是針對于實數(shù)域上的閉區(qū)間[0,1]上的連續(xù)函數(shù)，換言之，將問題限制在一維線性空間范圍之內(nèi)，并且使用的方法有一定的局限性，難以推廣應(yīng)用到二維及二維以上線性空間，甚至更一般的賦范空間或者拓撲空間。

文中指出實數(shù)域R上的n維線性空間X是滿足第二可數(shù)公理的n維流形,應(yīng)用微分流形指出在線性空間X中存在滿足單位分解的一簇光滑函數(shù)，給出了一個關(guān)于函數(shù)的單位分解定理。更進一步，對于二維線性空間X上的任意開凸體A應(yīng)用單位分解定理，指出了存在定義在A上三個連續(xù)函數(shù)g1，g2和g3,滿足且對任意a∈(0,1)，存在xi∈A，使得gi(xi)=a，其中，i=1,2,3。這樣將線性空間與微分流形相結(jié)合,為研究線性空間,甚至賦范空間和拓撲空間的函數(shù)分解一般問題及其相關(guān)問題提出了一種新方法，有助于解決問題。

1 預(yù)備知識

現(xiàn)在，介紹微分流形的基本定義和概念，以及單位分解定理。

定義1.1[11]設(shè)M是一個Hausdorff拓撲空間，若M的每一點p都有一個開領(lǐng)域，使得U和n維歐氏空間Rn中的一個開集是同胚的，則稱M是一個n維拓撲流形，簡稱為n維流形。換言之，所謂n維流形就是在它的每一點的一個領(lǐng)域內(nèi)可以建立n維局部坐標系的Hausdorff拓撲空間。

定義1.2[11]設(shè)M是一個n維拓撲流形，（U，φ）和（V，y）是它的兩個坐標卡。若當(dāng)時，φ°y-1，y°φ-1都是Cr的(其中r是正整數(shù)，或∞，或ω)，則稱坐標卡（U，φ）和（V，y）是Cr相關(guān)的。

定義 1.3[11]設(shè)M是n維拓撲流形，假定是M的坐標卡的一個集合，并滿足以下條件：

(2)屬于Λ的任意兩個坐標卡都是Cr相關(guān)的；

(3)Λ是Cr極大的，即：如果假定（U，φ）是M的一個坐標卡，且（U，φ）與Λ中的每一個成員都是Cr相關(guān)的，則（U，φ）必屬于Λ。

此時，我們稱坐標卡集Λ為流形M上的一個Cr微分結(jié)構(gòu)；當(dāng)r=∞時，Λ稱為M上的一個光滑結(jié)構(gòu)；當(dāng)r=ω時，Λ稱為M上的一個解析結(jié)構(gòu)。

定義1.4[11]設(shè)M是n維拓撲流形，若在M上指定了一個Cr微分結(jié)構(gòu)Λ，則稱（M，Λ）為一個n維Cr微分流形，屬于Λ的坐標卡（M，Λ）稱為該微分流形的容許坐標卡。

當(dāng)r=∞時，稱（M，Λ）為光滑流形；當(dāng)r=ω時，稱（M，Λ）為解析流形。

現(xiàn)在，給出光滑流形M上光滑函數(shù)及其支撐集的定義。

定義1.5[11]設(shè)是定義在光滑流形M上的連續(xù)函數(shù)，若存在M的一個容許坐標卡（M，φ），使得x∈U，且是在點φ（x）處光滑的函數(shù)，則稱函數(shù)f在點x處是光滑的。若f在每一點x∈U都是光滑的，則稱函數(shù)f是流形M上的光滑函數(shù)。

定義1.6[11]設(shè)是定義在光滑流形M上的連續(xù)函數(shù)，所謂f的支撐集是指f取非零值的點的集合的閉包，記作Supp f，即

支撐集Suppf的補集是M中使f=0的最大的開支集。

稱M滿足第二可數(shù)公理，是指M的拓撲中一個拓撲基是一個可數(shù)簇。

設(shè)Σ0是M的子集的一個集合，如果M中每一個點都有一個鄰域，它僅與Σ0中有限多個成員相交，則稱子集簇Σ0是局部有限的。

設(shè)Σ1、Σ2是M的兩個開覆蓋，如果對于Σ2中任意一個成員V，必能在Σ1中找到一個成員U，使得，則稱Σ2是開覆蓋Σ1的加細。

引理1.1[11](單位分解定理)設(shè)M是滿足第二可數(shù)公理的n維光滑流形，是M的任意一個開覆蓋，則Σ必有一個可數(shù)的、局部有限的加細開覆蓋，以及定義在M上的一簇光滑函數(shù)，使得是包含在Vi內(nèi)的緊致子集，并且。

光滑函數(shù)簇稱為從屬于Σ的單位分解，也稱為定義在M中滿足單位分解的光滑函數(shù)簇。由于，且是局部有限的，所以每一點p∈M必有一個鄰域W，使緊致，因而W只與有限多個鄰域Vi相交，換言之，只有有限多個函數(shù)fi在點p不為零，故只是有限多項的和。

2 線性空間中光滑函數(shù)的單位分解性

本節(jié)構(gòu)造了線性空間X中拓撲的一個可數(shù)拓撲基，顯示了X是滿足第二可數(shù)公理的光滑流形，利用單位分解定理引理1.1建立了一簇光滑函數(shù)，函數(shù)值介于0到1之間且全部求和恒等于1的光滑函數(shù)簇，每個函數(shù)的支撐集是緊致的,如定理2.1所示。

首先,對于實數(shù)域R上n維線性空間X給定一組基底{η1，η2，…，ηn}，其中，η1，η2，…，ηn∈X，對于任意x∈X，可唯一表示為

其中x1，x2，…，xn∈R。故只要在X中給定一組基底，對于X中任意一個向量x與唯一的n元實數(shù)組（x1，x2，…，xn）一一對應(yīng)，即是X同構(gòu)于歐氏空間R2,記為全文若無特別說明，總認為n維線性空間X給定一組基底為{η1，η2，…，ηn}。

規(guī)定X中的零向量，不失一般性，對于任意x∈X，對應(yīng)的唯一的n元實數(shù)組表示為（x1，x2，…，xn），故零向量O對應(yīng)的唯一的n元實數(shù)組表示為（0，0，…，0）。可以在n維線性空間X中定義一個度量映射

即對于任意x，y∈X,令

容易驗證p是X的一個度量。事實上，對于任意x，y，z∈X，有

（1）p（x，y）≥0，當(dāng)且僅當(dāng)x=y時取等號。當(dāng)x=y時，則有xi=yi，i=1,2,…,n，則（xi-yi）2＞0，所以；當(dāng)x≠y時，至少存在一個xi≠yi，i∈{1,2,…,n}，使得（xi-yi）2＞0，故

（2）p（x，y）＝p（y，x）。這是因為

(3)p(x,z)≤p(x,y)+p(y,z)對于任意（u1,u2,…,un）（v1,v2,…,vn）∈Rn由Schwarz不等式得進而有

變形為

等價于

令ui=xi-yi和vi=yi-zi，所以，

即，p(x,z)≤p(x,y)+p(y,z)。因此，X是以p為度量的一個度量空間。

在n維線性空間X中，對于任意x∈X，規(guī)定以點x為中心,半徑為a的n-1維超球面定義為：

和以點x為中心，半徑為a的n維開球體定義為:

其中a∈R+。根據(jù)超球面和開球體的定義可得下列關(guān)系式:

根據(jù)度量空間X球形領(lǐng)域的定義可知,開球體是x的一個球形鄰域，且在度量空間中每一個球形鄰域都是開集[12]，于是有下列引理2.1。

引理2.1對于任意x∈X，a∈R+,開球體

是X中的開集。

對于任意x,y∈X,且x≠y，則p（x，y）＞0。取有。因為在X中的開球體是開集，故分別是點x,y的鄰域，所以X是一個Hausdorff空間，由得，X是一個n維拓撲流形。取U＝X，對于任意x∈U，定義映射φ∶U→Rn，即

下面給出一個在實數(shù)域R上n維線性空間X中建立的單位分解定理，指出存在一簇光滑函數(shù)，滿足，如定理2.1所示。

定理2.1在n維線性空間X中，設(shè)是X的任意一個開覆蓋，則Σ必有一個可數(shù)的、局部有限的加細開覆蓋，以及定義在X上的一簇光滑函數(shù)

使得 0≤fi≤1，Supp fi是包含在Vi內(nèi)的緊致子集，并且

證明（1）證明線性空間X是滿足第二可數(shù)公理的n維光滑流形。

已知(X,p)是一個度量空間，設(shè)Γp為由X中的所有開集構(gòu)成的集簇，根據(jù)度量空間的開集的性質(zhì)和拓撲的定義，得Γp是X的一個拓撲,故（X，Γ）是一個拓撲空間。

現(xiàn)在考慮用X中部分開球體表示的集簇Φ，表示為

首先，驗證Φ是X中的拓撲Γp的一個基[5]。事實上，對于X中的每一個點x和點x的每一個鄰域U，則存在一個球形鄰域B（x,ε），使得其中ε＞0，任取y∈B（x,ε），使得，即是

其中，xi,yi∈R，i=1,2,…,n。根據(jù)有理數(shù)在實數(shù)中是稠密的,即在任意兩實數(shù)之間必存在有理數(shù),于是存在ui∈Q，使得xi＜ui＜yi或者yi＜ui＜xi,由此有

設(shè)u＝u1β1+u2β2+…+unβn，則u∈X，于是有又根據(jù)有理數(shù)的性質(zhì)可得，存在q∈Q，滿足使得p(x,u)＜q，故x∈B(u,q)，即是x屬于以點u為中心，以點q為半徑的球形鄰域B(u,q)。

易知，點u的球形鄰域B(u,q)就是本文定義的開球體，即(u,q)∈Φ，可表示為。于是有，因此集簇Φ是拓撲空間X中的拓撲Γp的一個基。

然后,又根據(jù)有理數(shù)集Q和正有理數(shù)集Q+都是一可數(shù)集合,可知

也是一可數(shù)集合[12]。所以,集簇Φ是拓撲空間中的拓撲Γp的一個可數(shù)基，即是拓撲空間X滿足第二可數(shù)公理。

已知線性空間X是一個n維光滑流形，因此，線性空間X是滿足第二可數(shù)公理的n維光滑流形。

(2)證明在線性空間X中存在一簇光滑函數(shù),且求和恒等于1。

使得0≤fi≤1，Supp fi是包含在Vi內(nèi)的緊致子集，并且

定理證畢。

3 凸體中函數(shù)的單位分解性

對于一個實數(shù)域R上n維線性空間X的任意緊子集A，對于任意x∈A，點x的球形鄰域組成了A的一個開覆蓋,又由A是緊的，則存在有限個球形鄰域組成的開覆蓋，設(shè)為B(xi,εi),i=1,2,…，s，其中s∈N+。由定理2.1可知,對于每一個B(xi,εi)，都與局部有限的開覆蓋∑0中有限個成員相交，故存在有限個定義在X上的上節(jié)定理2.1中所描述的光滑函數(shù)，使得這些光滑函數(shù)在B(xi,εi)上函數(shù)值求和等于1。故存在有限個定義在緊子集A上的光滑函數(shù)，設(shè)為g1,g2,…,gs∈C∞(A)，滿足和0 ≤gi≤1,其中s∈N+。

對于有限個滿足單位分解的函數(shù),提出一個問題,如問題1所示。

問題1:對于線性空間X中的緊子集A，對于任意n∈N+，是否存在n個定義在A上的連續(xù)函數(shù)g1,g2,…,gn∈C(A)，滿足且對任意a∈(0,1)，存在xi∈A，使得gi(xi)=a，其中i=1,2,…,n。

目前，當(dāng)n=2時，可以構(gòu)造兩個連續(xù)函數(shù)，使問題1成立。事實上，設(shè)h是定義在緊子集A上的任意有界連續(xù)函數(shù)，令構(gòu)造函數(shù)

顯然，g1,g2∈C(A)，滿足g1+g2≡1，0≤g1，g2≤1 且對于任意a∈(0,1)，存在xi∈A，使得gi(xi)=a，其中i=1,2。這里，符號A表示集合A的閉包。

但對于n=3，這種構(gòu)造方法構(gòu)造的三個連續(xù)函數(shù)，不一定使問題1成立。事實上，對于定義在緊子集A上的任意有界函數(shù)h1,h2,令，其中i=1,2。構(gòu)造函數(shù)

顯然，g1∈C(A)，滿足0≤gi≤1且對于任意a∈(0,1)，存在xi∈A，使得gi(xi)=a，其中i=1,2。設(shè)g2=1-g1-g2，顯然g1+g2+g3≡1，但很難確定，對于任意a∈(0,1)，存在xi∈A，使得g3(x)=a。這是因為取，存在函數(shù)

滿足g1(x)+g2(x)+g3(x)≡1，顯然g1(x)，g2(x)在上的值域為(0,1)，但

線性空間X中凸體的相關(guān)定義如下:

現(xiàn)在考慮2維線性空間X，由于X與平面R2同構(gòu)，故只需證明在平面R2存在3個連續(xù)函數(shù)使問題1成立。為了便于敘述,取平面R2的一組基底為{η1,η2}，其中η1＝（1,0），η2＝（0,1）。在平面R2上,對于任意，a∈R2，是以a為圓心，以a為半徑的開圓面。是以a為圓心，以a為半徑的圓，不失一般性,為了全文符號使用的統(tǒng)一，仍使用此符號表示平面R2中的開圓面和圓。

對于平面R2,通過構(gòu)造一種特殊的開覆蓋，應(yīng)用線性空間X的單位分解定理2.1,證明了在一個開凸體A上存在3個連續(xù)函數(shù)g1,g2,gs∈C(A)，滿足g1+g2+g3≡1，0≤gi≤1 且對任意a∈(0,1)，存在xi∈A，使得gi(xi)=a，其中i=1,2,3。這樣就確定了n=3時，對于平面R2的開凸體A，問題1成立。然后，利用平面R2中的任意兩開凸體A，B同胚，證明了對于任意開凸體A，問題1成立。

引理3.1[12]對于任意集合若A，B是開凸體,則A與B同胚。

易知，在開凸體A與B之間,存在的同胚映射φ（x）是一個光滑映射。

定理3.1對于平面R2上的任意開凸體A，存在定義在A上的3個連續(xù)函數(shù)g1,g2,g3∈C(A)，滿足0≤gi≤1 且對任意a∈(0,1)，存在xi∈A，使得gi(xi)=a，其中i=1,2,3。

證明(1)在平面R2上構(gòu)造一個開凸體intΩ滿足定理結(jié)論。

現(xiàn)在構(gòu)造平面R2的一種特殊的可數(shù)開覆蓋,如圖3所示，表示為規(guī)定符號intS表示集合的內(nèi)部,設(shè)△ABC是一個邊長為1等邊三角形，△ABC的中心為點O，則

和當(dāng)i≥5，且i∈N+時，。易知，，并且對于任意的正整數(shù)i，Ui都是開集。事實上,(a)顯然,U1，U2，U3和U4是開集。(b)當(dāng)i≥5，且i∈N+時,任取則，取，于是有球形鄰域，故由開集定義可得，Ui是開集。

圖3 平面R2的一個可數(shù)開覆蓋

使得 0≤fi≤1，Supp fi是包含在Vi內(nèi)的緊致子集，并且

顯然，f1在intΩ上也是光滑函數(shù),且0≤f1(intΩ≤1。現(xiàn)在驗證對任意a∈(0,1)，存在x∈A,使得f1（x）=a事實上，f1在intΩ上的函數(shù)值不恒等于0或1。根據(jù)f1在intΩ上是光滑函數(shù)，知f1在intΩ上也是連續(xù)函數(shù)，若f1(intΩ)≡0時，則對任意x∈intΩ，有，這與f1(O)＝1相矛盾；若f1(intΩ)≡1時，在直線MN任取一點W，則f1(W)≡0,又因為,對任意x∈intΩ，有，這與f1(W)＝0相矛盾。于是，對任意a∈(0,1)，必存在x∈A，使得f1(x)=a,否則，f1在intΩ上不是連續(xù)函數(shù)。

同理，f3，f4在 intΩ上也是光滑函數(shù)，0≤f3（int Ω），f4（intΩ）≤1且對任意a∈(0,1)，存在α，β∈A，使得f3(α)=f4(β)=a。

在intΩ上定義新函數(shù)

0≤gi≤1，且對任意a∈(0,1)，存在xi∈A，使得g1(xi)=a，其中i=1,2,3。

由開凸體的定義得，intΩ是一個開凸體。綜上所述，對于開凸體intΩ，定理結(jié)論成立。

(2)證明在平面R2上任意開凸體A滿足定理結(jié)論。

由引理3.1可得，在開凸體A與intΩ同胚,即存在同胚映射y=φ(x)∶A→intΩ，則映射φ是一個連續(xù)映射.在開凸體A上定義函數(shù)

在開凸體A上定義新函數(shù)gi∈Gi，i=1,2,3。綜上所述，存在定義在開凸體A上的連續(xù)函數(shù)g1,g2,g3∈C(A)，滿足，0≤gi≤1 且對任意a∈(0,1)，存在xi∈A，使得gi(xi)=a，其中i=1,2,3。

定理證畢。