破繭成蝶，路在何方

白子彥

自實(shí)施新課改以來，創(chuàng)新意識就是高考數(shù)學(xué)考查的能力之一，伴隨著課程改革的腳步，新課標(biāo)Ⅱ卷中的創(chuàng)新立意的試題如縷縷清風(fēng)，拂面而來，它們題意鮮明，背景豐富，寓意深厚，解法靈活多樣，構(gòu)成了新課標(biāo)Ⅱ卷的一道靚麗的風(fēng)景線，特別是理科第17題，這是一道集數(shù)列的遞推公式、等比數(shù)列的定義、通項(xiàng)公式、及非特殊數(shù)列求和等問題于一體的綜合性試題，研究好題如沐春風(fēng)，此題看似平淡，卻精彩紛呈，看似常規(guī)，卻彰顯能力，是一道值得研究的好題，下面從試題命制背景、解題思維形成的幾種途徑、變式提升入手進(jìn)行探究。

題目（2014年高考數(shù)學(xué)理科新課標(biāo)Ⅱ卷17題）已知數(shù)列an滿足a1=1，an+1=3an+1

（Ⅰ）證明：an+是等比數(shù)列，并求an的通項(xiàng)公式

（Ⅱ）證明：++…+<

命題給出答案如下所示：

（Ⅰ）由an+1=3an+1得an+1+=3（an+），又a1+=，所以an+是首項(xiàng)為，公比為3的等比數(shù)列，an+=，因而an通項(xiàng)公式為an=。

（Ⅱ）由（Ⅰ）知=，因而n≥1時(shí)，3n-1≥2·3n-1>0，所以≤。

則++…+≤1+++…+=（1-）<

即++…+<

該題的解決，將3n-1縮為2·3n-1，即3n-1≥2·3n-1，進(jìn)而得到不等式的證明，但這個(gè)不等式是如何想到的呢？由于過程過于簡捷，又給放縮法增添了一層神秘的色彩。因此闡述這個(gè)不等式是如何放縮而來的是有必要的。

人民教育出版的普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書數(shù)學(xué)（必修）中，主編寄語中有這樣一段話：如何才能學(xué)好數(shù)學(xué)呢？我們首先應(yīng)當(dāng)對數(shù)學(xué)有一個(gè)正確的認(rèn)識①數(shù)學(xué)是自然的，②數(shù)學(xué)是清楚的。筆者對這句話的理解是：數(shù)學(xué)本身是自然的，我們用數(shù)學(xué)知識分析和解決問題時(shí)，也應(yīng)力求解題思想的自然流露和解題過程的自然流淌。水到渠成、渾然天成的產(chǎn)物，不僅合情合理，甚至很有人情味。筆者是這樣思考的：不等式左邊是數(shù)列前n項(xiàng)和，由（Ⅰ）知=又見數(shù)列既不是等差和等比數(shù)列，也不是記憶中能夠求和的雜數(shù)列。

通過先求和再進(jìn)行證明難以實(shí)現(xiàn)解題目標(biāo)，所以需要研究通項(xiàng)放縮后再求和，觀察=我們發(fā)現(xiàn)數(shù)列與等比數(shù)列之間只有一步之遙，若把中的1丟掉放縮為，可以得到一個(gè)等比數(shù)列的通項(xiàng)，問題是把中的1丟掉后分子不變，分母變大，放縮后分?jǐn)?shù)值將變小，又距目標(biāo)將越來越遠(yuǎn)，能否讓中的1消失同時(shí)又放大？

方法：構(gòu)證等比數(shù)列證明。

將要證明的不等式右邊轉(zhuǎn)化為一個(gè)無窮等比數(shù)列的和，設(shè)該數(shù)列首項(xiàng)為a1，公比為q，（0

由于-=-==≥0，則≥，故++…+≤1+++…+=（1-）<

研究高考試題的背景，就是要深挖題源，研而不倦。高考試題的背景是通過不同知識載體來實(shí)現(xiàn)和依托不同方式呈現(xiàn)的，只有我們弄清問題的本質(zhì)，才能有正確的求解思路和方法。這道數(shù)列題的第二問本質(zhì)就是借助等比數(shù)列的求和公式來命題的，因而在解題思路上應(yīng)將其轉(zhuǎn)化為等比數(shù)列的求和來解決。

教材是高考題產(chǎn)生之源，立足教材，著眼數(shù)學(xué)問題的自然產(chǎn)生，緊扣教材，關(guān)注數(shù)學(xué)問題的自然解決，因此作業(yè)教師，在引導(dǎo)學(xué)生探究多種解法的同時(shí)，要讓學(xué)生領(lǐng)會原有的數(shù)學(xué)思想與數(shù)學(xué)方法。若能生成數(shù)學(xué)創(chuàng)新就更完美了，這樣方能有效提高學(xué)生的思維能力和解題能力，使學(xué)生開拓解題思路，促進(jìn)數(shù)學(xué)的高效學(xué)習(xí)。

？誗編輯 李建軍