例談給定含參線性目標(biāo)函數(shù)的最優(yōu)解問(wèn)題

張文斌

“題設(shè)給出x，y滿足的二元一次不等式組，以及含參線性目標(biāo)函數(shù)的最優(yōu)解的個(gè)數(shù)，求參數(shù)的取值范圍或參數(shù)的值”，此類(lèi)問(wèn)題的求解具有一定的難度，需要在變化過(guò)程中去靈活思考分析，同時(shí)還需要考慮全面，防止遺漏，請(qǐng)看以下歸類(lèi)解析.

類(lèi)型一：給定含參線性目標(biāo)函數(shù)的最優(yōu)解“唯一”

一般地，根據(jù)x，y滿足的二元一次不等式組，以及含參線性目標(biāo)函數(shù)的最優(yōu)解唯一，求參數(shù)的取值范圍，其關(guān)鍵是讓線性目標(biāo)函數(shù)對(duì)應(yīng)的直線繞著最優(yōu)解對(duì)應(yīng)的點(diǎn)“旋轉(zhuǎn)分析”，以便考慮全面.

例1.已知實(shí)數(shù)x，y滿足線性約束條件x-y-2≤0x+2y-5≥0y-2≤0，若目標(biāo)函數(shù)z=kx+y當(dāng)且僅當(dāng)x=3，y=1時(shí)取得最小值，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是________.

分析：由于目標(biāo)函數(shù)z=kx+y中涉及參數(shù)k，所以動(dòng)直線

y=-kx+z（將z看作常量）的斜率不是常數(shù)，故本題需要根據(jù)最優(yōu)解唯一以及動(dòng)直線的斜率與可行域中邊界直線的斜率的大小關(guān)系，加以靈活分析.

解析：如圖，先畫(huà)出可行域，易求得點(diǎn)A（3，1）.于是，讓動(dòng)直線y=-kx+z（將z看作常量）繞點(diǎn)A“旋轉(zhuǎn)分析”易知：應(yīng)滿足

kAC<-k

又易知kAC=-，kAB=1，所以-<-k<1，即-1

故所求實(shí)數(shù)k的取值范圍是（-1，）.

評(píng)注：由于最優(yōu)解對(duì)應(yīng)的點(diǎn)是唯一確定的，故可讓直線繞點(diǎn)“旋轉(zhuǎn)分析”，其目的是全面考慮動(dòng)直線的各種可能位置中，有哪些是適合題意的.

類(lèi)型二：給定含參線性目標(biāo)函數(shù)的最優(yōu)解“有無(wú)窮多個(gè)”

一般地，根據(jù)x，y滿足的二元一次不等式組，以及含參線性目標(biāo)函數(shù)的最優(yōu)解有無(wú)窮多個(gè)，求參數(shù)的值，其關(guān)鍵是將“平移直線法”和“分類(lèi)與整合思想”加以靈活、綜合運(yùn)用，以便考慮全面.

例2.設(shè)變量x，y滿足約束條件x-y+2≥02x+3y-6≥03x+2y-9≤0，若z=kx-y（k∈R）取得最小值時(shí)的最優(yōu)解有無(wú)窮多個(gè)，則實(shí)數(shù)k的值為

（ ）

A.1或- B.1或-

C.-1或 D.-或-

分析：由于目標(biāo)函數(shù)z=kx-y中涉及參數(shù)k，所以動(dòng)直線y=kx-z（將z看作常量）的斜率不是常數(shù)，故本題需要根據(jù)題設(shè)最優(yōu)解有無(wú)窮多個(gè)以及動(dòng)直線的斜率與零的大小關(guān)系加以討論分析.

解析：如圖，畫(huà)出可行域，利用平移直線法分析可知：

當(dāng)k>0時(shí)，為滿足題意應(yīng)使動(dòng)直線y=kx-z與直線AB的斜率相等，所以有k=1（對(duì)應(yīng)最優(yōu)解為線段BC上任一點(diǎn)的坐標(biāo)）；

當(dāng)k=0時(shí)，顯然不適合題意；

當(dāng)k<0時(shí)，為滿足題意應(yīng)使動(dòng)直線y=kx-z與直線BC的斜率相等，所以有k=-（對(duì)應(yīng)最優(yōu)解為線段BC上任一點(diǎn)的坐標(biāo)）.

綜上可知，本題應(yīng)選B.

評(píng)注：一般地，若最優(yōu)解有無(wú)窮多個(gè)，則最值情景一定滿足目標(biāo)函數(shù)對(duì)應(yīng)的動(dòng)直線與可行域的邊界直線重合.特別提醒：動(dòng)直線與邊界直線重合時(shí)，目標(biāo)函數(shù)是取得最小值還是最大值，則需要根據(jù)教材給出的最值規(guī)律加以具體判斷.

綜上所述，處理此類(lèi)問(wèn)題的關(guān)鍵在于將靜態(tài)的問(wèn)題放置到一系列的運(yùn)動(dòng)變換過(guò)程中去加以思考分析.這樣求解具體問(wèn)題，有利于從運(yùn)動(dòng)變換的角度對(duì)問(wèn)題進(jìn)行探究.值得一提的是，我們要注意具體“動(dòng)”的方式，通過(guò)在“動(dòng)”中去關(guān)注、運(yùn)用題設(shè)條件，從而可幫助我們順利分析、解決目標(biāo)問(wèn)題.

？誗編輯 魯翠紅