一類帶時滯的Lotka-Volterra競爭擴散模型周期解的收斂性質(zhì)研究

陸求賜，王學彬

（1.武夷學院 人文與教師教育學院；2.武夷學院 數(shù)計學院，福建 武夷山 354300）

1 引言

Lotka-Volterra模型是一個微分動力學系統(tǒng)，最初由Lotka(1925年)和Volterra(1926年)各自提出，用于模擬生態(tài)學中種群的動態(tài)關系，之后經(jīng)濟學家用它來描寫宏觀的增長波動以及描寫中觀的規(guī)模和范圍經(jīng)濟層次的市場競爭(見[1]及它的參考文獻).同時該模型也用于描述草地生態(tài)系統(tǒng)，探討系統(tǒng)內(nèi)牧草種群與放牧家畜種群之間的關系，正確指導草地畜牧業(yè)可持續(xù)發(fā)展具有一定意義[2].因此Lotka-Volterra模型在生態(tài)學及經(jīng)濟學領域都有著廣泛的應用.本文根據(jù)Holling–Tanner兩種競爭種類相互作用的假設[3]，考慮如下一個帶時滯的擴展的Lotka–Volterra競爭擴散模型：

為研究需要，本文還需考慮如下周期性和初值條件：

其中ηi(t,x)，i=1,2是給定的初值函數(shù).

本文在研究時一般是模型問題(1)加上一個條件(2)(當m=1時)或者條件(3)，下面就直接寫成問題(1)(2)或者問題(1)(3).

2 預備知識

引理1令λi(ai)和?i(t,x)，i=1,2是如下問題的特征值和它正的對應的特征函數(shù)：

其中 L=Li，B=Bi，a=ai，d=di，i=1,2. 根據(jù)標準的拋物方程理論，容易從上面的問題(4)的討論中看出：如果λi(ai)≥0，i=1,2的話，問題(1)僅有一個平凡解(0,0).而如果 λ1(a1)＜0且λ2(a2)≥0(或者 λ1(a1)＞0 且 λ2(a2)＜0)的話，則問題(1)也有半平凡的T-周期解(即周期為T的解，下同)(U,0)(相對應于(0,V))，其中U和V是對應于問題(1)中不含時滯項的如下問題的正的T-周期解：

由此，可得到如下引理：

引理2問題(1)(2)的一個正的T-周期解的存在的一個必要(非充分)的條件是 λi(ai)＜0,i=1.

定義1(比較原理) 如果)滿足下式，則稱)是問題（1）的上解：

定義 2(解的收斂性) 令(u(t,x；η1)，v(t,x；η2))是問題(1),(3)具有(η1,η2)其中 ηi(0,x)?0,i=1,2 的解，而且如果滿足下式：

則稱解(u(t,x；η1)，v(t,x；η2))具有收斂性.

3 主要結(jié)論及證明

定理 1 令(u(t,x；η1)，v(t,x；η2))是問題(1)(3)的具有(η1,η2)其中ηi(0,x)?0，i=1,2的解，并且滿足下面條件：

這里c1=c1(t,x)，b2=b2(t,x)為上是光滑的T-周期函數(shù)，M1,M2滿足下面關系：

那么有：

（2）問題(1)(3)的解(u(t,x;η1),v(t,x;η2))具有收斂性質(zhì)(8)；

證明（1）要證明問題的存在性，我們需要考慮下面拋物邊值問題：

現(xiàn)在令w=M-v(M為一個充分大的常數(shù))來做轉(zhuǎn)換，那么問題(1)可以轉(zhuǎn)化為問題(12)具有 u=(u1,u2)≡(u,v)，f=(f1,f2)，(h1,h2)=(0,Mβ)的形式，其中 β=β(t,x)為 Γ 上的 Holder連續(xù)的函數(shù)，而且(f1,f2)具有如下形式：

容易看出上面的函數(shù)(f1,f2)在S×Sτ上是擬單調(diào)非增的，其中S×Sτ=R+×[0,M].因此，對于一個正的T-周期解的存在性能夠從上面的轉(zhuǎn)換問題中發(fā)現(xiàn)一對標準的上下解，我們找到如下形式的一對解：

這里 ρi與 δi(i=1,2)為正的常數(shù)，其中 ρ2＜M，且 ρ2、δi(i=1,2)足夠小.

再根據(jù)特征值問題(4)及標準的拋物方程理論，則上面的不等式(14)對于一些充分小的δ1,δ2還是會成立的，如果下面的式子(15)成立的話：

又因為條件(10)成立，這就證明了在條件(9)下，問題(1)(2)的轉(zhuǎn)換問題有一個最大化的T-周期解和一個最小化的T-周期解(u,w)，使得：

而且，根據(jù)文[4]中的定理3.1，初邊值問題(1)(3)的解u≡(u,w)具有形如(η1*,η2*)≡(η1,M-η2)的收斂性質(zhì)，現(xiàn)在通過轉(zhuǎn)化v=M-w，則與（其中是周期性邊值問題(1)(2)的一對正的T-周期解，而且滿足下面的關系：

（2）根據(jù)上面步驟(1)的證明，進一步地有，對于任意在D0(i)=[-τi,0]，i=1,2 上滿足 δ1?1≤η1≤ρ1，δ2?2≤η2≤ρ2關系的(η1,η2)，初邊值問題(1)(3)的解是由(u,v)≡(u,M)給出，并且在 D上滿足關系 δ1?1≤η1≤ρ1，δ2?2≤η2≤ρ2.

對于任意非負且具有 ηi(0,x)?0,i=1,2 的(η1,η2)，一個在(u,v)與問題(5)的(U,V)(與(η1,η2)一樣)之間的比較表明：在[t0,+∞)×(對于某些 t0≥0)上有(u,v)≤(U,V).由于(U,V)＜(ρ1,ρ2)而且(δ1,δ2)＞(0,0)可以被選任意小，我們可以看出存在 t*＞0 與(δ1,δ2)＞(0,0)，使得

δ1?1≤η1≤ρ1，當 t*-τ1≤t≤t*時

δ2?2≤η2≤ρ2，當 t*-τ2≤t≤t*時（x∈Ω）

再根據(jù)文[4]中的定理3.2，解(u,v)具有收斂性質(zhì)：

（3）u(t+mT,x;η1)和 v(t+mT,x;η2)的極限可以分開證明，根據(jù)上下解的性質(zhì)和解的收斂性質(zhì)，這里先證=u*(t,x)成立：

考慮到當 0≤η1≤u 時，u(t+,x;η1)可作為問題(1)(3)的一個上解，現(xiàn)令

則有 um(t,x)=u(t+mT,x;η1)≤(t+mT,x;η1)=(t,x)，m=1,2，…

另一方面，根據(jù)文[4]中的引理3.2有u(t+mT,x;η1)≥(t,x)，因此可以得到：

我們再考慮到當 η1≥u 時，u(t,x;η1)可作為問題(1)(3)的一個下解，則有

根據(jù)上下解的性質(zhì)有u(t+mT,x;η1)≤(t,x)，因而可以概括得到：