基于NSGA-Ⅱ的拖拉機(jī)傳動(dòng)箱齒輪系參數(shù)優(yōu)化

楊思灶，夏長(zhǎng)高

(江蘇大學(xué) 汽車(chē)與交通工程學(xué)院， 江蘇 鎮(zhèn)江 212013)

拖拉機(jī)傳動(dòng)箱的齒輪系統(tǒng)是拖拉機(jī)傳動(dòng)系統(tǒng)的重要組成部分，拖拉機(jī)傳動(dòng)系統(tǒng)性能的好壞很大程度上取決于傳動(dòng)箱齒輪系。國(guó)內(nèi)拖拉機(jī)傳動(dòng)箱齒輪系大多利用傳統(tǒng)方法進(jìn)行設(shè)計(jì)，即根據(jù)經(jīng)驗(yàn)、公式估算等方法初選齒輪系各參數(shù)，再進(jìn)行相關(guān)校核計(jì)算。這樣設(shè)計(jì)的傳動(dòng)箱存在結(jié)構(gòu)質(zhì)量大、效率不高等問(wèn)題。因此，進(jìn)行拖拉機(jī)傳動(dòng)箱齒輪系的優(yōu)化研究十分必要。國(guó)內(nèi)不少研究人員對(duì)不同農(nóng)機(jī)的傳動(dòng)箱進(jìn)行了優(yōu)化研究，

陳小亮[1]以輕量化為目標(biāo)，對(duì)高速插秧機(jī)主變速箱的齒輪、軸和箱體的進(jìn)行了優(yōu)化設(shè)計(jì)。張奇巍[2]利用Matlab優(yōu)化工具箱以體積最小為目標(biāo)，對(duì)變速箱1擋齒輪副進(jìn)行了優(yōu)化。Yallamti Murali Mohan與R.C.Sanghvi等[3-4]利用多目標(biāo)遺傳算法對(duì)齒輪進(jìn)行優(yōu)化設(shè)計(jì)，降低了齒輪總質(zhì)量。但是上述文獻(xiàn)都沒(méi)有考慮到優(yōu)化后齒輪參數(shù)的變化可能會(huì)影響齒輪的嚙合效率。由于拖拉機(jī)傳動(dòng)箱通常擋位數(shù)較多，且?guī)в袆?dòng)力輸出(PTO，power take off)機(jī)構(gòu)，不同于通常的汽車(chē)變速箱，其傳動(dòng)齒輪系較復(fù)雜，使得動(dòng)力從輸入到輸出之間需要通過(guò)多對(duì)齒輪的傳遞。由于每對(duì)嚙合齒輪都有一定的效率損失，必將導(dǎo)致傳動(dòng)箱總效率的下降。所以，在齒輪系設(shè)計(jì)過(guò)程中提高每對(duì)嚙合齒輪的嚙合效率顯得更加重要。同時(shí)，因?yàn)橥侠瓩C(jī)傳動(dòng)箱的擋位數(shù)多、齒輪數(shù)多，齒輪在傳動(dòng)箱中的質(zhì)量比重也比通常的汽車(chē)變速箱大。為此，本文以輕量化和高效傳動(dòng)為雙目標(biāo)建立拖拉機(jī)傳動(dòng)箱齒輪系的優(yōu)化數(shù)學(xué)模型。

1 雙目標(biāo)優(yōu)化模型

1.1 優(yōu)化目標(biāo)函數(shù)

由于拖拉機(jī)傳動(dòng)箱齒輪系具有齒輪數(shù)多、齒輪嚙合對(duì)數(shù)多的特點(diǎn)，導(dǎo)致其結(jié)構(gòu)質(zhì)量大、嚙合效率損失大。因此，齒輪系的總嚙合效率與齒輪總質(zhì)量有較大的優(yōu)化空間，將其作為本文研究的兩個(gè)優(yōu)化目標(biāo)。

1) 齒輪總體積的目標(biāo)函數(shù)

在材料相同的情況下，齒輪的質(zhì)量與體積相關(guān)，為了計(jì)算簡(jiǎn)便，可將齒輪體積作為目標(biāo)函數(shù)。忽略齒形與軸孔，將齒輪視作一個(gè)圓柱，則

(1)

式中：V為齒輪系齒輪的總體積；bi為第i對(duì)齒輪副的齒寬；m為模數(shù)；zi1為第i對(duì)齒輪副主動(dòng)齒輪的齒數(shù)；zi2為第i對(duì)齒輪副從動(dòng)齒輪的齒數(shù)。

2) 齒輪系嚙合效率的目標(biāo)函數(shù)

忽略滾動(dòng)摩擦功率損失、將滑動(dòng)摩擦因數(shù)視為定值、忽略齒輪的加工誤差和安裝誤差，則直齒輪的平均嚙合效率公式為[5]

(2)

其中：

(3)

Q1=f-1+tanα

(4)

Q2=f-1-tanα

(5)

(6)

(7)

則齒輪系嚙合效率的目標(biāo)函數(shù)為

(8)

1.2 優(yōu)化變量

根據(jù)上述分析，將各齒輪副齒輪的齒數(shù)zi1與zi2、模數(shù)m、壓力角α、齒寬bi作為設(shè)計(jì)變量。從工藝方面考慮，各擋齒輪應(yīng)該選用一種模數(shù)，而從強(qiáng)度方面考慮，各擋齒輪應(yīng)選用不同的模數(shù)[6]。為了加工方便，降低成本，令各擋位齒輪的模數(shù)與壓力角相等。綜上所述，優(yōu)化變量為

x=[xi]=[m,bi,α,zi1,zi2]

(9)

1.3 約束條件

1) 性能條件約束

性能條件約束包括齒面接觸疲勞強(qiáng)度約束和彎曲疲勞強(qiáng)度約束。依據(jù)文獻(xiàn)[7]確定齒面接觸疲勞強(qiáng)度約束條件和齒根彎曲疲勞強(qiáng)度約束條件如下。

齒面接觸疲勞強(qiáng)度約束：接觸強(qiáng)度的計(jì)算安全系數(shù)應(yīng)不小于其相應(yīng)的最小安全系數(shù)，即

SHmin-SH≤0

(10)

式中：SHmin為接觸強(qiáng)度的最小安全系數(shù)；SH為接觸強(qiáng)度的計(jì)算安全系數(shù)。SH的計(jì)算公式為

(11)

式中：σHlim為試驗(yàn)齒輪的接觸疲勞極限；ZNT為接觸強(qiáng)度計(jì)算的壽命系數(shù)；ZLVR為潤(rùn)滑油膜影響系數(shù)；ZW為工作硬化系數(shù)；接觸強(qiáng)度計(jì)算的尺寸系數(shù)；ZH為節(jié)點(diǎn)區(qū)域系數(shù)；ZE為材料彈性系數(shù)；Zεβ為重合度與螺旋角系數(shù)；Ft為端面內(nèi)分度圓上的名義切向力；bi為工作齒寬；d1為小齒輪分度圓直徑；u為齒數(shù)比；KA為使用系數(shù)；KV為動(dòng)載系數(shù)；KHβ為接觸強(qiáng)度計(jì)算的齒向載荷分布系數(shù)；KHα為接觸強(qiáng)度計(jì)算的齒間載荷分配系數(shù)。

齒根彎曲疲勞強(qiáng)度約束：彎曲強(qiáng)度的計(jì)算安全系數(shù)應(yīng)不小于其相應(yīng)的最小安全系數(shù)，即

SFmin-SF≤0

(12)

式中：SFmin為彎曲強(qiáng)度的最小安全系數(shù)；SF為彎曲強(qiáng)度的計(jì)算安全系數(shù)。SF的計(jì)算公式為

(13)

式中:σFE為彎曲疲勞強(qiáng)度基本許用應(yīng)力；YNT為彎曲強(qiáng)度計(jì)算的壽命系數(shù)；YδrelT為相對(duì)齒根圓角敏感系數(shù)；YRrelT為相對(duì)齒根表面狀況系數(shù)；YX為彎曲強(qiáng)度計(jì)算的尺寸系數(shù)；Ft為端面內(nèi)分度圓上的名義切向力；bi為工作齒寬；m為法向模數(shù)；KFβ為彎曲強(qiáng)度計(jì)算的齒向載荷分布系數(shù)；KFα為彎曲強(qiáng)度計(jì)算的齒間載荷分配系數(shù)；YFS為符合齒形系數(shù)；Yεβ為重合度與螺旋角系數(shù)。

2) 設(shè)計(jì)準(zhǔn)則約束

模數(shù)的約束：齒輪的模數(shù)直接影響齒輪的幾何大小和齒輪的抗彎疲勞強(qiáng)度，參考大量小型拖拉機(jī)變速箱采用的模數(shù)，確定模數(shù)m的約束條件為

2-m≤0，m-3.5≤0

(14)

齒數(shù)的約束：如果齒數(shù)過(guò)少，齒輪在加工時(shí)會(huì)產(chǎn)生根切現(xiàn)象，導(dǎo)致齒根厚度變薄，齒輪抗彎曲能力下降，重合度減少，影響傳動(dòng)的平穩(wěn)性。為了避免根切，標(biāo)準(zhǔn)直齒圓柱齒輪的最小齒數(shù)為17。但由于本文研究對(duì)象可采用變位齒輪，因此放寬小齒輪最小齒數(shù)的約束，為

14-zi1≤0

(15)

齒寬的約束：齒寬的大小通常由模數(shù)初定，它的大小直接影響齒輪的強(qiáng)度。一般直齒輪齒寬b=(4～8)m，相應(yīng)的約束條件為

4m-bi≤0，bi-8m≤0

(16)

壓力角的約束：壓力角影響齒輪的效率和強(qiáng)度。一般壓力角的常用范圍為14.5°～25°，相應(yīng)的約束條件為

14.5×π/180-α≤0

α-25×π/180≤0

(17)

3) 設(shè)計(jì)要求約束

針對(duì)具體的某款拖拉機(jī)變速箱，還有與其設(shè)計(jì)要求相關(guān)的約束條件，本文的研究對(duì)象還包含傳動(dòng)比要求和中心距要求。

傳動(dòng)比約束條件為

zi2/zi1-ii=0

(18)

中心距約束條件為

(19)

式中a為齒輪副中心距。

2 雙目標(biāo)優(yōu)化模型求解方法

傳統(tǒng)的多目標(biāo)優(yōu)化方法通常通過(guò)構(gòu)建一個(gè)評(píng)價(jià)函數(shù)，將多目標(biāo)轉(zhuǎn)化為單一目標(biāo)進(jìn)行求解，例如加權(quán)法、約束法、目標(biāo)規(guī)劃法等[8]。但是由于本文兩個(gè)優(yōu)化目標(biāo)中，一個(gè)是百分比，一個(gè)是體積，它們各自具有不同的量綱和物理意義，沒(méi)有共同的度量標(biāo)準(zhǔn)，無(wú)法進(jìn)行定量比較，而且兩個(gè)目標(biāo)之間存在相互聯(lián)系和制約，因此傳統(tǒng)方法不能很好滿足求解該問(wèn)題的要求。

為了解決上述雙目標(biāo)優(yōu)化的求解問(wèn)題，選擇使用帶精英策略的非支配排序遺傳算法(NSGA-Ⅱ，Non-dominated sorting Genetic Algorithm Ⅱ)，能夠得到一組最優(yōu)解集，使得各目標(biāo)不能同時(shí)達(dá)到各自的最優(yōu)值， 最優(yōu)解集中的這些解之間無(wú)法進(jìn)一步比較互相間的優(yōu)劣性，該解集稱(chēng)為Pareto最優(yōu)解集(Pareto optimal solutions)。再根據(jù)經(jīng)驗(yàn)和實(shí)際情況，權(quán)衡所有Pareto最優(yōu)解之后，從中選取一組最優(yōu)解作為本文雙目標(biāo)優(yōu)化問(wèn)題的最終解。

NSGA-Ⅱ的基本思想[9]：首先，隨機(jī)產(chǎn)生規(guī)模一定的初始種群，對(duì)其進(jìn)行非支配排序，初始化種群中每個(gè)個(gè)體的非支配排序值；其次，通過(guò)遺傳算法的選擇、交叉、變異得到第1代子代種群；然后，從第2代開(kāi)始，將父代種群與子代種群合并，再對(duì)其進(jìn)行快速非支配排序，同時(shí)對(duì)每個(gè)非支配層中的個(gè)體進(jìn)行擁擠度計(jì)算，根據(jù)非支配關(guān)系以及個(gè)體的擁擠度選取合適的個(gè)體組成新的父代種群；最后，通過(guò)遺傳算法的基本操作產(chǎn)生新的子代種群；依此類(lèi)推，直到滿足程序結(jié)束的條件。相應(yīng)的程序流程如圖1所示。

圖1 NSGA-Ⅱ基本流程

3 實(shí)例分析

3.1 優(yōu)化對(duì)象簡(jiǎn)介

選取某拖拉機(jī)傳動(dòng)箱為優(yōu)化對(duì)象，其傳動(dòng)方案如圖2所示。以傳動(dòng)箱的低1擋(1擋1對(duì)齒輪+高低擋低檔2對(duì)齒輪)為例，對(duì)其進(jìn)行雙目標(biāo)優(yōu)化。該擋位的傳遞路線如圖2中箭頭所指，原齒輪參數(shù)為：中心距a=105 mm；模數(shù)m=3；壓力角α=20°；1擋傳動(dòng)比為2.455，齒寬b1=15 mm，主動(dòng)齒輪齒數(shù)z11=20，從動(dòng)齒輪齒數(shù)z12=49；高低擋主動(dòng)齒輪副傳動(dòng)比為2.136，齒寬為12 mm，齒數(shù)z21=22，z22=47；高低擋從動(dòng)齒輪副傳動(dòng)比為2.136，齒寬為16 mm，齒數(shù)z31=22，z32=47。根據(jù)整機(jī)參數(shù)算得的3對(duì)齒輪副小齒輪上的最大扭矩分別為T(mén)1=112.45 N/m，T2=60.37 N/m，T3=128.98 N/m。根據(jù)式(1)算得的齒輪總體積為829 986 mm3；根據(jù)式(2)算得的總嚙合效率為96.859 2%。

由于該傳動(dòng)箱前部還可加裝HST，因此中心距必須等于已選定的HST的中心距，即a=105 mm；小型拖拉機(jī)變速箱模數(shù)m取值為2、2.5、3、3.5。

圖2 傳動(dòng)系統(tǒng)簡(jiǎn)圖

3.2 優(yōu)化的結(jié)果與分析

遺傳算法中，種群個(gè)體數(shù)目N即初始解的個(gè)數(shù)，N的取值越大，優(yōu)化結(jié)果越好，但是迭代次數(shù)和計(jì)算時(shí)間也會(huì)越長(zhǎng)。根據(jù)經(jīng)驗(yàn)，N的取值范圍在20～150之間，或者取值為變量個(gè)數(shù)nv的50倍但不超過(guò)200。最大遺傳代數(shù)Ngen即運(yùn)算的最大迭代次數(shù)，Ngen的取值一般在100～500之間，或者取值為變量個(gè)數(shù)nv的100倍。

利用Matlab優(yōu)化工具箱編寫(xiě)程序求解該優(yōu)化問(wèn)題。本文為了獲得更好的優(yōu)化結(jié)果，取N=200，Ngen=1 000，運(yùn)行優(yōu)化程序后最終得到的Parato最優(yōu)解，如圖3所示。

圖3 雙目標(biāo)優(yōu)化結(jié)果

優(yōu)化程序運(yùn)行后的齒寬和齒數(shù)結(jié)果均不是整數(shù)，因此需要對(duì)其進(jìn)行圓整。優(yōu)化結(jié)果的參數(shù)圓整之后如表1所示。各優(yōu)化結(jié)果與原參數(shù)結(jié)果的總體積和總效率對(duì)比如表2所示。

表1 雙目標(biāo)優(yōu)化圓整結(jié)果

表2 各結(jié)果與原參數(shù)結(jié)果的對(duì)比

結(jié)合表1和表2可以看出：變量壓力角α的優(yōu)化結(jié)果為25°，其中結(jié)果1～6的齒輪模數(shù)為3，齒輪總體積減少了6%～12%，齒輪系總嚙合效率提升了0.36%～0.46%；結(jié)果7～9的齒輪模數(shù)為2.5，齒輪系的嚙合效率提升較大(0.82%～0.85%)，但齒輪總體積增加了9%～10%；結(jié)果10和11的齒輪模數(shù)為2，齒輪系的嚙合效率得到了大幅度提升(1.26%左右)，但是齒輪總體積也增加了50%左右。經(jīng)過(guò)權(quán)衡，選取結(jié)果2為最終的優(yōu)化結(jié)果。優(yōu)化后的齒輪系嚙合效率為97.297 6%，與優(yōu)化前相比提高了0.45%，優(yōu)化后的齒輪總體積為770 886 mm3，與優(yōu)化前相比降低了7.12%。

3.3 優(yōu)化后齒輪參數(shù)的最終確定

經(jīng)過(guò)優(yōu)化，該傳遞路線各擋位的傳動(dòng)比i，中心距a，模數(shù)m，壓力角α，齒數(shù)zi1，zi2和齒寬bi都已確定。由于齒數(shù)經(jīng)過(guò)圓整，因此還需對(duì)齒輪進(jìn)行變位才能滿足中心距的要求。利用專(zhuān)業(yè)齒輪箱設(shè)計(jì)軟件Kisssoft，將已知參數(shù)和齒輪受力數(shù)據(jù)輸入軟件的齒輪副設(shè)計(jì)模塊，在變位系數(shù)中選擇最佳滑移率，可得到6個(gè)齒輪的最終變位系數(shù)，如表3所示。

表3 變位系數(shù)結(jié)果

4 結(jié)束語(yǔ)

本文建立了以齒輪系齒輪總體積最小、總嚙合效率最高為優(yōu)化目標(biāo)的雙目標(biāo)優(yōu)化模型。提出了利用帶精英策略的非支配排序遺傳算法(NSGA-Ⅱ)求解該模型。以某拖拉機(jī)傳動(dòng)箱低1擋為例，利用Matlab對(duì)雙目標(biāo)優(yōu)化模型進(jìn)行求解。結(jié)果表明：齒輪系總嚙合效率和齒輪總體積均得到了有益的結(jié)果。本研究為拖拉機(jī)傳動(dòng)箱齒輪系的優(yōu)化設(shè)計(jì)提供了新的思路。