一類多維正態(tài)三角陣列的極限分布

劉芯菱，陳守全

(1.西華師范大學(xué)， 四川 南充 637002； 2.西南大學(xué)， 重慶 400715)

在學(xué)術(shù)界中，關(guān)于隨機(jī)變量序列的極大值的漸近分布已經(jīng)有了許多研究，假定第1個(gè)隨機(jī)變量序列{ξn}為一個(gè)平穩(wěn)的標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)序列且具有相關(guān)系數(shù)ρj=Cov(ξ0,ξj)，第2個(gè)隨機(jī)變量序列為一個(gè)獨(dú)立標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)序列，文獻(xiàn)[1]證明了對于第一個(gè)序列，當(dāng)條件

ρjlnj→0,j→∞

(1)

(1-ρnj)lnj→δj∈(0，∞]，j≥1

(2)

其中ρn, j=E(ξni,ξn,i+j)，δ0=0，可得到下面的引理。

以及

那么

?exp(-x))

(3)

1 主要結(jié)論

αn,ln=max{|P(ξi≤un,i∈I∪J)-P(ξi≤un,i∈I)×P(ξi≤un,i∈J)|}

為混合系數(shù)，若當(dāng)ln=o(n)時(shí)，αn,ln→0,n→∞，則稱序列{ξn}滿足Δ(un)條件。

αn,ln=max{|P(Xi≤un,i∈I∪J)-P(Xi≤un,i∈I)×P(Xi≤un,i∈J)|}

為混合系數(shù)，若當(dāng)ln=o(n)時(shí)，αn,ln→0,n→∞，則稱序列{Xn}滿足Δ(un)條件。

?jexp(-xj))

2 證明

為了證明主要結(jié)論，需要給出以下引理

證明正如文獻(xiàn)[2]中有關(guān)引理3.2.2的證明一樣，將采用類似過程。為了簡單起見令Ej={kj,…,lj}，若Δ(un)條件滿足，且k2-l1≥l，則

|P(M(E1∩E2)≤un)-P(M(E1)≤un)×P(M(E2)≤un)|≤αn,l

類似地，結(jié)合E1∪E2?{k1,…,l2}和k3-l2≥l有

|P(M(E1∩E2∩E3)≤un)-P(M(E1)≤un)×P(M(E2)≤un)P(M(E3)≤un)|≤

|P(M(E1∩E2∩E3)≤un)-P(M(E1∩E2)≤un)P(M(E3)≤un)|+

|P(M(E1∩E2)≤un)P(M(E3)≤un)-P(M(E1)≤un)P(M(E2)≤un)P(M(E3)≤un)|≤2αn,l

重復(fù)以上過程，引理得證。

通過引理2，容易得到以下推論成立。

|P(Mn≤un)-Pr(Mp≤un)|→0,n→∞

證明由引理2得

|P(Mn≤un)-Pr(Mp≤un)|≤(r-1)αn,l

其中，

故得證。

引理3 令{Xni}為一個(gè)三角向量陣列，滿足定理1中的條件①和條件②，則有

由平穩(wěn)條件得

且

因此

P(Mn≤un)=Pr(Mp≤un)+o(1)≤(1-(B1-B2))r+o(1)≤

exp(-r(B1-B2))+o(1)

(4)

其中

(5)

以及

(6)

由式(4)～(6)得

(7)

下面只需要證明式(7)的反方向即可。因?yàn)?/p>

故存在常數(shù)C,C<∞，使得

r(1-P(Mp≤un))≤C

則有

只需證明，對于滿足P(Mp≤un)收斂于Q∈[0,1]的某個(gè)子列，式(8)的反方向成立即可。

當(dāng)Q=1，顯然成立。

P(Mn, j≤un(xj))-Pr(M0,p, j≤un(xj))→0,n→∞

P(Mn, j≤un(xj))-Pt(M0,s, j≤un(xj))→0,n→∞

從而

Pr(M0,p, j≤un(xj))～Pt(M0,s, j≤un(xj))

記Ap, j={M0,p, j≤un(xj)}，則Pr(Ap)～Pt(As)，又因?yàn)楫?dāng)n→∞時(shí)，

所以

即有

P(M0,p, j>un(xj))=o(P(M0,s, j>un(xj))),j∈N(d)

從而

則有

(8)

由式(8)有式(7)的反方向成立，結(jié)論得證。

定理1的證明對于三角陣列{Xni, j,j∈N(d)}，由引理3有

結(jié)合定理1中條件③有，引理1中條件滿足，從而定理1得證。

3 結(jié)束語

本文將文獻(xiàn)[4]中一類正態(tài)三角陣列的極限分布，通過運(yùn)用概率極限理論的方法推廣至有限維情形，具有一定的參考價(jià)值。