組合型冪指函數(shù)三穩(wěn)態(tài)隨機(jī)共振微弱信號(hào)檢測(cè)

張 剛，高俊鵬

(信號(hào)與信息處理重慶市重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室(重慶郵電大學(xué))，重慶 400065)

0 引言

微弱信號(hào)檢測(cè)應(yīng)用范圍廣泛涉及到光學(xué)、電磁學(xué)、數(shù)理學(xué)、物理力學(xué)、地質(zhì)學(xué)、材料學(xué)等學(xué)科，因此微弱信號(hào)檢測(cè)成為當(dāng)前研究的熱點(diǎn)[1]。微弱信號(hào)檢測(cè)技術(shù)是用來檢測(cè)噪聲淹沒下的有用信號(hào)，一般采用抑制噪聲技術(shù)來提高信噪比(Signal-to-Noise Ratio, SNR)，常規(guī)方法有時(shí)頻分析[2]、經(jīng)驗(yàn)?zāi)B(tài)分解法[3]、小波變換[4]等，這些方法在降噪的同時(shí)會(huì)使得有用信號(hào)受損。針對(duì)這個(gè)問題，本文采用隨機(jī)共振方法，使噪聲的能量向檢測(cè)頻率附近處發(fā)生轉(zhuǎn)移，這種能量轉(zhuǎn)移現(xiàn)象屬于非線性系統(tǒng)中的一種動(dòng)力學(xué)現(xiàn)象，因此構(gòu)造不同的非線性系統(tǒng)模型，使得微弱信號(hào)的檢測(cè)性能也不同。1981年Benzi等[5]首次提出“隨機(jī)共振”(Stochastic Resonance, SR)的概念。目前隨機(jī)共振理論已成為非線性科學(xué)領(lǐng)域的一個(gè)熱點(diǎn)課題。隨機(jī)共振現(xiàn)象是一種力學(xué)現(xiàn)象，它表征著驅(qū)動(dòng)周期、噪聲、系統(tǒng)參數(shù)三者能夠達(dá)到協(xié)同效應(yīng)[6]，使得噪聲的能量根據(jù)洛倫茨分布逐步向低頻有用信號(hào)轉(zhuǎn)移，從而提高系統(tǒng)輸出信噪比，有效提高微弱信號(hào)檢測(cè)性能。隨機(jī)共振是根據(jù)線性響應(yīng)理論和絕熱近似理論[7],適用于低頻(f≤1 Hz)的有用信號(hào)，但實(shí)際應(yīng)用中，檢測(cè)有用信號(hào)往往是大頻率的，于是近幾年學(xué)者提出了許多技術(shù)解決大頻率這個(gè)問題，比如二次采樣[8]、移頻變尺度[9]、歸一化尺度變換[10]等。以上方法都是從有用信號(hào)頻率角度出發(fā)，然而在隨機(jī)共振系統(tǒng)中，也可以從構(gòu)造勢(shì)函數(shù)的角度出發(fā)，不斷提出一些新的勢(shì)函數(shù)模型，如文獻(xiàn)[11]提出了冪函數(shù)型單勢(shì)阱隨機(jī)共振的廣義隨機(jī)共振；文獻(xiàn)[12]研究了Levy噪聲下一階線性系統(tǒng)的弱信號(hào)復(fù)原分析；同時(shí)文獻(xiàn)[13]也提出Levy噪聲激勵(lì)下的冪函數(shù)型單穩(wěn)態(tài)隨機(jī)共振特性分析；文獻(xiàn)[14]研究了基于冪函數(shù)型雙穩(wěn)態(tài)隨機(jī)共振的故障信號(hào)檢測(cè)方法。這些函數(shù)模型構(gòu)造使得隨機(jī)共振系統(tǒng)更加多樣化，大大提高了隨機(jī)共振檢測(cè)能力，應(yīng)用范圍也比較廣泛。

由于勢(shì)函數(shù)模型多樣化出現(xiàn)，隨機(jī)共振效應(yīng)僅驅(qū)動(dòng)信號(hào)、噪聲、系統(tǒng)參數(shù)三者達(dá)到協(xié)同作用從而實(shí)現(xiàn)更好的隨機(jī)共振現(xiàn)象對(duì)應(yīng)的輸出信噪比，對(duì)參數(shù)優(yōu)化有了一定要求，而不同勢(shì)函數(shù)模型存在系統(tǒng)一個(gè)參數(shù)或多個(gè)參數(shù)，經(jīng)過多年研究，有一些自適應(yīng)參數(shù)尋優(yōu)方法，比如果蠅算法[15]、人工魚群算法[16]、遺傳算法[17]、粒子群算法[18]等。在實(shí)際工業(yè)應(yīng)用實(shí)踐中，大型機(jī)械的軸承是工業(yè)生產(chǎn)中不可或缺的設(shè)備，通過隨機(jī)共振微弱信號(hào)檢測(cè)到軸承滾動(dòng)的故障頻率，能夠減少工業(yè)生產(chǎn)中不必要的經(jīng)濟(jì)損失。為提高生產(chǎn)效率，學(xué)者們也做了大量研究工作，如文獻(xiàn)[19]提出了級(jí)聯(lián)雙穩(wěn)隨機(jī)共振降噪下的經(jīng)驗(yàn)?zāi)B(tài)分解，文獻(xiàn)[20]基于多穩(wěn)態(tài)隨機(jī)共振系統(tǒng)提高輸出信噪比實(shí)現(xiàn)軋機(jī)齒輪故障的診斷。

本文結(jié)合經(jīng)典雙穩(wěn)態(tài)系統(tǒng)模型和高斯勢(shì)阱(Gaussian Potential, GP)提出了一種新的組合型冪指函數(shù)三穩(wěn)態(tài)隨機(jī)共振模型。首先，通過對(duì)系統(tǒng)4個(gè)參數(shù)分析驗(yàn)證能夠產(chǎn)生隨機(jī)共振現(xiàn)象；其次，運(yùn)用人工魚群算法進(jìn)行相應(yīng)的參數(shù)尋優(yōu)，檢測(cè)多頻信號(hào)；最后，通過工程實(shí)踐，結(jié)合希爾伯特變換技術(shù)，驗(yàn)證了此方法具有更好的應(yīng)用前景和實(shí)用價(jià)值。。

1 相關(guān)理論

1.1 雙穩(wěn)態(tài)系統(tǒng)下雙勢(shì)阱模型

雙穩(wěn)態(tài)系統(tǒng)中雙勢(shì)阱模型中，勢(shì)函數(shù)Um(x)有一對(duì)對(duì)稱的勢(shì)阱，雙穩(wěn)態(tài)系統(tǒng)勢(shì)函數(shù)表達(dá)式[14]如下:

(1)

其中：a、b都是大于零的數(shù)，圖1表示系統(tǒng)參數(shù)對(duì)于雙勢(shì)阱的影響。

圖1 雙勢(shì)阱勢(shì)函數(shù)

圖1(a)中固定數(shù)值a=4.5，當(dāng)a值不變時(shí)，通過調(diào)節(jié)b的變化，可以得出一個(gè)結(jié)論：隨b的數(shù)值增加勢(shì)壘高度越來越小。圖1(b)中固定數(shù)值b=4.5，當(dāng)b值不變時(shí)，通過調(diào)節(jié)a的變化，可以看出：勢(shì)阱高度變化隨a值增加勢(shì)壘高度越來越大，與圖1(a)正好反相關(guān)。

1.2 GP勢(shì)函數(shù)模型

被廣泛應(yīng)用于核物理學(xué)的GP勢(shì)阱模型表達(dá)式[21]如下:

Ug(x)=-Vexp(-x2/R2)

(2)

其中：V表征勢(shì)阱深度，R表征為勢(shì)阱寬度。圖2是GP單勢(shì)阱圖形，GP勢(shì)函數(shù)的特別之處在于在單勢(shì)阱兩端都是收斂于零的勢(shì)函數(shù)。圖2(a)中固定V=3，可以看出隨著R的增加，GP勢(shì)阱壁逐步變得平緩；圖2(b)中固定R=0.5，V從大到小變化時(shí)，GP勢(shì)函數(shù)的勢(shì)阱高度逐步變小。所以可以通過分別調(diào)節(jié)GP單勢(shì)阱的系統(tǒng)參數(shù)V、R來改變勢(shì)阱的高度和勢(shì)阱壁的陡峭度的大小。

圖2 GP單勢(shì)阱勢(shì)函數(shù)

1.3 冪指函數(shù)的組合模型

基于上述兩種模型的一些特性，將雙穩(wěn)態(tài)勢(shì)函數(shù)與Gaussian Potential單勢(shì)阱勢(shì)函數(shù)相結(jié)合，提出一種新型的冪指型三穩(wěn)態(tài)勢(shì)函數(shù)模型，勢(shì)函數(shù)如下：

U(x)=Um(x)+Ug(x)=

(3)

當(dāng)系統(tǒng)參數(shù)a=6、b=4.5、V=2、R=0.3時(shí)構(gòu)造出如圖3所示的冪指型三穩(wěn)態(tài)勢(shì)函數(shù)。由圖3可知，該函數(shù)有一對(duì)對(duì)稱的勢(shì)壘，可通過調(diào)節(jié)a、b、V、R使冪指型三穩(wěn)態(tài)勢(shì)函數(shù)的結(jié)構(gòu)發(fā)生變化。由于加入GP勢(shì)函數(shù)后，把原有的雙穩(wěn)態(tài)改變成了三穩(wěn)態(tài)，使震蕩粒子在雙勢(shì)阱變成三勢(shì)阱躍遷，提高了噪聲的利用率進(jìn)而提高輸出信噪比，從而達(dá)到更佳的隨機(jī)共振現(xiàn)象。通過改變系統(tǒng)參數(shù)，可以在雙勢(shì)阱和三勢(shì)阱之間進(jìn)行轉(zhuǎn)換，因此這個(gè)新型模型具備了雙穩(wěn)和三穩(wěn)的一些特性。

圖3 組合型冪指函數(shù)三穩(wěn)勢(shì)函數(shù)

2 組合型隨機(jī)共振系統(tǒng)

2.1 共振系統(tǒng)方程

用朗之萬方程來描述粒子運(yùn)動(dòng)的數(shù)學(xué)模型，方程如下:

(4)

其中：s(t)是驅(qū)動(dòng)周期；n(t)是期望為零、方差為2Dδ(π)高斯白噪聲，其中δ(π)期望為0、方差為1，D是噪聲強(qiáng)度。通過把式(3)代入式(4)中得到式(5)：

(5)

(6)

(7)

勢(shì)函數(shù)的解的個(gè)數(shù)符合一般三穩(wěn)態(tài)的勢(shì)函數(shù)，需要數(shù)值仿真來驗(yàn)證式(4)、(5)能出現(xiàn)隨機(jī)共振現(xiàn)象。

圖4 方程組解的個(gè)數(shù)

2.2 參數(shù)優(yōu)化對(duì)系統(tǒng)影響

目前隨機(jī)共振的測(cè)量指標(biāo)有許多種，例如相關(guān)系數(shù)、特征頻率峰值、功率譜放大系數(shù)、信噪比增益、平均輸出信噪比等，本文主要采用的是平均輸出信噪比。信噪比定義如下:

SNR=10 lg(S/N)

(8)

其中：S是原始驅(qū)動(dòng)周期信號(hào)，N是噪聲信號(hào) 。平均輸出信噪比定義為:

(9)

其中n表示仿真系數(shù)。

首先考慮噪聲強(qiáng)度D對(duì)平均輸出信噪比的影響。通過調(diào)節(jié)其他參數(shù)取a=1.5，b=3.5，V=3.7，R=2.5，D以在0.01～5以0.05為步長取值。經(jīng)過100次實(shí)驗(yàn)取平均，可得到圖5?？梢钥闯觯S著噪聲強(qiáng)度增加導(dǎo)致平均輸出信噪比先增加后減少，在某一個(gè)噪聲強(qiáng)度時(shí)達(dá)到最大輸出信噪比。因此，組合型冪指三穩(wěn)隨機(jī)共振具有隨機(jī)共振的現(xiàn)象。

圖5 組合型冪指函數(shù)三穩(wěn)態(tài)隨機(jī)共振系統(tǒng)的平均輸出信噪比隨著參數(shù)D的變化

圖6為四個(gè)系統(tǒng)參數(shù)和系統(tǒng)輸出的平均輸出信噪比之間的函數(shù)關(guān)系，它們共同的現(xiàn)象是存在一個(gè)單峰值曲線，規(guī)律都是先增加后減少的趨勢(shì)，可以看出構(gòu)造組合方程與系統(tǒng)參數(shù)具有非線性關(guān)系。圖6表明系統(tǒng)參數(shù)對(duì)系統(tǒng)輸出的能量分布起著十分重要的作用，因此調(diào)節(jié)系統(tǒng)參數(shù)能使組合系統(tǒng)產(chǎn)生隨機(jī)共振現(xiàn)象。上述分析表明，在組合型共振系統(tǒng)模型中，通過調(diào)節(jié)四個(gè)系統(tǒng)參數(shù)使得SR系統(tǒng)中信號(hào)和噪聲的能量分布發(fā)生變化，可以實(shí)現(xiàn)噪聲能量向信號(hào)能量轉(zhuǎn)移，從而達(dá)到用噪聲增強(qiáng)有用信號(hào)的效果。

圖6 系統(tǒng)參數(shù)與系統(tǒng)輸出SNR的關(guān)系

如圖6所示，調(diào)節(jié)系統(tǒng)參數(shù)，能夠使得系統(tǒng)達(dá)到隨機(jī)共振現(xiàn)象，而單獨(dú)對(duì)每個(gè)參數(shù)分別優(yōu)化，使系統(tǒng)達(dá)到隨機(jī)共振現(xiàn)象，會(huì)忽略參數(shù)之間相互作用，人工魚群算法可以對(duì)所有系統(tǒng)參數(shù)進(jìn)行并行優(yōu)化，克服參數(shù)相互作用的缺點(diǎn)，該算法魯棒性強(qiáng)，對(duì)初始值不明感，易于設(shè)置初始值的范圍。該算法的主要行為有：覓食行為、聚群行為、追尾行為和隨機(jī)行為。設(shè)置人工魚群算法的參數(shù)，包括魚群個(gè)體的數(shù)量N，魚群的活動(dòng)范圍LBUB(Low Bound Up Bond)，魚的感知范圍Visual。魚的最大移動(dòng)步長step，嘗試次數(shù)try_number， 最大迭代Maxgen，擁堵因子δ，di, j表征人工魚個(gè)體之間的距離。將目標(biāo)函數(shù)定義為Y=f(x)=SNR。算法實(shí)現(xiàn)步驟如下：

步驟1 初始化N=20條人工魚，感知范圍Visual為[0，20],移動(dòng)步長step=0.1,擁擠因子δ=0.618，嘗試次數(shù)try_number=50,當(dāng)前迭代次數(shù)gen=0,最大迭代次數(shù)Maxgen=100,當(dāng)前覓食行為次數(shù)n。

步驟2 計(jì)算并篩選魚群所有個(gè)體當(dāng)前狀態(tài)最優(yōu)的目標(biāo)函數(shù)作為當(dāng)前公告板上的初始化值。

步驟3 執(zhí)行聚群行為。設(shè)人工魚群當(dāng)前狀態(tài)為Xi，在當(dāng)前鄰域內(nèi)(di,jδYi，表明周圍不太擁擠，則朝伙伴的中心位置前進(jìn)一步，否則執(zhí)行覓食行為(步驟5)。

步驟4 執(zhí)行追尾行為。設(shè)人工魚群當(dāng)前狀態(tài)為Xi，在當(dāng)前鄰域內(nèi)(di,jδYi，表明伙伴Xj的狀態(tài)具有較高食物濃度，不存在魚群個(gè)體太擁擠現(xiàn)象，則朝伙伴Xj的方向前進(jìn)一步，否則執(zhí)行覓食行為(步驟5)。

步驟5 執(zhí)行覓食行為。設(shè)人工魚當(dāng)前狀態(tài)Xi，在感知范圍內(nèi)隨機(jī)選取下一刻狀態(tài)的人工魚Xj，代入目標(biāo)函數(shù)計(jì)算出Yj，如果Yj>Yi，向該方向移動(dòng)一步；如果不滿足，且在需要嘗試次數(shù)try_number后仍然不滿足時(shí)，則更新公告板。

步驟6 若gen

步驟7 輸出公告板上的最優(yōu)解，并記錄最優(yōu)的目標(biāo)函數(shù)相應(yīng)的4個(gè)最優(yōu)參數(shù)值。

3 系統(tǒng)仿真與應(yīng)用

3.1 雙頻振動(dòng)周期信號(hào)檢測(cè)

本文采用二倍頻的周期信號(hào)來驗(yàn)證構(gòu)造的冪指型周期函數(shù)能夠產(chǎn)生隨機(jī)共振并且比經(jīng)典雙穩(wěn)態(tài)系統(tǒng)的性能更優(yōu)。這種構(gòu)造多頻含噪的周期信號(hào)為：

s(t)=A1·sin(2π×ft)+A2·sin(2π×2ft)

(10)

其中：周期信號(hào)頻率f為10 Hz，周期信號(hào)的幅值為A1=A2=0.04，外加入噪聲強(qiáng)度為0.8的高斯白噪聲，由于采用的是大頻率的信號(hào)，所以依據(jù)二次采樣定律對(duì)大頻率進(jìn)行預(yù)處理，采樣頻率fs=5 Hz， 二次采樣頻率fsr=5 000 Hz，采樣點(diǎn)數(shù)為10 000。預(yù)處理后信號(hào)分別通過冪指組合型三穩(wěn)態(tài)系統(tǒng)和雙穩(wěn)態(tài)隨機(jī)系統(tǒng)，雙穩(wěn)態(tài)系統(tǒng)的參數(shù)常規(guī)設(shè)置(a,b)=(1,1)，而冪指組合型三穩(wěn)態(tài)系統(tǒng)經(jīng)過人工魚群尋優(yōu)的參數(shù)為(a,b,V,R)=(5.575,2.889,4.643,1.323)。圖7(a)是含噪的信號(hào)時(shí)域波形圖，圖7(b)是含噪的頻域圖，而在頻域圖中特征頻率處不能夠明顯辨別出該頻率處的峰值，在10 Hz、20 Hz處峰值分別是5.835 W、7.4 W。原始微弱信號(hào)采用信噪比是-25.8 dB。通過二次采樣后，通過冪指型隨機(jī)共振后，如圖8所示，在頻域圖中特征頻率10 Hz,20 Hz處，分別為213.1 W、150.4 W。組合三穩(wěn)系統(tǒng)輸出信噪比為-8.59 dB。如圖9，在頻域圖中特征頻率10 Hz,20 Hz點(diǎn)處，分別為178.4 W、30.64 W，雙穩(wěn)系統(tǒng)輸出信噪比為-13.1 dB。說明在噪聲強(qiáng)度為0.81時(shí)，通過參數(shù)調(diào)節(jié)，組合三穩(wěn)系統(tǒng)與雙穩(wěn)系統(tǒng)相比，組合三穩(wěn)系統(tǒng)的輸出信噪比提高了一倍多。系統(tǒng)性能通過信噪比增益來表征，如圖10所示。增加不同的輸出信噪比，系統(tǒng)性能信噪比在-30 dB附近是個(gè)拐點(diǎn)，信噪比大于-30 dB時(shí)，開始出現(xiàn)隨機(jī)共振現(xiàn)象。

圖7 原始的含噪多頻振動(dòng)信號(hào)

圖8 組合型冪指函數(shù)三穩(wěn)態(tài)隨機(jī)共振

圖9 雙穩(wěn)態(tài)系統(tǒng)時(shí)域與頻域波形

圖10 冪指組合型三穩(wěn)態(tài)系統(tǒng)輸入信噪比對(duì)系統(tǒng)輸出的影響

3.2 工程應(yīng)用

滾動(dòng)軸承故障信號(hào)是具有調(diào)制性、非平穩(wěn)性的微弱信號(hào)，常常被強(qiáng)大的機(jī)械噪聲淹沒，利用本文新型系統(tǒng)模型的檢測(cè)系統(tǒng)對(duì)機(jī)械滾動(dòng)軸承進(jìn)行故障診斷，能夠檢測(cè)故障頻率，因此新型檢測(cè)系統(tǒng)具有良好的檢測(cè)性能。該實(shí)驗(yàn)平臺(tái)采用Case Western Reserve University Bearing Data center[22]，選用的對(duì)象是6205-2RS JEM SKF的深溝球軸承，分別對(duì)外圈和內(nèi)圈故障進(jìn)行檢測(cè)。外圈故障的特征頻率為107.3 Hz,內(nèi)圈故障的特征頻率為162.2 Hz；軸承轉(zhuǎn)速為r=1 796 r/min，采樣頻率為12 000 Hz，二次采樣頻率為5 Hz；外圈采樣點(diǎn)為12 000。

圖11是外圈原始信號(hào)時(shí)頻圖，通過智能算法尋優(yōu)得到一組參數(shù)(a,b,V,R)=(3.141,3.962,5.228,1.915)和圖12，其中圖12(a)是經(jīng)過未解調(diào)直接通過SR系統(tǒng)中輸出頻譜圖;圖(b)是經(jīng)過解調(diào)預(yù)處理后，再通過SR系統(tǒng)中輸出頻譜圖?？梢钥闯觯ㄟ^解調(diào)后可以把原先高頻處的頻譜去掉，比較好地檢測(cè)出二倍頻。針對(duì)內(nèi)圈故障檢測(cè)，所取采樣點(diǎn)為6 000，一組尋優(yōu)參數(shù)為(a,b,V,R)=(2.557,3.752,2.343,1.336)。圖13是原始內(nèi)圈故障的時(shí)域和頻域圖，經(jīng)過智能算法尋優(yōu)的參數(shù)調(diào)節(jié)后，得到如圖14所示檢測(cè)出的時(shí)域和頻譜圖，在162 Hz處功率譜為2.073 W，與檢測(cè)前的輸入功率譜相比，輸出頻譜功率提高了5倍。因此組合型三穩(wěn)隨機(jī)共振系統(tǒng)應(yīng)用于故障診斷中具有一定的檢測(cè)效果。

圖11 外圈故障信號(hào)

圖12 外圈故障頻譜對(duì)比

圖13 內(nèi)圈故障信號(hào)

圖14 內(nèi)圈經(jīng)過SR系統(tǒng)輸出信號(hào)

4 結(jié)語

本文把經(jīng)典雙穩(wěn)勢(shì)函數(shù)和Gaussian Potential單勢(shì)阱勢(shì)函數(shù)組合成一種新型的冪指型的三穩(wěn)勢(shì)函數(shù)，形成了新型的冪指型組合型三穩(wěn)隨機(jī)共振系統(tǒng)。通過高斯白噪聲強(qiáng)度與系統(tǒng)輸出平均信噪比的變化規(guī)律，來驗(yàn)證該冪指組合型系統(tǒng)能夠產(chǎn)生隨機(jī)共振現(xiàn)象；再通過人工魚群算法進(jìn)行四個(gè)參數(shù)的尋優(yōu)，找到能使得系統(tǒng)輸出最佳的平均信噪比；通過最佳四個(gè)參數(shù)檢測(cè)大頻率的諧波信號(hào)，對(duì)比雙穩(wěn)系統(tǒng)，仿真結(jié)果顯示，新型的三穩(wěn)系統(tǒng)通過對(duì)噪聲的利用率高于雙穩(wěn)系統(tǒng)，即輸出平均信噪比高于雙穩(wěn)系統(tǒng)；最后把新型的系統(tǒng)應(yīng)用于故障診斷中對(duì)內(nèi)外圈的故障進(jìn)行診斷，對(duì)于內(nèi)外圈故障檢測(cè)，經(jīng)過隨機(jī)共振系統(tǒng)能檢測(cè)出故障頻率，使得高頻分量被濾除掉，進(jìn)而達(dá)到了最佳的檢測(cè)效果。