淺論高等數(shù)學(xué)中的極限思想

摘 要：高數(shù)中許多重要的概念如導(dǎo)數(shù)、微分、積分等均建立在極限基礎(chǔ)之上，而極限思想蘊(yùn)涵著豐富的哲學(xué)理論，深刻領(lǐng)悟這些哲學(xué)理論對(duì)掌握高等數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)有著極其重要的意義。

關(guān)鍵詞：高等數(shù)學(xué)極限思想哲學(xué)理論

高等數(shù)學(xué)極限思想里蘊(yùn)涵著豐富的哲學(xué)理論。在教學(xué)中，教師如果能充分挖掘高等數(shù)學(xué)中的哲學(xué)理論，用哲學(xué)的觀點(diǎn)和思維方法來指導(dǎo)高等數(shù)學(xué)教學(xué)，不僅可以培養(yǎng)學(xué)生的辯證思維，提高學(xué)生的哲學(xué)素養(yǎng)，還可以使學(xué)生從新的角度來認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)、理解數(shù)學(xué)，感受數(shù)學(xué)的思想精髓。

極限思想是一種研究變量變化趨勢(shì)的數(shù)學(xué)思想，體現(xiàn)了辯證法思想。理解極限概念及其思想中所蘊(yùn)涵的哲學(xué)理論，對(duì)掌握高等數(shù)學(xué)有著極其重要的意義。

一、極限思想里體現(xiàn)著對(duì)立統(tǒng)一律，極限思想是從有限到無限的工具和橋梁，無論是概念的引入還是概念本身，都體現(xiàn)了變與不變、過程與結(jié)果、有限與無限、近似與精確的對(duì)立統(tǒng)一。例

如，對(duì)于數(shù)列{an}來說，若，當(dāng)n→∞，其極限為2；在n的逐漸變大的過程中，數(shù)列中的{an}每一項(xiàng)的值隨著n在不斷變化，這個(gè)過程是動(dòng)態(tài)的，項(xiàng)數(shù)也是有限的；但是，當(dāng)項(xiàng)數(shù)n無限增大時(shí)，即n→∞時(shí)，an的值無限趨近于一個(gè)確定的常數(shù)2，這個(gè)無限運(yùn)動(dòng)變化的結(jié)果是一個(gè)數(shù)值，因此在極限思想中無限是有限的發(fā)展，有限是無限的結(jié)果，它們既相互對(duì)立又相互統(tǒng)一。

二、極限思想里體現(xiàn)著量變引起質(zhì)變的規(guī)律，當(dāng)量的變化達(dá)到一定程度會(huì)引起質(zhì)的變化。質(zhì)變不僅可以完成量變，而且為新

的量變又開啟了航程。如，當(dāng)n為有

限項(xiàng)時(shí)，sn是無窮小量，但當(dāng)n→∞時(shí)，量變卻引起sn“質(zhì)”的變

化，，此時(shí)sn卻不再是無窮小量了。

在高等數(shù)學(xué)導(dǎo)數(shù)概念的引入例子中，為求曲線y=f（x）在點(diǎn)P處的切線的斜率，首先在曲線上另取一點(diǎn)Q，先得割線PQ的斜率；然后讓點(diǎn)Q沿曲線y=f（x）無限地趨近點(diǎn)P，割線的極限位置就是曲線在點(diǎn)P處的切線，而割線PQ斜率的極限值就是曲線y=f（x）在點(diǎn)P處切線的斜率。在點(diǎn)Q沿曲線無限接近點(diǎn)P的變化過程中，割線PQ的斜率在不斷地發(fā)生變化，無限接近切線斜率，但這只是一個(gè)量變的過程，它表示的終究是相應(yīng)割線的斜率，而不是切線的斜率，直到點(diǎn)Q到達(dá)極限位置即點(diǎn)Q與點(diǎn)P重合時(shí)，割線PQ的斜率才發(fā)生質(zhì)變，成為曲線y=f（x）在點(diǎn)P處切線的斜率。

以上兩類極限思想里體現(xiàn)了量變引起質(zhì)變的哲學(xué)理論。

三、極限思想里面蘊(yùn)含哲學(xué)理論否定之否定律，任何事物的內(nèi)在都包含著肯定和否定兩個(gè)方面，當(dāng)由肯定達(dá)到對(duì)自身的否定，并再由否定達(dá)到新的肯定，謂之為否定之否定律。高等數(shù)學(xué)中的極限概念的形成和發(fā)展恰符合否定之否定律。在概念形成之初，概念得到肯定，但隨著研究的深入，概念就會(huì)不完善，從而被否定，進(jìn)一步研究完善得到新的肯定。就極限之概念，最早引入變量極限概念的是16世紀(jì)英國(guó)數(shù)學(xué)家瓦里斯，他定義：“變量的極限是變量所能最大程度逼近的一個(gè)常數(shù)，使得它們的差能夠小于任何給定的量?！边@是極限概念的雛形；接著17世紀(jì)法國(guó)數(shù)學(xué)家柯西較完整地闡述了極限概念：“當(dāng)一個(gè)變量逐次所取得的值無限趨近一個(gè)定值，最終使變量的值和該定值之差要有多小就有多小，這個(gè)定值就叫做所有其他值的極限值”，柯西的極限概念仍然是不嚴(yán)謹(jǐn)?shù)模瑳]有達(dá)到徹底嚴(yán)密化的程度；18世紀(jì)維爾斯特拉斯為了去除極限概念中的直觀痕跡，他提出了極限的精確定義：即ε-N定義，給微積分提供了嚴(yán)謹(jǐn)?shù)睦碚摶A(chǔ)。從極限概念日臻完善的過程反映了哲學(xué)中否定之否定律，經(jīng)過一個(gè)周期的運(yùn)動(dòng)回到了起點(diǎn)，在運(yùn)動(dòng)中不斷否定完善又肯定，最終又高于起點(diǎn)。

由此可見，高等數(shù)學(xué)的極限思想蘊(yùn)含著許多哲學(xué)理論，數(shù)學(xué)與哲學(xué)關(guān)系緊密，因此在高等數(shù)學(xué)的教學(xué)中，不能忽視哲學(xué)理論的滲透，這樣才能更好地發(fā)展數(shù)學(xué)，保持?jǐn)?shù)學(xué)之樹常青。當(dāng)然，引導(dǎo)學(xué)生領(lǐng)悟數(shù)學(xué)思維中的哲學(xué)理論和在哲學(xué)理論的指導(dǎo)下進(jìn)行數(shù)學(xué)思維培養(yǎng)，是提升學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)和提高學(xué)生分析問題、解決問題能力的重要方法和手段，作為教育工作者應(yīng)該重視在教學(xué)過程中滲透哲學(xué)理論，讓學(xué)生從新的角度來認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)、理解數(shù)學(xué)，感受數(shù)學(xué)的思想精髓。

作者簡(jiǎn)介：

黃銀海，重慶三峽職業(yè)學(xué)院，副教授，數(shù)學(xué)教學(xué)。

（作者單位：重慶三峽職業(yè)學(xué)院）