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    關(guān)于零模正則化邏輯回歸問題的研究

    2018-10-15 09:21:22呂佩雯
    時(shí)代金融 2018年26期
    關(guān)鍵詞:等價(jià)正則全局

    呂佩雯

    (華南理工大學(xué),廣東 廣州 510640)

    一、引言

    設(shè)Rn是賦予了內(nèi)積及誘導(dǎo)范數(shù)的有限維向量空間,考慮稀疏邏輯回歸問題:令為樣本,為類別標(biāo)簽,則邏輯回歸模型為:

    其中Prob(y=1/β)是在給定樣本觀測值β后,類別標(biāo)簽為l的條件概率,x為特征向量。

    這是一個(gè)光滑的凸函數(shù)[1,3],可以通過最小化邏輯損失的均值來求解特征向量x。

    二、零模正則化

    當(dāng)訓(xùn)練集里的樣本數(shù)m小于維數(shù)n時(shí),直接求解容易出現(xiàn)過擬合,一般使用正則化來避免過擬合問題的出現(xiàn)。本文將使用零模正則,即求解零模正則極小化問題:

    零模優(yōu)化問題是一類帶有組合性質(zhì)的向量優(yōu)化問題,(1)這種問題在計(jì)算上通常是NP難的,難以求得其全局最優(yōu)解。而且,源于實(shí)際應(yīng)用的零模優(yōu)化問題通常具有較高的維數(shù),根本不適合采用全局優(yōu)化方法去尋求全局最優(yōu)解。一個(gè)常用的處理方法是使用凸松弛技術(shù),這種方法通過解一個(gè)或一系列易于處理的凸優(yōu)化問題來產(chǎn)生一個(gè)理想的可行解或局部最優(yōu)解。

    三、零模正則化問題的等價(jià)模型

    首先,從零模函數(shù)的變分刻畫入手,可以得到零模正則問題的等價(jià)全局Lipschitz連續(xù)優(yōu)化模型。對(duì)任意的,容易得到:

    因此,問題的等價(jià)問題為:

    問題的可行集中包含著如下互補(bǔ)約束條件:

    這說明零模正則化問題也是一個(gè)帶有互補(bǔ)約束的數(shù)學(xué)規(guī)劃問題(MPEC)。需要注意的是,MPEC在優(yōu)化中也是一類很難的問題。雖然問題(2)的目標(biāo)函數(shù)比原問題(1)簡單,但卻含有非凸互補(bǔ)約束,這比非凸目標(biāo)函數(shù)更難處理。為解決這個(gè)非凸約束,考慮問題(2)的罰問題:

    其中ρ>0是罰參數(shù)。下面的定理1將說明問題(3)是問題(2)的全局精確罰,即他們有相同的全局最優(yōu)解集[5]。在此之前,先建立定理證明需要用到的引理。

    引理2.設(shè)函數(shù)f在集合上全局Lipschitz連續(xù),若ρ>VLf,則對(duì)任意的和,有:

    所以,只需證明:

    由引理1,若wρ是下面問題的最優(yōu)解則wρ的形式可以為對(duì)t=1,2,...n.所以,

    第一部分得證。下面證明第二部分:當(dāng)?shù)仁匠闪r(shí),

    所以,

    再加上ρ>VLf,可得:

    下面給出問題(3)是問題(2)的全局精確罰的理論保證:

    證明.設(shè)問題(2)和問題(3)的可行集分別為 S 和 Sρ,問題(2)和問題(3)的全局最優(yōu)解集分別為S*和S*ρ。令ρ>vLf,首先證明:對(duì)任意的,有,且由引理2,

    所以,

    這樣,求解問題(1)轉(zhuǎn)化為求解罰問題(3)。雖然罰問題(3)非凸,但是這種結(jié)構(gòu)使得它比零模正則化問題更好解決。當(dāng)變量w選定時(shí),f(x)為邏輯損失函數(shù),罰問題(3)退化為關(guān)于x的凸的極小化問題;當(dāng)變量x選定時(shí),罰問題(3)退化為關(guān)于w的凸的極小化問題,這樣的問題是有閉式解的。為此,針對(duì)f(x)為邏輯損失函數(shù),將選用多階段凸松弛法[4]來求解問題(3)。多階段凸松弛法的主要步驟為:

    (S2)求解極小化問題:

    由引理1可知Wk是容易求得的,該方法的主要工作都在于解決一個(gè)加權(quán)的L1-正則化邏輯回歸問題[6,9,10]。這是一類凸優(yōu)化問題,所以它可以通過標(biāo)準(zhǔn)的凸優(yōu)化方法求解,比如:增廣拉格朗日法,內(nèi)點(diǎn)法[7],IRLS-LARS[8],路徑跟蹤法,迭代加權(quán)最小二乘法等。

    四、結(jié)束語

    本文借助零模函數(shù)的變分刻畫,將零模正則化邏輯回歸問題等價(jià)的寫為帶有互補(bǔ)約束的數(shù)學(xué)規(guī)劃問題(簡稱MPEC問題);然后證明將互補(bǔ)約束直接罰到目標(biāo)函數(shù)上所誘導(dǎo)的罰問題是MPEC問題的全局精確罰(即與MPEC問題有相同的全局最優(yōu)解集)。正如文中所說,此精確罰問題的目標(biāo)函數(shù)不僅在可行集上全局Lipschitz連續(xù),而且還具有滿意的雙線性結(jié)構(gòu),為設(shè)計(jì)零模正則化問題的多階段凸松弛算法提供了滿意的等價(jià)Lipschitz優(yōu)化模型。

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