分數(shù)單位有什么價值
——《分數(shù)與除法的關(guān)系》與《真分數(shù)和假分數(shù)》課時整合教學實踐

吳建芳

（浙江省湖州市湖師附小教育集團，浙江湖州 313000）

引 言

小學數(shù)學教材將分數(shù)的學習分為“分數(shù)的初步認識”（三年級上）、“分數(shù)的意義和性質(zhì)”（五年級下）兩個階段來學習。近日筆者對所任教班級在五年級下《分數(shù)與除法的關(guān)系》課時教學之后，隨機調(diào)查“解方程16x-8.7=8.3”的情況如下(表1)。

表1 解方程16x-8.7=8.3的調(diào)查情況

全班59人，其中38人正確用小數(shù)除法計算出準確結(jié)果1.0625，約占65.5%，用錯誤分數(shù)16/17表示商的共16人，約占27.6%，真正用17/16表示結(jié)果的只有3人，約占5.2%，其他錯誤2人，約占3.4%。從調(diào)查結(jié)果可以看出，學生學習了“分數(shù)與除法的關(guān)系”之后，其中65.5%的學生雖然結(jié)果是正確的，但是不會自覺地用分數(shù)表示商，“分數(shù)作為一種數(shù)”的意識不明顯，而用分數(shù)表示兩個數(shù)的商恰恰是分數(shù)意義最本質(zhì)的反映。另外，由于在《真分數(shù)和假分數(shù)》課時教學之前，學生大量接觸的是真分數(shù)，從而導致了學生“分數(shù)的分子一定比分母小”的錯覺，形成了對分數(shù)意義的片面理解。因此，在用分數(shù)表示商的學生中絕大部分都是用錯誤分數(shù)16/17表示的。

基于以上調(diào)查結(jié)果和分析，筆者嘗試將《分數(shù)與除法的關(guān)系》《真分數(shù)和假分數(shù)》進行課時整合教學。

一、經(jīng)歷分數(shù)單位的產(chǎn)生過程，理解分數(shù)與除法的關(guān)系

教材在《分數(shù)的意義》課時教學時，對分數(shù)的定義“把單位‘1’平均分成若干份取一份的數(shù)，叫作分數(shù)單位”一帶而過。學生對分數(shù)單位產(chǎn)生的必要性沒有體會，更體會不到分數(shù)單位的價值是什么。分數(shù)源于除法，而除法的原始形態(tài)就是平均分，分數(shù)單位的產(chǎn)生同樣是因為平均分的過程中，不能整個整個“分”從而引進了比1更小的計算單位——分數(shù)單位。下面是一個教學實例：

師：同學們，老師手中有好多卡片，要平均分給4個同學。你們知道怎么分嗎？

生：教師，你那里一共有多少張卡片??？

師：我也沒有數(shù)過，真的不知道有多少張。

生：那就像發(fā)撲克牌一樣，一張一張地發(fā)就可以了。

師：一張一張地發(fā)就是說我們這時候計數(shù)單位是1。

師：教師今天還帶來了3個一樣的餅，要分給上課表現(xiàn)最好的4個同學，你們能幫幫教師嗎？

學生操作活動，學生展示兩種結(jié)果，師生共同歸納（如圖1）：3÷4=3/4（塊）

圖1 課堂歸納結(jié)果

師：那么，這兩種平均分的分法，有什么相同的地方呢？

生：不能一個一個地分了，只好變成一小塊一小塊地分。

師：那現(xiàn)在的一小塊是多少？

生（齊）：一小塊是1/4塊。

師：那如果是這三個餅，平均分給五個人，多大的一小塊一小塊地分呢？

生（齊）：1/5塊1/5塊地分。

之后，師生交流討論，歸納分數(shù)與除法的關(guān)系。

這里，“3個餅4個人平均分”的問題，學生常見的兩種分法是：三個疊一起切成同樣的4份，或者三個餅分別切成4小塊，目的都是變成可以等分給4個人的小塊——改變計數(shù)單位。整個過程中，學生源于平均分的實際需要，經(jīng)歷了從“一整個一整個地分”到“一小塊一小塊地分”的驟變過程，分數(shù)單位的產(chǎn)生成為“平均分”的需要，學生從中體會到了分數(shù)單位的價值。

二、經(jīng)歷分數(shù)單位的累加過程，體會真分數(shù)和假分數(shù)的實質(zhì)

我們知道，一個數(shù)都是相應(yīng)計算單位累加的過程。比如，整數(shù)8就是8個1的累加，小數(shù)0.8也是8個0.1的累加。整數(shù)和小數(shù)的累加滿足十進制計數(shù)法的“滿十進一”，但是分數(shù)單位的累加卻是“N進制計數(shù)法”。因此，真分數(shù)與假分數(shù)的本質(zhì)也是相應(yīng)的分數(shù)單位累加的結(jié)果。

師：下面請大家?guī)屠蠋熃鉀Q這個問題，5個相同的餅平均分給4個人該怎么分？

學生畫圖操作后，反饋了兩種分法與結(jié)果(如圖2)。

圖2 學生畫圖結(jié)果

師：大家看，這兩種分法，結(jié)果的大小是相等的，那分的過程有什么不一樣呢？

師：是??！第一種分法，全部轉(zhuǎn)化成一種計數(shù)單位——3個餅4個人平均分成的小塊。而第二種分法，先一整個地分，再把余下的轉(zhuǎn)化成分數(shù)單位——小塊后繼續(xù)分。想一想前面3個餅4個人平均分為什么都轉(zhuǎn)化成了一種分數(shù)單位呢？

生：因為3個餅4個人平均分，每人分到的肯定不到一個。而5個餅4個人平均分，每人分到的一定是一個多，所以可以先一個一個地分。

之后，教師引導學生研究真分數(shù)和假分數(shù)的概念。

三、經(jīng)歷分數(shù)單位的直觀轉(zhuǎn)化，感悟數(shù)系擴張

數(shù)的概念的每一次擴張都標志著數(shù)學的巨大飛躍。分數(shù)源于除法的需要，負數(shù)源于減法的需要，無理數(shù)源于開方的需要……一個時代人們對于數(shù)的認識與應(yīng)用，以及數(shù)系理論的完善程度，反映了當時數(shù)學發(fā)展的水平。今天，我們所應(yīng)用的數(shù)系，已經(jīng)構(gòu)造得如此完備和縝密，以致在科學技術(shù)和社會生活的一切領(lǐng)域中，它都成為基本的語言和不可或缺的工具[1]。小學階段，數(shù)的概念擴大到分數(shù)系，完成了對加法、乘法和除法的封閉。我們可以充分利用數(shù)軸(如圖3)，比較直觀地讓學生建立“非負有理數(shù)”的概念，體會分數(shù)是一個數(shù)的本質(zhì)。

圖3 數(shù)軸

師：直線上的一大格表示1，那么每一小格是多少呢？你會寫出上面的這些點分別表示哪些數(shù)嗎？

學生操作之后，2、3、4學生均不用假分數(shù)表示，教師進行引導。

生1：2、3、4是整數(shù)。

師：你發(fā)現(xiàn)了什么？

生：整數(shù)都可以寫成分數(shù)，而且分母由你定。

師：分母由你定，你能給大家舉兩個例子嗎?

……

學生一句“分母由你定”，其實就是分數(shù)的“N進制”特點的原生態(tài)語言描述。數(shù)軸上的“一大格”“一小格”就是相應(yīng)的計數(shù)單位（分數(shù)單位），數(shù)軸上的“大格”與“小格”相互轉(zhuǎn)化了，完成了計數(shù)單位的轉(zhuǎn)化，也是分數(shù)的“N進制”的幾何直觀。教師又通過計數(shù)單位的累加，充分利用數(shù)軸，讓學生形象地領(lǐng)悟了整數(shù)與分數(shù)的關(guān)系，真正經(jīng)歷了數(shù)系擴張的過程，體驗了思維帶來的愉悅和成功。

在教學中始終圍繞著“分數(shù)單位”展開。通過“創(chuàng)造”分數(shù)單位的過程，認識分數(shù)與除法的關(guān)系；通過分數(shù)單位累加的過程，認識真分數(shù)和假分數(shù)；通過在數(shù)軸上進行計數(shù)單位的轉(zhuǎn)化過程，完成數(shù)系的擴張。教學實踐之后，筆者對任教對比班級（56人）進行了隨機作業(yè)“解方程16x-8.7=8.3”的調(diào)測查，結(jié)果如下（表2）。

表2 隨機調(diào)查結(jié)果

顯而易見，學生用分數(shù)表示商的人數(shù)比例大大提高，分數(shù)是一種數(shù)的意識明顯增強。分子分母顛倒的錯誤人數(shù)比例也大大降低，說明學生在課時整合的學習中，糾正了“分子比分母小”的片面觀念。學生可以從更深刻、更全面的角度去理解分數(shù)，對分數(shù)的認識已經(jīng)從第一階段“分數(shù)的份數(shù)定義”飛躍到“分數(shù)的商定義”。

結(jié) 語

從以上的教學實例可以看出，開展《分數(shù)與除法的關(guān)系》與《真分數(shù)和假分數(shù)》的課時整合教學，可以讓學生對分數(shù)的概念有更深入的理解。這說明在某種程度上課時整合教學具有可行性，教師在其他知識的教學中不妨大膽發(fā)揮，以此提高學生的數(shù)學水平，促進學生數(shù)學素質(zhì)的發(fā)展。