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    彈道導(dǎo)彈發(fā)射點(diǎn)位置的彈道重構(gòu)尋優(yōu)估計(jì)

    2018-10-15 03:47:02劉新建胡佳鑫楊樂平
    宇航總體技術(shù) 2018年5期
    關(guān)鍵詞:發(fā)射點(diǎn)彈道導(dǎo)彈彈道

    劉新建,胡佳鑫,楊樂平

    (國防科技大學(xué)空天科學(xué)學(xué)院,長沙410073)

    0 引言

    彈道落點(diǎn)預(yù)報(bào)是彈道導(dǎo)彈預(yù)警和反導(dǎo)中的重要任務(wù),但彈道導(dǎo)彈發(fā)射陣地的位置估計(jì)在彈道導(dǎo)彈防御中也具有重要作用。對于戰(zhàn)略彈道導(dǎo)彈,要準(zhǔn)確判定是哪個(gè)敵對國家進(jìn)行的攻擊,何時(shí)何地發(fā)射的,以便迅速進(jìn)行反擊;對于戰(zhàn)術(shù)彈道導(dǎo)彈,由于發(fā)射也需要調(diào)平和方位瞄準(zhǔn),一般是事先安排了有陣地依托的發(fā)射,也要盡可能準(zhǔn)確知道敵方是何時(shí)何地發(fā)射的,以便告知偵察衛(wèi)星對該區(qū)域掃描拍照,通過衛(wèi)星圖像進(jìn)一步精確鎖定坐標(biāo),以便轟炸發(fā)射陣地或彈道導(dǎo)彈貯存基地。

    Danish[1]較早研究了天基測量戰(zhàn)術(shù)彈道導(dǎo)彈(TBM)主動段彈道的發(fā)射點(diǎn)參數(shù)估計(jì)問題;Isaacson等[2]研究了戰(zhàn)術(shù)彈道導(dǎo)彈的狀態(tài)估計(jì)和軌跡預(yù)報(bào)。國內(nèi)李盾等[3]基于同步軌道預(yù)警衛(wèi)星對助推段彈道導(dǎo)彈的測量信息,利用改進(jìn)的高斯-牛頓法探討了發(fā)射點(diǎn)參數(shù)的最大似然估計(jì),但必須利用主動段目標(biāo)彈道曲線的先驗(yàn)信息;宋偉等[4]、陽曙光等[5]研究了雙星交匯測量戰(zhàn)術(shù)彈道導(dǎo)彈主動段的彈道參數(shù),并利用多項(xiàng)式擬合進(jìn)行彈道外推估計(jì)發(fā)射點(diǎn)參數(shù);王瑞等[6]研究了天基紅外低軌衛(wèi)星系統(tǒng)對自由段空間目標(biāo)定位的最小二乘、卡爾曼跟蹤濾波及自適應(yīng)濾波的方法。但鮮見基于對大氣層外被動段彈道的短弧測量對發(fā)射點(diǎn)位置進(jìn)行估計(jì)的研究,而且這種多項(xiàng)式彈道擬合外推發(fā)射點(diǎn)的方法較為簡單,對TBM主動段可能有效,但對中遠(yuǎn)程、洲際彈道導(dǎo)彈的被動段測量信息反推發(fā)射點(diǎn)未必有效。

    發(fā)射點(diǎn)的位置確定比彈道的落點(diǎn)預(yù)報(bào)更難,前者是逆問題;后者是正問題,相對要簡單。

    本文基于天基或地基設(shè)備的被動段短弧測量數(shù)據(jù),假設(shè)在WGS84系中,得到了來襲彈道導(dǎo)彈大氣層外的部分彈道,提出發(fā)射陣地位置估計(jì)方法。

    1 濾波定軌

    (1)坐標(biāo)參數(shù)轉(zhuǎn)換

    假設(shè)ti∶xi,yi,zi,vxi,vyi,vzi(i=1,2,…,n)為彈道導(dǎo)彈在真空中的一段短弧軌跡測量數(shù)據(jù),分別從WGS84系轉(zhuǎn)換到某一地心慣性系,如J2000 系,得到ti∶Xi,Yi,Zi,Vxi,Vyi,Vzi。

    其中,ti為飛行時(shí)刻,Xi、Yi、Zi為彈道導(dǎo)彈在該時(shí)刻的3個(gè)直角坐標(biāo)位置分量,Vxi、Vyi、Vzi為該時(shí)刻的3個(gè)速度分量。

    (2)均值濾波去噪

    由于每個(gè)測量值含有噪聲,并非是彈道導(dǎo)彈的真實(shí)狀態(tài),因此需要去噪濾波。工程上有多種數(shù)字濾波方法,如卡爾曼濾波、最小二乘濾波、自適應(yīng)濾波、平均值濾波。特別對于地基雷達(dá),由于地球曲率的影響,可見弧段極短,而彈道導(dǎo)彈飛行速度極快,獲得的測量數(shù)據(jù)不會很多,因此可采用單點(diǎn)均值濾波。均值濾波最簡單,沒有延遲,對少量的短弧測量數(shù)據(jù)魯棒可靠。

    所謂均值濾波,就是依次利用測量數(shù)據(jù)ti:Xi,Yi,Zi,Vxi,Vyi,Vzi(i=1,2,…,n),根據(jù)真空段自由飛行動力學(xué)模型式 (2),進(jìn)行數(shù)值積分,獲得測量數(shù)據(jù)段之后任選的定軌時(shí)刻tf的n個(gè)狀態(tài)數(shù)據(jù)。如果測量弧段的數(shù)據(jù)沒有噪聲,那么依次積分,預(yù)報(bào)tf時(shí)刻的六分量狀態(tài)應(yīng)該是完全相同的;但正因?yàn)榇嬖跍y量噪聲,所以依次積分獲得該時(shí)刻的狀態(tài)也存在噪聲,那么求平均值。

    可是tf時(shí)刻的彈道導(dǎo)彈真實(shí)狀態(tài)只有一個(gè),如果測量數(shù)據(jù)的噪聲遵循白噪聲分布,而且采樣點(diǎn)足夠多,則平均值逼近真值,就得到了彈道導(dǎo)彈真實(shí)狀態(tài)tf:Xf,Yf,Zf,Vxf,Vyf,Vzf。

    (3)根據(jù)如下地慣系中空間飛行器的動力學(xué)

    微分方程組[7]

    其中,地球扁率J2=1.08263×10-3, 地球引力常數(shù)μ =3.986005×1014m3/s2, 地球長半軸=6378140m,地心矢徑再由上述定軌點(diǎn)的真實(shí)狀態(tài),進(jìn)行彈道積分預(yù)報(bào)再入落點(diǎn)e的直角坐標(biāo)位置和速度Xe、Ye、Ze、Vxe、Vye、Vze。

    2 發(fā)射點(diǎn)初始解析估計(jì)

    為獲得初始估計(jì),不考慮彈道導(dǎo)彈助推段彈道及再入段大氣阻力的影響,假設(shè)導(dǎo)彈在地面瞬間獲得足夠能量,滿足測量彈道所預(yù)報(bào)落點(diǎn)的位置和速度要求,不妨稱為脈沖發(fā)射點(diǎn)。脈沖發(fā)射點(diǎn)的位置估計(jì)是發(fā)射陣地位置的近似估計(jì),是彈道重構(gòu)尋優(yōu)估計(jì)的基礎(chǔ)。

    圖1 二體脈沖彈道示意圖Fig.1 Impulse ballistic sketch of two-body problem

    1)如圖1所示,根據(jù)再入點(diǎn)e的直角坐標(biāo)和速度Xe、Ye、Ze、Vxe、Vye、Vze, 計(jì)算經(jīng)典軌道根數(shù)a、e、i、Ω、ω、M,并求其真近點(diǎn)角fe[8]。

    2)求二體脈沖發(fā)射點(diǎn)的真近點(diǎn)角fk

    于是不難求得其對應(yīng)的平近點(diǎn)角Mk和偏近點(diǎn)角Ek。

    3)求二體飛行時(shí)間

    其中,a是定軌得到的彈道長半軸,平近點(diǎn)角Me=M。

    4)求脈沖發(fā)射點(diǎn)的經(jīng)緯度

    理論上,這是一個(gè)已知再入終點(diǎn)位置和飛行時(shí)間,反求初始點(diǎn)位置的逆向動力學(xué)問題。這里提出利用二體運(yùn)動軌道的封閉性特點(diǎn),避開逆向積分問題。

    根據(jù)二體運(yùn)動理論,二體脈沖發(fā)射點(diǎn)的直角坐標(biāo)有如下解析公式[9]

    再將其從地慣系轉(zhuǎn)換到WGS84系的xk、yk、zk,由此計(jì)算脈沖發(fā)射點(diǎn)的經(jīng)緯度λk、фk,就是發(fā)射點(diǎn)的初步估計(jì),誤差與主動段的彈道設(shè)計(jì)程序及參數(shù)有關(guān),對于射程超過10000km的洲際彈道導(dǎo)彈,數(shù)值仿真表明本方法求得發(fā)射點(diǎn)最大誤差為200km。

    初始解析估計(jì)的計(jì)算量很小,適合于彈道導(dǎo)彈防御系統(tǒng)實(shí)時(shí)快速預(yù)報(bào),至少能準(zhǔn)確告知彈道導(dǎo)彈來自哪個(gè)敵對國家。

    3 彈道重構(gòu)尋優(yōu)估計(jì)

    由于脈沖點(diǎn)的估計(jì)與發(fā)射陣地的真實(shí)位置存在誤差,需要進(jìn)一步修正。策略是在脈沖發(fā)射點(diǎn)附近進(jìn)行系列彈道重構(gòu),仿真模擬彈道導(dǎo)彈從發(fā)射點(diǎn)垂直起飛、主動段程序轉(zhuǎn)彎、末級瞄準(zhǔn)與閉路控制關(guān)機(jī),優(yōu)選出滿足定軌預(yù)報(bào)再入點(diǎn)約束的重構(gòu)彈道,輸出所對應(yīng)的發(fā)射點(diǎn)經(jīng)緯度。

    3.1 尋優(yōu)方法

    1)以脈沖發(fā)射點(diǎn)及對應(yīng)的自由段飛行時(shí)間為中心,設(shè)定經(jīng)緯度誤差邊界范圍,如±2°(對應(yīng)440km邊長的正方形),自由段時(shí)間偏差,如±100s,劃分三維網(wǎng)格如圖2所示,遍歷搜索可行解與最優(yōu)解,發(fā)射點(diǎn)位置精度與網(wǎng)格大小有關(guān),顯然網(wǎng)格越細(xì),搜索的時(shí)間越長。

    2)根據(jù)脈沖點(diǎn)與再入落點(diǎn)的經(jīng)緯度,由球面三角公式估計(jì)彈道射程。

    3)按照射程大小 (洲際、遠(yuǎn)程、中程、近程和短程),參考對應(yīng)的國內(nèi)外典型彈道導(dǎo)彈的參數(shù),虛擬來襲彈道導(dǎo)彈的動力學(xué)仿真參數(shù),如級數(shù)、各級的推力、質(zhì)量、秒流量、燃燒時(shí)間以及氣動阻力、升力系數(shù)。

    4)按照彈道導(dǎo)彈主動段的彈道設(shè)計(jì)方法,設(shè)計(jì)轉(zhuǎn)彎程序如攻角函數(shù)、各級轉(zhuǎn)彎角速率[8]。

    圖2 脈沖發(fā)射位置點(diǎn)附近的三維網(wǎng)格Fig.2 Three dimensional grid near impulse launch location

    5)為確保再入位置約束,導(dǎo)彈末級采用Lambert制導(dǎo)方法[7],根據(jù)末級當(dāng)前位置矢量,再入落點(diǎn)位置矢量和飛行時(shí)間要求,求取需要速度,利用速度增益制導(dǎo)構(gòu)成閉路關(guān)機(jī)控制,求得導(dǎo)彈末級飛行的俯仰角、偏航角和關(guān)機(jī)時(shí)間。

    3.2 約束條件

    以上給出了主要搜索變量的邊界約束和方法,但要模擬真實(shí)彈道,還需加入彈道重構(gòu)約束條件,即仿真彈道的再入點(diǎn)位置和速度六分量應(yīng)與彈道測量后的定軌值相同或逼近。

    再入點(diǎn)位置誤差約束:Δλ≤ελ,Δφ≤εφ,ΔH ≤εH。

    即經(jīng)度、緯度和高程三分量仿真值與定軌值的誤差小于設(shè)定值,因?yàn)槟┘壊捎昧薒ambert制導(dǎo)方法需要速度閉路制導(dǎo),仿真會自動滿足,簡化了位置約束的求解。

    再入角度誤差約束:ΔΘ≤εΘ,Δσ≤εσ,即速度的傾角和偏角誤差小于設(shè)定值

    3.3 目標(biāo)函數(shù)

    取再入速度模的誤差ΔVe為目標(biāo)函數(shù),應(yīng)取最小。

    4 仿真驗(yàn)證

    這里以某三級彈道導(dǎo)彈A為例,給出數(shù)學(xué)仿真予以說明。

    (1)導(dǎo)彈A的主要參數(shù)[10]

    一級起飛質(zhì)量為34.5t、推力為912kN、工作時(shí)間為61s、推進(jìn)劑秒流量為360kg/s;

    二級起飛質(zhì)量為12t、推力為270kN、工作時(shí)間為65s、推進(jìn)劑秒流量為108kg/s;

    三級起飛質(zhì)量為5t、推力為155kN、工作時(shí)間為59s、推進(jìn)劑秒流量為62kg/s。

    末修級工作時(shí)間由閉路關(guān)機(jī)控制指令決定。但彈道數(shù)值仿真時(shí),為簡化起見,可不設(shè)末修級,第三級工作時(shí)間不固定,由閉路關(guān)機(jī)仿真時(shí)間決定,只要滿足自由段飛行時(shí)間約束和落點(diǎn)位置約束就可以。其他中短程的戰(zhàn)術(shù)彈道導(dǎo)彈類似,也可不設(shè)末修級。

    (2)發(fā)射點(diǎn)和目標(biāo)點(diǎn)參數(shù)假設(shè)

    發(fā)射點(diǎn):經(jīng)度-118°,緯度30°;

    目標(biāo)點(diǎn):經(jīng)度112°,緯度34°;

    兩點(diǎn)之間的射程為11643km。

    (3)仿真過程

    1)在脈沖估計(jì)的基礎(chǔ)上,編寫3自由度仿真優(yōu)化搜索程序。

    2)設(shè)計(jì)一條從發(fā)射點(diǎn)到目標(biāo)點(diǎn)的標(biāo)稱攻擊彈道,獲得中段N個(gè)短弧采樣數(shù)據(jù),例如50個(gè)軌跡點(diǎn),每隔1秒一個(gè)采樣數(shù)據(jù),適當(dāng)加入白噪聲,基于這N個(gè)數(shù)據(jù),完成定軌計(jì)算。

    3)基于以上方法,完成發(fā)射點(diǎn)的二體脈沖估計(jì)和彈道重構(gòu)尋優(yōu)估計(jì)。

    (4)仿真結(jié)果

    二體脈沖估計(jì):

    發(fā)射點(diǎn)位置誤差

    經(jīng)度差:-0.127°(對應(yīng)14km)

    緯度差:1.0015°(對應(yīng)110km)彈道重構(gòu)尋優(yōu)估計(jì):

    發(fā)射點(diǎn)位置誤差

    經(jīng)度差:0.125°(對應(yīng)14km)

    緯度差:0.0015° (對應(yīng)0.2km)

    (5)約束條件逼近度

    速度誤差:0.047m/s

    當(dāng)?shù)厮俣葍A角誤差:0.85°

    速度偏角誤差:0.027°

    經(jīng)度差:0.0045° (對應(yīng)0.5km誤差)

    緯度差:0.0044° (對應(yīng)0.5km誤差)

    圖3給出了上述數(shù)值仿真算例的尋優(yōu)估計(jì)重構(gòu)彈道。

    圖3 彈道重構(gòu)尋優(yōu)估計(jì)數(shù)值仿真軌跡示意圖Fig.3 Numerical simulation sketch of optimal estimation with trajectory regeneration

    可見,對于本算例的二體快速脈沖估計(jì),發(fā)射點(diǎn)的位置誤差為120km,這對于判斷來襲彈道導(dǎo)彈的敵對國家是夠用的。而經(jīng)過彈道重構(gòu)的尋優(yōu)估計(jì),發(fā)射點(diǎn)位置誤差估計(jì)降到了15km左右,提高了可觀的估計(jì)精度,如果發(fā)射點(diǎn)尋優(yōu)網(wǎng)格進(jìn)一步細(xì)分,誤差還可能降低。

    5 結(jié)論

    提出的彈道導(dǎo)彈發(fā)射參數(shù)估計(jì)方法包括脈沖初始估計(jì)和彈道重構(gòu)仿真兩部分,前者實(shí)時(shí)性好,也是后者的基礎(chǔ)。后者以脈沖點(diǎn)為估計(jì)中心,對于戰(zhàn)略彈道導(dǎo)彈,以經(jīng)緯度±2°誤差為位置邊界,以二體飛行時(shí)間tke為中心,±100s為自由段的飛行時(shí)間邊界,劃分三維網(wǎng)格,并以再入點(diǎn)的位置三分量、當(dāng)?shù)厮俣葍A角、速度偏角共5個(gè)彈道重構(gòu)約束條件,以速度誤差為目標(biāo)函數(shù),進(jìn)行三自由度彈道控制仿真與優(yōu)化搜索,求取發(fā)射陣地坐標(biāo),這樣來減小發(fā)射點(diǎn)位置估計(jì)誤差。對于戰(zhàn)術(shù)彈道導(dǎo)彈,網(wǎng)格邊界可通過仿真進(jìn)一步縮小,方法類似。

    這種彈道重構(gòu)方法,不需要完全一致的彈道導(dǎo)彈參數(shù),只要大致接近就可,因?yàn)槭前凑諒椀缹?dǎo)彈攻擊目標(biāo)所采用的典型彈道規(guī)劃方法,基于動力學(xué)與控制仿真,并通過優(yōu)化搜索參數(shù)和Lambert末制導(dǎo)來滿足再入邊界條件的,使得數(shù)學(xué)仿真彈道能夠逼近實(shí)際飛行軌跡。

    只要獲得了來襲彈道測量參數(shù),本方法可以獲得較高置信度的估計(jì),在彈道導(dǎo)彈預(yù)警和防御中有一定參考價(jià)值。

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