基于Reddy簡化高階剪切理論的復(fù)合材料對稱角鋪設(shè)矩形板橫向彎曲一般解析解

張承宗

（空軍軍事代表局，北京100071）

0 引言

隨著復(fù)合材料制造技術(shù)與工藝的提高，復(fù)合材料結(jié)構(gòu)已經(jīng)開始作為主承力件在先進(jìn)運(yùn)載器結(jié)構(gòu)中使用，如美國研制的輕型攻擊直升機(jī)RAH－66機(jī)身龍骨大梁復(fù)合材料鋪層最多已達(dá)1000層。可以預(yù)計(jì)，未來航空航天復(fù)合材料結(jié)構(gòu)鋪層可能更多、更厚。復(fù)合材料厚板具有較低的橫向剪切剛度，在載荷作用下橫向剪切變形比較明顯，在很多情況下，采用剪切變形理論計(jì)算復(fù)合材料結(jié)構(gòu)力學(xué)響應(yīng)是必要的?？紤]到復(fù)合材料結(jié)構(gòu)還有各向異性等諸多問題［1］，考慮橫向剪切效應(yīng)的復(fù)合材料結(jié)構(gòu)板殼力學(xué)研究在理論和工程領(lǐng)域日益凸顯其重要性。實(shí)際工程中大多采用有限元程序進(jìn)行結(jié)構(gòu)力學(xué)計(jì)算，然后根據(jù)力學(xué)強(qiáng)度試驗(yàn)或者用力學(xué)解析解校核，再針對不同情況進(jìn)行分析計(jì)算。顯然，力學(xué)解析解校核有限元法計(jì)算精度是一種經(jīng)濟(jì)的做法，解析解還可以在力學(xué)機(jī)理研究中有著獨(dú)特的作用。盡管復(fù)合材料結(jié)構(gòu)數(shù)值解法蓬勃發(fā)展，解析解研究依然是復(fù)合材料力學(xué)的重要研究內(nèi)容。隨著力學(xué)模型日趨復(fù)雜，力學(xué)解析解的建立變得困難起來，相應(yīng)地新的力學(xué)解析解法和理論也不斷地發(fā)展。

對于各向同性和正交鋪設(shè)、反對稱鋪設(shè)層合板 殼 ， 傳統(tǒng) Levy級 數(shù) 方 法［2－3］、 雙 重 級 數(shù) 方 法［4］在有些情況下依然可用。鐘萬勰［5］從哈密頓體系角度提出了求解偏微分方程和力學(xué)方程的新思路，取得一些解析解，姚偉岸等［6］開啟了辛彈性力學(xué)思路。胡文鋒等［7］采用狀態(tài)空間法獲得了正交異性厚矩形板多種邊界條件下的解析解，卿光輝等［8］得到了基于狀態(tài)方程的矩形層合板多種邊界條件下的解析解；張承宗等［9］研究了一種求解直角坐標(biāo)系下4階常系數(shù)線性偏微分方程定解問題的新方法：復(fù)級數(shù)展開法 （復(fù)數(shù)分離變量法），并用于求解各向異性板橫向彎曲問題。這種復(fù)級數(shù)展開法推廣用于基于經(jīng)典理論和一階剪切理論的復(fù)合材料圓形板、矩形板、斜形板等相關(guān)力學(xué)問 題 ， 取 得 一 些 解 析 解 和 結(jié) 果［10－12，15－16］， 黃 炎等［13］、 楊 端 生 等［14，17］應(yīng) 用 復(fù) 級 數(shù) 展 開 法 思 想 獲得了各向異性矩形板振動(dòng)、屈曲問題解析解。從目前研究來看，復(fù)級數(shù)方法 （復(fù)數(shù)分離變量法）或可以看作數(shù)學(xué)物理的一個(gè)基本方法［18－19］，可以用來求解常系數(shù)的線性偏微分方程 （組），而復(fù)合材料板殼結(jié)構(gòu)力學(xué)控制方程大多屬于此類偏微分方程 （組）。對于復(fù)合材料結(jié)構(gòu)板殼理論，先后提出了經(jīng)典理論和一階剪切理論、高階剪切理論和Reddy簡化高階剪切理論等。相比一階剪切理論，Reddy［20－21］簡化高階剪切理論復(fù)雜程度提高不多，特別是不需要對剪切剛度進(jìn)行修正，這種剪切理論有其自身優(yōu)勢，賀丹等［22］應(yīng)用這種簡化高階剪切理論取得有益的結(jié)果。受到先前數(shù)學(xué)解析手段局限，基于Reddy簡化高階剪切理論的復(fù)合材料中厚板殼結(jié)構(gòu)力學(xué)問題解析研究相對有限，結(jié)合各向異性、剪切變形綜合解析研究的工作還沒實(shí)質(zhì)進(jìn)行。本文運(yùn)用復(fù)級數(shù)方法，采用Reddy簡化高階剪切理論針對復(fù)合材料對稱角鋪設(shè) （各向異性）矩形層合板橫向彎曲進(jìn)行解析研究，首次獲得了基于Reddy簡化高階剪切理論的復(fù)合材料對稱角鋪設(shè) （各向異性）矩形層合板橫向彎曲一般解析解，進(jìn)行了計(jì)算驗(yàn)證，并與經(jīng)典理論、一階剪切理論解析解進(jìn)行對比計(jì)算。文中給出的解析計(jì)算結(jié)果，可用于校核有限元等工程計(jì)算軟件。

1 基本理論

根據(jù)文獻(xiàn)［20－21］，基于Reddy簡化高階剪切理論的復(fù)合材料對稱角鋪設(shè) （各向異性）層合板在彎曲變形分析時(shí)的位移分量為

式中，w（x，y）為撓度，фx（x，y）和фy（x，y）分別為板廣義位移參量。

定義下列廣義剛度

引入以下無量綱量：

其中a、b、h為矩形板的長、寬、厚，q為橫向載荷。

該復(fù)合材料對稱角鋪設(shè) （各向異性）層合板橫向彎曲問題的力學(xué)平衡方程可寫如下形式：

其中

基于Reddy簡化高階剪切理論的各向異性（復(fù)合材料對稱角鋪設(shè)）橫向彎曲問題求解在數(shù)學(xué)上可歸結(jié)為求解偏微分方程組 （3）在橫向彎曲矩形板邊界條件下邊值問題。

2 一般解析解的建立

本文采用位移法［12］求解基于Reddy簡化高階剪切理論的各向異性板 （復(fù)合材料對稱角鋪設(shè)）橫向彎曲問題。

2．1 通解的推導(dǎo)

設(shè)

式 （4）中i為虛數(shù)單位，m 為整數(shù) （m ≠0），r為特征根。E、F、G為復(fù)數(shù)常數(shù)。

將式 （4）代入式 （3），當(dāng)m 不為0時(shí)，可推得有關(guān)r的8次特征代數(shù)方程

式 （8）中，S8，…，S0為復(fù)數(shù)常數(shù)，可以采用MATHCAD軟件推導(dǎo)獲得，形式復(fù)雜 （略）。對于各向異性材料矩形板，式 （5）有4對共軛復(fù)根ak±bki（k＝1，2，3，4）。

按照［12］類似步驟，可以推得實(shí)數(shù)形式級數(shù)通解фx、фy、w

將式 （6）代入式 （3）任兩式，從基本解sinh（mπbkη）sinmπ（akη＋ξ）、sinh（mπbkη）cosmπ（akη＋ξ）、cosh（mπbkη）sinmπ（akη＋ξ）和cosh（mπbkη）cosmπ（akη＋ξ）的獨(dú)立性出發(fā)，可得到Ejkm、Fjkm、Gjkm（j，k＝1，2，3，4）之間的關(guān)系矩陣

式 （7）中Zmnk、Rmnk（m，n＝1，2，3，4）為實(shí)數(shù)常數(shù)。

當(dāng)m為0時(shí)，設(shè)

其中，фxy、фyy，wy為待定實(shí)數(shù)常數(shù)。將式 （8）代入式 （3）可得另一個(gè)關(guān)于r的4次代數(shù)特征方程和4個(gè)特征根：±a0，1、±a0，2。根據(jù)常微分方程理論，可求得另一組關(guān)于η的雙曲正弦函數(shù)形式和多項(xiàng)式形式補(bǔ)充解。

考慮一般性，又設(shè)

式 （9）中i為虛數(shù)單位，n為整數(shù)（n≠0），s為特征根，O、P、Q為復(fù)數(shù)常數(shù)。

類似地，可得有關(guān)s的特征方程 （10）及其4對不等共軛虛根ck±dki （k＝1，2，3，4）和關(guān)系矩陣：

其中，式 （10）中T8，…，T0為復(fù)數(shù)常數(shù)，形式略。式 （11）中Tmnk，Smnk（m，n＝1，2，3，4）為實(shí)數(shù)常數(shù)。同樣可得對應(yīng)的實(shí)數(shù)形式級數(shù)通解

同樣，當(dāng)n為0時(shí)，設(shè)

其中，фxx、фyx、wx為待定實(shí)數(shù)常數(shù)。將上式代入式 （3）可得另一個(gè)關(guān)于s的4次代數(shù)特征方程及特征根：±c0，1、±c0，2。 根據(jù)常微分方程理論，可求得另一組關(guān)于ξ的雙曲正弦函數(shù)形式和多項(xiàng)式形式補(bǔ)充解。

從線性偏微分方程解的可迭加性出發(fā)，在式（6）和式 （12）基礎(chǔ)上補(bǔ)充兩個(gè)坐標(biāo)方向的梁函數(shù)形式解、關(guān)于ξ和η的交叉多項(xiàng)式及特解，可得如下一般解析解：

2．2 特解的建立

對于橫向彎曲問題，本文引入勢函數(shù)Φ，引進(jìn)微分算子Χ0，它是以式 （3）中算子Lij組成得3×3行列式值。依照線性代數(shù)理論，基本微分方程 （3）可以寫成

其中，方程系數(shù)可采用MATHCAD軟件推導(dǎo)獲得，具體形式略。

令Χkl（k，l＝1，2，3）表示給該行列式的代數(shù)余子式。使

對于均布載荷q，本文選取

其中，SS40、SS22、SS04分別為算子Χ0中關(guān)于的系數(shù)。式 （15） 中特解

2．3 求解模式

將式 （13）～式 （15）的多項(xiàng)式部分 （對應(yīng)

結(jié)合式 （16）和式 （18），可以推出式 （13）～于tk（k＝1，2，…，35）的各項(xiàng)）代入式 （3）的三式可得23個(gè)獨(dú)立方程，這樣多項(xiàng)式形式補(bǔ)充解只有12個(gè)未知數(shù)是獨(dú)立的；將式 （13）～式 （15）中的雙曲正弦函數(shù)形式解代入式 （3）中任兩式，根據(jù)雙曲正弦 （余弦）函數(shù)的獨(dú)立性，可將фxy1、фxy2、фyy1、фyy2用Wy1、Wy2表示，可將фxy3、фxy4、фyy3、фyy4用 Wy3、Wy4表 示， 將 фxx1、фxx2、фyx1、фyx2用 Wx1、Wx2表示， 將фxx3、фxx4、фyx3、фyx4用Wx3、Wx4表示，這樣雙曲正弦函數(shù)形式解只有8個(gè)獨(dú)立未知數(shù)（Wx1、Wx2、Wx3、Wx4、Wy1、Wy2、Wy3、Wy4）。在實(shí)際計(jì)算中，m、n不可能取無窮大，設(shè)m、n最大取M，這樣一般解析解式 （13）～式 （15）共有16 M＋20個(gè)未知數(shù)。對于采用Reddy簡化高階剪切理論的矩形板，每邊有4個(gè)邊界條件，共有16個(gè)邊界條件。將一般解析解代入16個(gè)邊界條件中，形成16個(gè)方程，將所得每個(gè)方程展成M 項(xiàng)正弦級數(shù)。根據(jù)正弦級數(shù)的正交性，可以得到16 M 個(gè)線性代數(shù)方程。矩形板每個(gè)角點(diǎn)處可有位移 （如撓度、轉(zhuǎn)角）或內(nèi)力 （如彎矩、剪力）等5個(gè)角點(diǎn)條件，共有20個(gè)角點(diǎn)條件，這樣共建立16 M＋20個(gè)方程，可以求解16 M＋20個(gè)未知數(shù)，該橫向彎曲問題得解。

3 數(shù)值算例驗(yàn)證

下面計(jì)算對稱角鋪設(shè)四邊固支矩形板在均布載荷q作用下的橫向彎曲，以驗(yàn)證解析解。板結(jié)構(gòu)參數(shù)為a＝b＝1m，載荷參數(shù)為q＝104N／m2，材料力學(xué)參數(shù)為：E1＝276GPa，E2＝31．05GPa，G12＝G13＝10．35GPa，G23＝12．42GPa，ν12＝ν13＝0．25，ν23＝0．28。

四邊固支矩形板 （CCCC）邊界條件為：

該彎曲問題中撓度中心對稱；фx、фy反中心對稱，據(jù)此可降低計(jì)算量。

3．1 穩(wěn)定性驗(yàn)證

對于級數(shù)解來說，其穩(wěn)定性驗(yàn)證是必需的。為了考查本文解的收斂性和穩(wěn)定性，針對11層［30°／－30°／30°／－30°／30°／－30°／30°／－30°／30°／－30°／30°］四邊固支正方形板 （h＝0．1m），對在均布載荷作用下的橫向彎曲進(jìn)行計(jì)算，改變M 比較相應(yīng)板中心撓度。撓度單位為m，彎矩單位為N·m。

表1 M 對板中心撓度、彎矩計(jì)算值影響Tab．1 The effect of Mon the numerical results ofω （0．5，0．5）and Mx （0．5，0．5）

表1表明當(dāng)M 增大時(shí)，解數(shù)值保持穩(wěn)定；計(jì)算中發(fā)現(xiàn)，對于不同的材料、邊界條件及鋪層方式 ，所需計(jì)算項(xiàng)數(shù)可逐漸增大M 試算以確定具體數(shù)值。

3．2 邊界條件符合程度驗(yàn)證

為檢查本文解對邊界條件符合情況，針對單層鋪設(shè)角為30°的正方形板 （h＝0．1m）進(jìn)行計(jì)算 （M＝60）。板撓度w、廣義位移фx和фy見表2～表4。

表3 ［30°］CCCC層合板фx分布Tab．3 The distribution ofфx （x，y）over the CCCC laminated plate with［30°］ply

表4 ［30°］TCCCC層合板фy 分布Tab．4 The distribution ofфy （x，y）over the CCCC laminated plate with［30°］ply

從表2～表4可發(fā)現(xiàn)本文解對邊界條件符合程度較好。

對于復(fù)合材料板結(jié)構(gòu)，當(dāng)其厚度很小時(shí)，板橫向剪切變形亦很小，應(yīng)該可按經(jīng)典理論計(jì)算分析板結(jié)構(gòu)，此時(shí)按剪切變形理論計(jì)算結(jié)果應(yīng)與經(jīng)典理論結(jié)果相當(dāng)。為此，固定a＝b＝1m，改變h，結(jié)合不同a／h， 針對具有CCCC邊界條件［45°／－45°／45°］層合方板 計(jì)算 中心撓度和彎矩值，并將Reddy簡化理論解與經(jīng)典理論CLT［9］、修正剪切剛度的一階剪切理論 （first－order deformation theory，F(xiàn)SDT）［12］進(jìn) 行 對 比 （M 取40）。結(jié)果見表5～表6。

表5 ［45°／－45°／45°］CCCC層合板中心撓度Reddy解與CLT、FSDT解比較Tab．5 Comparisons ofω （0．5，0．5）in the CCCC laminated plate with［45°／－45°／45°］ply and different a／h using simplified high order shear deformation theory with those of CLT and firstorder deformation theory

表6 ［45°／－45°／45°］TCCCC層合板中心彎矩Mx （0．5，0．5）Reddy解與CLT、FSDT解比較Tab．6 Comparisons of Mx （0．5，0．5）in the CCCC laminated plate with［45°／－45°／45°］ply and different a／h using simplified high order shear deformation theory with those of CLT and firstorder deformation theory

從表5～表6可看出，當(dāng)a／h增大到一定值時(shí)，Reddy解與CLT、FSDT解撓度值已相差不大；當(dāng)a／h降低到一定值時(shí)，Reddy解與CLT解撓度值、彎矩逐漸出現(xiàn)差距，經(jīng)典理論給出偏低的撓度值和偏低的彎矩值，偏于危險(xiǎn)結(jié)論。在目前設(shè)定的邊界條件、鋪設(shè)方式、結(jié)構(gòu)尺寸下，Reddy解與FSDT解撓度值、彎矩比較接近，F(xiàn)SDT解撓度值一般要大于Reddy解撓度值，文獻(xiàn)［23］給出的算例表明FSDT解撓度值要大于三維狀態(tài)空間解撓度值，這表明本文Reddy解撓度值和文獻(xiàn)［23］結(jié)論趨勢相符，也從另一個(gè)方面驗(yàn)證了本文解的正確性。

4 結(jié)論

綜合考慮復(fù)合材料結(jié)構(gòu)各向異性和橫向剪切效應(yīng)更符合復(fù)合材料板殼的實(shí)際力學(xué)狀態(tài)，另一方面增加了復(fù)合材料結(jié)構(gòu)力學(xué)問題解析求解的難度。解析求解經(jīng)典理論各向異性板彎曲涉及求解一個(gè)撓度函數(shù)的4階偏微分程邊值問題，求解一階剪切理論的各向異性板，則涉及求解3個(gè)位移函數(shù)的6階偏微分方程組邊值問題。Reddy高階簡化理論不需要對剪切剛度進(jìn)行修正，可望獲得更加準(zhǔn)確的力學(xué)響應(yīng)結(jié)果，但解析求解基于Reddy高階簡化理論的各向異性矩形板彎曲問題要求解3個(gè)位移函數(shù)的8階偏微分方程組邊值問題，數(shù)學(xué)求解更加復(fù)雜，解析求解一直也沒有實(shí)現(xiàn)。本文依據(jù)復(fù)數(shù)級數(shù)方法首次獲得了基于Reddy簡化高階剪切理論的復(fù)合材料對稱角鋪設(shè) （各向異性）矩形層合板橫向彎曲一般解析解，數(shù)值計(jì)算驗(yàn)證了所得解析解的收斂性、穩(wěn)定性。本文解析解的建立為采用Reddy簡化高階剪切理論解析研究復(fù)合材料板結(jié)構(gòu)力學(xué)影響打下了基礎(chǔ)，后續(xù)將據(jù)此開展有關(guān)計(jì)算研究。