初中生解圓與函數(shù)綜合題中存在問題分析

梁丹

摘要：從中考試卷來看，圓與函數(shù)綜合題是各省中考中出現(xiàn)頻率最高的題目之一。但是，對于初中生來說，此類題目難度較大，始終是中考中的一大失分點。調(diào)查顯示，學(xué)生對該類題目的興趣、態(tài)度、認知、解題習(xí)慣、總結(jié)與反思上存在問題，建立在教學(xué)過程中引導(dǎo)學(xué)生樹立并逐個實現(xiàn)小的學(xué)習(xí)目標(biāo)，建立和諧通暢的師生關(guān)系，注意培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)語言轉(zhuǎn)換能力，引導(dǎo)學(xué)生學(xué)會總結(jié)和反思。

關(guān)鍵詞：初中生；圓與函數(shù)；調(diào)查

中圖分類號：G633.6 文獻標(biāo)識碼：A 文章編號：1992-7711（2018）08-0031

圓與函數(shù)綜合題重點考查的是學(xué)生綜合運用幾何知識和函數(shù)知識解決實際問題的能力。平面幾何有助于學(xué)生邏輯推理和論證能力的培養(yǎng)，函數(shù)有助于學(xué)生更好地體會數(shù)形結(jié)合的思想。將兩大模塊知識融合在一起，可以形成綜合性強、形式多變的綜合類問題。從中考試卷來看，圓與函數(shù)綜合題是各省中考中出現(xiàn)頻率最高的題目之一。但是，對于初中生來說，此類題目難度較大，始終是中考中的一大失分點。在此，筆者就對學(xué)生解決圓與函數(shù)綜合題中存在的問題加以分析，并提出相應(yīng)的對策。

一、研究方法

為了對初中生解圓與函數(shù)綜合題中存在的問題進行定量研究，筆者選取自己所在學(xué)校九年級的285名學(xué)生作為樣本，對其對圓與函數(shù)綜合題的興趣、態(tài)度、認知、解題習(xí)慣和總結(jié)反思情況進行了問卷調(diào)查。此次調(diào)查共發(fā)放調(diào)查問卷285份，回收問卷280份，其中有效問卷276份，回收率和有效率分別為98.2%和98.6%。對于調(diào)查數(shù)據(jù)，采用Excel2003進行了系統(tǒng)分析。

二、調(diào)查結(jié)果分析

1. 學(xué)生對圓與函數(shù)綜合題的興趣

俗話說，興趣是最好的老師。如果學(xué)生沒有學(xué)習(xí)興趣，那么學(xué)習(xí)就會成為一種折磨，不可能學(xué)懂、學(xué)會和解決問題。從調(diào)查來看，表示“喜歡”和“非常喜歡”圓與函數(shù)綜合題的學(xué)生累計達到了69.6%，這說明超過三分之二的學(xué)生對圓與函數(shù)綜合題并不反感，這一結(jié)果是令人欣慰的。另外，選擇“一般”的學(xué)生占10.8%，選擇“不喜歡”的學(xué)生占19.6%。走訪選擇“不喜歡”的學(xué)生，他們給出的理由主要有三個，分別是數(shù)學(xué)教師要求太嚴(yán)，不喜歡他的教學(xué)風(fēng)格；數(shù)學(xué)基礎(chǔ)太差，跟不上，不喜歡數(shù)學(xué)；多次努力學(xué)習(xí)成績都不理想，內(nèi)心很失落。這說明，教師的行為對于學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)興趣有一定的影響，九年級學(xué)生思想和行為都相對稚嫩，容易受外界影響，教師應(yīng)該注意自己教學(xué)行為、教學(xué)風(fēng)格和教學(xué)方法對學(xué)生的影響，努力促進學(xué)生的健康發(fā)展。

2. 學(xué)生對圓與函數(shù)綜合題的態(tài)度

調(diào)查顯示，當(dāng)平時遇到圓與函數(shù)的綜合題時，11.6%的學(xué)生會翻閱自己做過的題目或教科書，這部分學(xué)生的思想是積極的，具有專注精神和獨立思考精神，思維始終處于興奮狀態(tài)，有助于解題效率的提高；43.8%的學(xué)生會求助同學(xué)或教師，其獨立精神和解決問題的積極性略顯不足，教師應(yīng)該適當(dāng)?shù)馗淖兎绞?，鼓勵他們從自己做過的題目或教科書中尋找答案，如仍失敗可給予適當(dāng)提示；27.2%的學(xué)生會胡亂寫寫應(yīng)付了事，對于此類學(xué)生應(yīng)當(dāng)尤其注意，不能直接置之不理，否則學(xué)生會變本加厲，長期下去遇到題目將不知如何下手。剩下的17.4%的學(xué)生會直接忽略掉，此類學(xué)生應(yīng)該多給予鼓勵，找準(zhǔn)其興趣點，引導(dǎo)其構(gòu)建起適合自己的認知結(jié)構(gòu)，逐漸增加其學(xué)習(xí)興趣和解題的積極性。

調(diào)查中還發(fā)現(xiàn)，當(dāng)教師講解圓與函數(shù)綜合題時，72.5%的學(xué)生會跟著教師的思路聽講，17.4%的學(xué)生表示遇到聽不懂的地方就不聽了，另有4.3%的學(xué)生表示根據(jù)自己的心情決定聽還是不聽。聽不懂就不聽的學(xué)生多是注意力不能長時間集中，遇到較長的題目或者題目關(guān)聯(lián)性較強時，可適當(dāng)?shù)亻_玩笑，讓其思維稍微休息一下再重新回到問題上來；聽課隨心情的學(xué)生明顯過于情緒化，應(yīng)該給予更多情感上的關(guān)注和關(guān)心。還有5.8%的學(xué)生表示聽也聽不懂，主要是因為其學(xué)習(xí)屢受挫折，缺少成功感，不妨在課堂教學(xué)過程中讓其多解決一些比較容易的問題。

3. 學(xué)生對圓與函數(shù)綜合題的認知

對于圓與函數(shù)綜合題，學(xué)生的回答基本相同，都認為就是綜合了圓與函數(shù)知識的問題，這說明他們對此類問題的特征認識并不深刻。對于教師講解的圓與函數(shù)的綜合題，能全部理解的學(xué)生占48.6%，能理解絕大部分的學(xué)生占18.8%，能理解一半以上的學(xué)生占9.4%，其他學(xué)生則是理解一半以下的。這說明67.4%的學(xué)生能理解教師講解的題目。走訪中發(fā)現(xiàn)，學(xué)生不能理解的往往是圓與函數(shù)綜合題的最后一問，能聽懂一半以上或一半以下的學(xué)生多是數(shù)學(xué)基礎(chǔ)較為薄弱的學(xué)生。能理解教師講過的題目，但經(jīng)常不會自己獨立解題的學(xué)生所占比例高達82.9%，這說明他們的知識遷移能力較弱，沒有將教師講的數(shù)學(xué)方法優(yōu)化整合到自己的認知結(jié)構(gòu)中，遇到同樣的問題情境都不能提取到有效的數(shù)學(xué)方法，更不能解決全新的數(shù)學(xué)問題了。

4. 學(xué)生解決圓與函數(shù)綜合題的習(xí)慣

初中圓與函數(shù)綜合題通常文字敘述較多，理解題意是解題的第一步。從調(diào)查來看，初中學(xué)生往往難以理解此類題目的題意，因而無法進入后續(xù)的解題步驟。其中只有39.5%的學(xué)生會在閱讀題目時提取重要信息，52.9%的學(xué)生表示偶爾會有該類行為，另有7.6%的學(xué)生則完全不會有該類行為；有61.6%的學(xué)生在解題時，都是先看問題，而后根據(jù)問題尋找已知條件的，這非常令人滿意。在遇到圓與函數(shù)的綜合性大題時，43.8%的學(xué)生會“解一步是一步”，而且更多的學(xué)生會先建立各知識點之間的聯(lián)系之后再解題，這說明學(xué)生在知識點提取時遇到了障礙，只要突破了這一個問題，就會順利解題了。

5. 學(xué)生對綜合題解題的總結(jié)與反思

對錯題的收集、整理和反思是極有必要的。調(diào)查顯示，學(xué)生對于自己解題中出現(xiàn)的錯誤態(tài)度不一，總是及時改正錯誤的學(xué)生占58.7%，經(jīng)常會及時改正錯誤的學(xué)生占31.2%，7.2%和2.9%的學(xué)生出現(xiàn)此類行為的頻率分別是偶爾和從不。走訪發(fā)現(xiàn)，偶爾會改正錯誤的學(xué)生認為只要聽得懂就行了，那么長的答案，抄不抄無所謂，聽不懂抄了也白抄。而從不改正錯誤的學(xué)生對數(shù)學(xué)完全沒有興趣，不會做也不想聽。對于錯題反思總結(jié)，有14.5%的學(xué)生認為非常重要，認為一般和不重要的學(xué)生分別占23.2%和27.5%，另有34.8%的學(xué)生不知道怎樣進行反思。在所有學(xué)生中，擁有錯題本的學(xué)生占49.3%，即使這部分學(xué)生，也僅僅是把錯題和正確答案抄下來，而不會分析自己究竟錯在哪里。

三、初中生圓與函數(shù)綜合題教學(xué)策略

針對前面的調(diào)查結(jié)果，在圓與函數(shù)綜合題的教學(xué)中，應(yīng)該做到以下幾點：

1. 引導(dǎo)學(xué)生樹立并逐個實現(xiàn)小的學(xué)習(xí)目標(biāo)

在教學(xué)過程中，應(yīng)該認真研究學(xué)生的解題障礙，因人而異地設(shè)立小的學(xué)習(xí)目標(biāo)，為其提供最為恰當(dāng)?shù)膶W(xué)習(xí)任務(wù)，讓他們逐漸體驗到成功的樂趣，逐漸喜歡上挑戰(zhàn)思維極限，消除畏難情緒，擁有較強的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)自信心。如在“圓與二次函數(shù)的綜合運用”的教學(xué)中，可將核心目標(biāo)“圓與二次函數(shù)的綜合運用”分解為圓與二次函數(shù)的位置關(guān)系、取值范圍和特殊圖形的構(gòu)造三個小的學(xué)習(xí)目標(biāo)，并分別選擇一道例題、兩道練習(xí)題進行教學(xué)。在教學(xué)中發(fā)現(xiàn)學(xué)生解題出現(xiàn)錯誤時，應(yīng)該與學(xué)生共同分析出現(xiàn)錯誤的原因，幫其消除解題障礙，通過鼓勵為其傳遞積極進取的情緒，獲得成功的快樂，逐步實現(xiàn)既定的學(xué)習(xí)目標(biāo)。

2. 建立和諧通暢的師生關(guān)系

在教學(xué)過程中，教師應(yīng)該在保持自己教學(xué)風(fēng)格的同時，讓學(xué)生感受到平等的態(tài)度。對于學(xué)生問的問題、犯的錯誤，要多些耐心，時刻注意學(xué)生的心理變化，給予足夠的關(guān)心和幫助，真正成為學(xué)生學(xué)習(xí)上的合作者和引導(dǎo)者，關(guān)于通過語言行為和非語言行為來表達自己對學(xué)生的情感，讓學(xué)生感覺到自己的期待。如當(dāng)學(xué)生掌握了最基本的圓與一次函數(shù)的綜合題目的解答思路之后，可以回報以會心的微笑、微微的點頭，讓他們感到教師對他們的肯定；當(dāng)學(xué)生遇到了圓與二次函數(shù)的綜合題目一時找不到思路時，親切地注視著學(xué)生，讓他們感覺到教師的期待。如此，師生的獨立性都得到了尊重，創(chuàng)造性得到了充分發(fā)揮，教與學(xué)在相互融合中都得到了發(fā)展。

3. 注意培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)語言轉(zhuǎn)換能力

在講解圓與函數(shù)綜合題時，應(yīng)該注意已知條件的分析，并用簡單的數(shù)學(xué)符號寫在黑板上，遇到動態(tài)問題則要標(biāo)注清動點和定點，深入挖掘題目隱含條件，逐漸培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)理解能力和數(shù)學(xué)語言轉(zhuǎn)換能力，學(xué)會將陌生的問題情境轉(zhuǎn)換成為熟悉的問題情境，逐漸形成程序性的知識鏈接。如對于二次函數(shù)與拋物線交點的問題，可以指導(dǎo)學(xué)生結(jié)合圖形，整理成為簡潔、準(zhǔn)確的數(shù)學(xué)語言：兩個二次方程聯(lián)立得出根的判斷式，如果Δ>0，有兩個交點；如果Δ=0，有一個交點；如果Δ<0，沒有交點。這樣，學(xué)生就會對題目隱含條件有更加清晰的認識，再次遇到類似的問題就會直接將其轉(zhuǎn)換為數(shù)學(xué)語言。

4. 引導(dǎo)學(xué)生學(xué)會總結(jié)和反思

只有不斷地反思和總結(jié)，才能實現(xiàn)更加有效的提高。因此，在教學(xué)中，應(yīng)該注重學(xué)生錯題本的建立，并制訂相應(yīng)的監(jiān)督措施，引導(dǎo)學(xué)生利用好錯題本。在錯題本上，不僅僅應(yīng)該抄下做錯的題目和正確答案，還應(yīng)該針對出現(xiàn)的錯誤反思錯誤的原因，反思錯誤答案與正確答案之間的差距。只有這樣，學(xué)生才能具有更加明確的學(xué)習(xí)目標(biāo)，總結(jié)出更為科學(xué)的解題經(jīng)驗。

具體如以下案例：

在Rt△ABC中，∠C為直角，AC=3，BC=4，如果以C為圓心、以R為半徑所做的圓與Rt△ABC的斜邊有且只有一個交點，則R的大小為（ ）

A. R=2.4 B. 3

C. R=2.4或3

錯誤答案：A

正確答案：C

錯誤原因：將三角形的邊等同于直線，從而只考慮到了斜邊與圓相切時有且只有一個交點的情況；實際上三角形的邊是線段，除了相切的情況之外，還有三角形的邊與圓相交于邊上一點的情況。

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（作者單位：廣東省茂名市信宜市實驗學(xué)校 525300）