基于思維發(fā)展的數(shù)學開放題教學與評價研究

李海東，楊傳岡

（1.泰興市南沙小學，江蘇 泰興 225464；2.鹽城市第二小學，江蘇 鹽城 224005）

所謂數(shù)學開放題，就是“答案不唯一，并在設(shè)問方式上要求學生進行多方面、多角度、多層次探索的數(shù)學問題”[1]?！皩栴}指向只有原則性要求”和“一題多解”是數(shù)學開放題的本質(zhì)特征。前者為后者提供了可能，后者是前者的體現(xiàn)。[2]蘇教版小學數(shù)學教科書在“數(shù)與代數(shù)”“圖形與幾何”“統(tǒng)計與概率”和“綜合與實踐”四個領(lǐng)域的教學內(nèi)容中都設(shè)計了一些開放題，以便“不同水平層次的學生能給出適合自己現(xiàn)實水平的解答”，并從中“體驗數(shù)學的學習方法和研究方法，獲取數(shù)學知識，培養(yǎng)學生對數(shù)學的積極態(tài)度”[3]。學生解決開放題綜合運用數(shù)學知識的情況能有效反映他們的數(shù)學思維水平。因此，教師要精心組織數(shù)學開放題的教學和評價活動。

一、小學數(shù)學開放題教學

每個領(lǐng)域數(shù)學開放題的教學都應(yīng)體現(xiàn)過程性，以便培養(yǎng)學生的探索精神和創(chuàng)造力。教師要根據(jù)學情、教科書和知識背景，精心設(shè)計恰當?shù)臄?shù)學活動，引導(dǎo)學生在觀察、實驗、猜測、推理、交流和反思中感悟開放題知識的形成和應(yīng)用過程。讓學生經(jīng)歷這樣的教學過程，不但有助于他們理解和掌握數(shù)學知識與方法，而且有助于他們形成良好的數(shù)學思維習慣和應(yīng)用意識，還能有效提高他們解決問題的能力。

1.引導(dǎo)學生經(jīng)歷開放題知識形成過程

開放題能有效培養(yǎng)學生思維的創(chuàng)造性，但這只能建立在學生理解并掌握知識的基礎(chǔ)上，否則，學生思維發(fā)展就是無源之水、無本之木。教師進行開放題教學活動時，可以根據(jù)“知識背景—知識形成—揭示聯(lián)系”的過程引導(dǎo)學生經(jīng)歷數(shù)學知識的形成過程，激發(fā)他們的學習興趣，幫助他們厘清知識之間的聯(lián)系，促進他們理解知識本質(zhì)，發(fā)展他們的思維能力。

探索“和與積的奇偶性”（蘇教版五下P50）時，教科書中有這樣一道開放題：

兩個非0自然數(shù)的和是奇數(shù)還是偶數(shù)？這道開放題的知識背景是學過了奇數(shù)和偶數(shù)概念，學生知道自然數(shù)分奇數(shù)和偶數(shù)，掌握了奇數(shù)和偶數(shù)的意義。教師出示開放題后，學生經(jīng)過思考，認為兩個非0自然數(shù)相加包括“奇數(shù)+偶數(shù)”“奇數(shù)+奇數(shù)”和“偶數(shù)+偶數(shù)”三種情況。根據(jù)這三種情況，學生提出了6個不同的數(shù)學問題，即：（1）奇數(shù)與偶數(shù)的和是奇數(shù)嗎？（2）奇數(shù)與偶數(shù)的和是偶數(shù)嗎？（3）奇數(shù)與奇數(shù)的和是奇數(shù)嗎？（4）奇數(shù)與奇數(shù)的和是偶數(shù)嗎？（5）偶數(shù)與偶數(shù)的和是奇數(shù)嗎？（6）偶數(shù)與偶數(shù)的和是偶數(shù)嗎？

這樣，開放題變成了學生容易理解和解決的問題了。這些問題其實是學生的猜想，需要進行驗證。驗證猜想時，學生先舉出一些奇數(shù)與偶數(shù)相加的例子，發(fā)現(xiàn)它們的和都是奇數(shù)，而不是偶數(shù)，從而初步驗證了“奇數(shù)與偶數(shù)相加的和是奇數(shù)”。在此基礎(chǔ)上，教師引導(dǎo)學生從奇、偶數(shù)的概念進行驗證：奇數(shù)除以2后余數(shù)是1，偶數(shù)除以2后余數(shù)是0，它們的和除以2后余數(shù)是1，1是奇數(shù)，因此，奇數(shù)與偶數(shù)的和是奇數(shù)而不是偶數(shù)。學生隨后用類似方法驗證了“奇數(shù)與奇數(shù)的和是偶數(shù)”以及“偶數(shù)與偶數(shù)的和是偶數(shù)”，從而得出了結(jié)論：兩個非0自然數(shù)的和可能是奇數(shù)，也可能是偶數(shù)。這樣，他們就經(jīng)歷了開放題的問題解決過程，也就經(jīng)歷了數(shù)學知識的形成過程，還溝通了奇數(shù)、偶數(shù)、余數(shù)之間的聯(lián)系。他們對開放式問題的認識逐漸從感性上升到理性，數(shù)學思維得到了順利發(fā)展。

2.引導(dǎo)學生經(jīng)歷開放題知識應(yīng)用過程

知識的應(yīng)用依賴于知識的有效遷移，而知識的順利應(yīng)用反過來能促進知識遷移的發(fā)生與加強。恰當應(yīng)用開放題知識不僅能幫助學生鞏固所學知識，而且能幫助學生實現(xiàn)個體知識庫或知識結(jié)構(gòu)的存儲與重構(gòu)，從而促進開放題知識掌握、能力提升和智力激活。數(shù)學開放題的應(yīng)用過程是學生檢驗知識理解和鞏固情況的過程，也是加深理解、使知識系統(tǒng)化的過程，還是學生根據(jù)開放題問題解決過程中形成經(jīng)驗舉一反三的過程。教師根據(jù)教學需要可以及時引導(dǎo)學生經(jīng)歷開放題的知識應(yīng)用過程。

教學“長方體和正方體”時，教科書中有這樣一道開放題：你能求出一張紙的體積嗎？小組合作，動手試一試（蘇教版六上P25）。學生通過測量一疊A4紙（如1000張）的長、寬、高算出總體積，再求出一張紙的體積；學生也可以把一張A4紙對折成長方體，量出長、寬、高并求出體積。學了“圓柱和圓錐”后，教師設(shè)計了這樣一道開放題：如何測量一團橡皮泥的體積？這是一道策略性開放題，學生可以用測量A4紙的經(jīng)驗，把橡皮泥變成規(guī)則形狀后進行測量，用長方體、正方體、圓柱或圓錐體積公式進行計算。在此基礎(chǔ)上，教師引導(dǎo)學生嘗試用其他方法求橡皮泥的體積。有的學生想到在量杯中倒入適量的水（保證橡皮泥放進杯中被水淹沒并且水不溢出），記下水面的刻度，把橡皮泥放進量杯后記下水面的刻度，兩次水面的刻度差就是橡皮泥的體積；有的學生進行了逆向思考——把橡皮泥放進量杯中倒入一些水，使水面超過橡皮泥而不溢出后停止倒水，記下水面的刻度，取出橡皮泥，記錄下水面下降后的刻度，算出兩次水面的刻度差就是橡皮泥的體積。教師講了阿基米德測皇冠中黃金的故事后，學生受到啟迪，想到在水槽中放一個玻璃杯并倒?jié)M水，把橡皮泥放入玻璃杯，水從杯中溢出，最后把溢出的水倒入量杯，溢出水的體積就是橡皮泥的體積。最后，學生通過實驗驗證了三種方法的正確性。

學生應(yīng)用所學長方體和正方體部分的開放題知識解決新開放題，需要根據(jù)問題情境，靈活應(yīng)用數(shù)學學科知識或其他學科知識。在問題解決過程中，學生不僅能鞏固所學的體積公式，而且能培養(yǎng)綜合應(yīng)用積累的知識經(jīng)驗、生活經(jīng)驗和數(shù)學活動經(jīng)驗解決問題的能力。

二、小學數(shù)學開放題學習評價

小學數(shù)學開放題評價的主要目的是全面了解學生學習開放題的過程和結(jié)果，以便激勵學生學習、改進教師教學。為了有效達成目標，教師要“恰當評價學生在解決問題過程中所表現(xiàn)出的不同水平”，對學生在開放題問題解決中的數(shù)學思維評價要“依據(jù)課程標準的總目標和學段目標要求”，靈活應(yīng)用各種形式和方法，“特別要重視在平時教學和具體的問題情境中進行評價”[4]。

1.“數(shù)與代數(shù)”領(lǐng)域的開放題學習評價

小學數(shù)學“數(shù)與代數(shù)”領(lǐng)域包括數(shù)的認識，數(shù)的表示，數(shù)的大小，數(shù)的運算，數(shù)量的估計，用字母表示數(shù)，代數(shù)式及其運算和方程等?！敖鉀Q問題的策略”是蘇教版小學數(shù)學教科書的特色內(nèi)容之一，當然少不了數(shù)學開放題。學生嘗試解決問題后，教師要結(jié)合“解決問題的策略”特點，有針對性地進行評價。

五年級上冊數(shù)學教科書“解決問題的策略（一一列舉）”中有這樣一道開放題（P98頁11題）：用48個邊長1厘米的正方形拼成長方形，有多少種不同的拼法？它們的周長各是多少？拼一拼，算一算。這道題共有5種不同拼法，它們的周長如表1。

學生解答后，教師評價他們的數(shù)學思維水平要結(jié)合“解決問題的策略”特點，從數(shù)學準確性和方法角度對學生進行評價。

一級水平：理解題意，能嘗試畫圖解決問題；

二級水平：能發(fā)現(xiàn)一些符合題意的長方形，并列表進行有序排列；

三級水平：列表有序排列，在觀察和比較中發(fā)現(xiàn)長、寬變化時周長的變化規(guī)律；

四級水平：列表有序排列，在觀察和比較中發(fā)現(xiàn)長、寬變化時周長的變化規(guī)律并驗證。

一名學生的答案（參見表2），被評為水平二，因為他能一一列舉出所有可能的拼法，雖然答案全、周長計算正確，但無序，沒法發(fā)現(xiàn)規(guī)律，更不要說驗證規(guī)律了。這樣評價學生的數(shù)學思維層次，主要關(guān)注學生解決問題的策略意識和思維水平。的一種或幾種；

三級水平：除了能做出二級水平中的正方體和長方體中的一種或幾種外，還能做出一組對面是正方形的長方體的一種或幾種（共12種），例如長10厘米、寬和高都是8厘米，或長8厘米、寬和高都是5厘米，等等。

四級水平：除了能做出水平三的不同情況外，還能想到特殊情況，如棱長是20厘米、18厘米、16厘米、14厘米、13厘米、12厘米或11厘米的正方體等需要24根或更多小棒做出的正方體、長方體。

下面是一名學生的答案（參見圖1），被評為水平二，因為他能做出符合要求的正方體和部分長方體，并用畫圖的方法表示出來，雖然不全，但排列有序。

表1

表2

2.“圖形與幾何”領(lǐng)域的開放題學習評價

小學數(shù)學的“圖形與幾何”領(lǐng)域包括空間和平面基本圖形的認識，圖形的性質(zhì)、分類和度量，圖形的平移、旋轉(zhuǎn)和軸對稱以及圖形的位置等。這些內(nèi)容中都有開放式問題。評價時，教師要根據(jù)課程標準的要求，結(jié)合“圖形與幾何”領(lǐng)域的知識特點，在具體的問題情境中靈活評價學生的思維。

六年級上冊數(shù)學教科書有這樣一道數(shù)學開放題（25頁第11題）：用小棒和橡皮泥團，可以做出不同的長方體和正方體框架。小組合作，先填寫選料單，再做一做。

用8團橡皮泥，根據(jù)小棒的種類進行分類，只用1種小棒做出的正方體有4種，用2種小棒做出的長方體（一組對面是正方形）的有12種，用3種小棒做出的長方體有4種，共20種；如果用12團橡皮泥、16團橡皮泥、20團橡皮泥甚至更多橡皮泥，做出的長方體或正方體框架會更多……

“長方體和正方體”是小學階段真正開始學習的立體圖形，學生的思維開始從二維空間走向三維空間，空間觀念能得到進一步培養(yǎng)。學生嘗試解答后，教師評價他們的數(shù)學思維能力，要結(jié)合“長方體和正方體”的特征，從數(shù)學準確性和方法角度對學生的數(shù)學思考進行評價。

一級水平：能理解題意，想到用8團橡皮泥，只用1種小棒做出正方體，即棱長分別是10厘米、8厘米、6厘米和5厘米的正方體4種中的一種或幾種；

二級水平：能做出一級水平中的4種正方體和一種滿足條件的長方體，如長、寬、高分別是10厘米、8厘米、6厘米，或10厘米、8厘米、5厘米,或10厘米、6厘米、5厘米，或8厘米、6厘米、5厘米8種中

圖1

這道開放題的主要意圖是要求學生根據(jù)長方體和正方體的特征，合理選擇材料，完成搭建框架的實踐操作。這樣畫圖，既關(guān)注了“實踐”，又關(guān)注了“探索”，并且探索意味濃厚，反映了學生具有一定水平的空間觀念。

3.“統(tǒng)計與概率”領(lǐng)域的開放題學習評價

小學數(shù)學“統(tǒng)計與概率”領(lǐng)域包括收集、整理和描述數(shù)據(jù)（如整理調(diào)查數(shù)據(jù)、繪制統(tǒng)計圖表等），處理數(shù)據(jù)（如計算平均數(shù)等），從數(shù)據(jù)中提取信息并進行簡單推斷和簡單隨機事件等。學生解決相關(guān)開放題時要靈活應(yīng)用統(tǒng)計知識。教師評價時要根據(jù)課程標準的要求，結(jié)合統(tǒng)計和可能性的特點，靈活評價學生的思維。

四年級上冊數(shù)學教科書“統(tǒng)計表和條形統(tǒng)計圖（一）”有這樣一道數(shù)學開放題（53頁第10題）：你每天做家庭作業(yè)的時間大約是多少？和其他同學相比，你用的時間比較長還是比較短？記錄你本周做家庭作業(yè)的時間并算出平均數(shù)。

學生把一周內(nèi)每天做作業(yè)的時間都記下來，進行匯總，從中發(fā)現(xiàn)信息，如時間最長、最短、相差多少、平均數(shù)是多少、最接近哪一天的作業(yè)時間等，并體會這些數(shù)據(jù)所表示的意義。學生嘗試靈活整理，如尋找時間最長的那一天，可以直接比較尋找。當統(tǒng)計的天數(shù)比較多（如統(tǒng)計全班人數(shù)的作業(yè)時間）時，學生也可以分組尋找，然后全班比較；比較可以從小到大排列，也可以從大到小排列，還可以用一個時間做標準，把其他時間與它進行比較。整理的目的在于分析，學生可以獨立分析后交流，也可以先與同學交流統(tǒng)計結(jié)果，再討論用什么數(shù)據(jù)表示自己的作業(yè)時間比較合適，說說合理安排時間的體會，甚至可以用條形統(tǒng)計圖直觀分析每天的作業(yè)時間及差異。學生嘗試解答后，教師要結(jié)合統(tǒng)計特點對學生的數(shù)學思維水平進行評價。

一級水平：能理解題意，每天及時在表格中做好記錄，算出一周內(nèi)每天做作業(yè)的時間平均數(shù)，知道平均數(shù)最接近哪天的作業(yè)時間，知道自己做作業(yè)時間最長、最短的分別是哪一天，相差多長時間；

二級水平：能完成一級水平的各項任務(wù)，明白這些數(shù)據(jù)所表示的意義，并在和同學交流中，比較自己和同學用的時間是長還是短；

三級水平：統(tǒng)計匯總小組內(nèi)每個同學每天的作業(yè)時間，算出平均數(shù)，靈活、迅速地發(fā)現(xiàn)誰做作業(yè)用的時間最長、最短、相差多少、最接近哪一天的作業(yè)時間等，明白這些數(shù)據(jù)所表示的意義。

四級水平：能完成三級水平的各項任務(wù)，能用條形統(tǒng)計圖、折線統(tǒng)計圖或扇形統(tǒng)計圖表示各小組所用時間的平均數(shù)。

下面是一名學生的答案，被評為水平三，因為他不但及時記錄了每天的作業(yè)時間，算出了平均數(shù)（如表3），而且知道了自己和其他同學相比，作業(yè)時間適中，還知道自己星期一做作業(yè)的時間最短，星期三做作業(yè)的時間最長，兩次時間相差15分鐘。比較時，他先用自己的平均時間做代表，把自己的作業(yè)時間與平均時間進行比較。他能收集、記錄數(shù)據(jù)，知道如何求平均數(shù)，但沒有制作統(tǒng)計圖，因此被評為三級。這樣評價學生的數(shù)學思維水平，主要關(guān)注學生的統(tǒng)計意識和數(shù)據(jù)分析觀念。

表3

4.“綜合與實踐”領(lǐng)域的開放題學習評價

小學數(shù)學“綜合與實踐”是以問題為載體，以學生自主、積極參與為主的學習活動。學生在解決開放題的過程中要綜合運用所學數(shù)學知識和方法，從而培養(yǎng)他們綜合運用知識和方法的能力，培養(yǎng)他們的問題意識、應(yīng)用意識和創(chuàng)新意識，使他們積累活動經(jīng)驗，發(fā)展數(shù)學綜合素養(yǎng)。蘇教版教科書中每學期都有一兩次數(shù)學綜合實踐活動，每節(jié)課都有數(shù)學開放題。

四年級下冊數(shù)學教科書“數(shù)字的編碼”中有這樣一道開放題（105頁）：如果要為全校同學編號，你想表達哪些方面的信息？準備怎樣設(shè)計？

學生嘗試編碼后，教師要結(jié)合綜合實踐活動的特點有針對性地進行評價。

一級水平：理解題意，能用自然數(shù)1、2、3、4……或用四位數(shù)字（估計全校有1000多人）0001、0002、0003……編碼，從一年級開始依次表示全校同學總?cè)藬?shù)。

二級水平：用6位數(shù)編碼，分別表示全校同學的年級、班級、學號和性別等信息。如一年級二班第37號是男生，編碼為123701（從左往右，1表示一年級，2表示2班，37表示班級的座位號，01表示男生）。

三級水平：用8位數(shù)的編碼分別表示全校同學的入學年份、班級和學號等信息。如2017年小學入學的6班第45號學生，可以用20170645表示。

四級水平：用12位數(shù)的編碼表示全校同學的出生時間、年級、班級、學號和性別等信息。如101231203261（表示出生時間是2010年12月31日，二年級三班第26號，是男生）。

一名學生用8位數(shù)字編碼表示學生的入學年份、班級和學號等信息。他設(shè)置的編碼是13053201，表示2013年入學，（五年級）5班，學號是32的男生(01表示男生)。他能獨立設(shè)計方案，用8位數(shù)字編碼，并且清晰準確地表示編碼的含義，甚至比三級水平多了性別，因此被評為水平三。這樣評價學生編碼的數(shù)學思維水平，主要關(guān)注的是他們思維的復(fù)雜程度以及靈活應(yīng)用所學知識的思維水平。

總之，開放題教學應(yīng)充分考慮學生的年齡特點和知識經(jīng)驗，引導(dǎo)學生經(jīng)歷問題解決的過程，發(fā)展學生的數(shù)學思維；開放題學習評價堅持低起點，寬入口，循序漸進，以定性為主，盡量使學生獲得成功體驗，以便幫助學生樹立學好數(shù)學的自信心?！?/p>