耦合調和振子網(wǎng)絡系統(tǒng)的聯(lián)合連通同步*

張華 萬明非 顏青 楊偉

(1.重慶理工大學 理學院, 重慶 400054) (2.銅仁學院 大數(shù)據(jù)學院, 銅仁 554300)

引言

網(wǎng)絡型調和振子系統(tǒng)來源于由阻尼、 彈簧和質量構成的一種耦合力學模型.二階網(wǎng)絡型調和振子模型如下所示[1]:

(1)

(2)

其中ui(t)=-aij(vi(t)-vj(t)),i=1,2,…,N,表示對對第i個振子的控制輸入.Ballard等對模型(2)進行了離散?；幚?并提出了一個離散時間下的控制輸入?yún)f(xié)議[2].Su等利用振子間感應距離的概念,通過建立適當?shù)目刂戚斎胧沟妹總€振子在沒有任何連通假設下仍能達到同步[3].Zhang等利用平均速度的概念在無法測量速度的情況下用位移耦合代替速度耦合分析了調和振子系統(tǒng)的同步[4].

在現(xiàn)實世界復雜的網(wǎng)絡環(huán)境中,系統(tǒng)的網(wǎng)絡結構不可能一直都保持不變,并且不是所有的系統(tǒng)都是同構系統(tǒng).此外,外界各種因素對系統(tǒng)的干擾可能造成諸如通信阻隔、通信延遲、控制輸入缺失、參數(shù)擾動以及傳輸誤差等多方面的問題.為此,孫一杰等分析了異構多智能體在有向圖下的廣義平均一致性,利用非負矩陣理論和特征值擾動等方法,提出了一種基于輔助變量的線性一致性協(xié)議使得系統(tǒng)能在任意強連通有向結構下達到一致[5].Zhang等利用采樣控制技術研究了耦合調和振子系統(tǒng)具有控制輸入缺失的情況,通過建立誤差系統(tǒng)求出系統(tǒng)的迭代解,然后通過分析迭代矩陣的范數(shù)得到了系統(tǒng)一致的充分條件[6].Zhou等利用脈沖控制技術分析了二階調和振子系統(tǒng)的脈沖一致性,通過建立相應的誤差系統(tǒng),利用矩陣譜分析的方法得到了系統(tǒng)的穩(wěn)定所需要滿足的充分條件[7].Zhou在文獻[6]的基礎上分析了具有輸入時滯的網(wǎng)絡型調和振子系統(tǒng)的采樣同步問題[8].Sun等在不考慮控制輸入缺失的情況下將文獻[6]中的無向圖推廣到有向圖情形,并分析了時滯對系統(tǒng)同步性能的影響[9].此外,Sun等還分析了具有隨機擾動的阻尼器的調和振子系統(tǒng)[10],通過建立隨機李雅普諾夫方程來得到系統(tǒng)穩(wěn)定的充分條件.Wang基于脈沖控制技術,在振子耦合瞬間加入了測量誤差,利用均方收斂的概念得到了系統(tǒng)同步的充分條件,并給出了系統(tǒng)的收斂域[11].

值得注意的是以上研究都是基于系統(tǒng)拓撲結構圖是連通的(拓撲結構為無向圖)或是有一棵有向生成樹(拓撲結構為有向圖)的假設條件下討論的.然而,在實際應用中由于各種外界因素的影響,系統(tǒng)的拓撲結構無法固定不變,并且每一時刻都能保持網(wǎng)絡連通的條件也十分苛刻.所以在網(wǎng)絡結構為切換拓撲或聯(lián)合連通的情況下分析系統(tǒng)的同步性是有科學意義的.例如,唐朝君分析了切換拓撲下離散時間多智能體系統(tǒng)的包含控制[12].Hong等分析了二階多智能體系統(tǒng)在聯(lián)合連通下的引導跟隨同步問題[13].Lin等在沒有引導者的情況下分析了二階多智能體的同步問題,并考慮了時間延遲對系統(tǒng)的影響[14].Mo等分析了異構的多智能體系統(tǒng)在聯(lián)合連通下的引導跟隨同步[15].Yu和Mu在自適應控制的情況下考慮了多智能體系統(tǒng)在聯(lián)合連通下的引導跟隨同步[16,17]. Wang在具有層次結構的系統(tǒng)中分析了聯(lián)合連通下的引導跟隨同步[18].然而,迄今就作者所知鮮有關于網(wǎng)絡型調和振子系統(tǒng)在聯(lián)合連通下的同步問題的研究報道.為此,我們在本文中分析了網(wǎng)絡型調和振子在聯(lián)合連通下的引導跟隨同步動力學.

1 預備知識

1.1 符號說明

1.2 代數(shù)圖論

令G=(ν,ε,A)表示一個圖,ν={1,2,…,N} 代表圖的頂點集,ε?ν×ν是圖的邊集.如果對i≠j,(i,j)∈ε都有(j,i)∈ε,則圖G稱為無向圖,反之為有向圖.矩陣A=[aij]N×N表示圖的鄰接矩陣,其中aij>0當且僅當(i,j)∈ε.稱一個由圖中邊構成的序列(i,i1),(i1,i2),…,(il,j) 為點i到j的一條路徑.如果圖中任意兩個不同的節(jié)點之間至少存在一條路徑則稱該圖為連通圖.

2聯(lián)合連通下耦合調和振子網(wǎng)絡系統(tǒng)的引導-跟隨同步

令r0(t),v0(t)分別表示引導者的位置和速度,其動力學方程如下:

(3)

下面對系統(tǒng)(2)考慮如下控制輸入?yún)f(xié)議:

(4)

則系統(tǒng)(2)可以寫成如下微分方程組形式:

(5)

假設1存在一個非空有界且有限的互不相交的連續(xù)時間序列[tk,tk+1),k=0,1,…,t0=0,對某一特定常數(shù)T>0,有tk+1-tk≤T.對每個區(qū)間[tk,tk+1),都存在一個互不相交的子區(qū)間列[tk0,tk1),[tk1,tk2),…,[tkj-1,tkj),tk0=tk,tkj=tk+1滿足tki-tki-1≥τ,i=1,2,…,j,在每個[tki-1,tki)子區(qū)間上系統(tǒng)拓撲結構不變,只在在tki時刻改變.即切換信號σ滿足當t∈[tki-1,tki),存在p∈p,使得

σ(t)≡p且σ(tki)≠σ(tki-1).

假設2在每一個區(qū)間[tk,tk+1)上系統(tǒng)所有可能的拓撲結構是聯(lián)合連通的.

定理1帶有引導者的調和振子系統(tǒng)在控制輸入(4)下能夠達到同步,如果假設1和假設2成立.

證明令誤差函數(shù)e(t)=r(t)-r0(t)1N,s(t)=v(t)-v0(t)1N,x(t)=[eT(t),sT(t)]T,則:

(6)

記:

(7)

根據(jù)同步的定義,系統(tǒng)(5)同步等價于系統(tǒng)(6)的零解是漸近穩(wěn)定的.

構造如下Lyapunov函數(shù):

V(x(t))=xT(t)Qx(t)

(8)

Hσ(tk1)+Hσ(tk2)+…+Hσ(tkj)>0

如果:

則有:

sT(Hσ(tk1)+Hσ(tk2)+…+Hσ(tkj))s=0,

即:

Hσ(t)s(t)=0,t∈[tk,tk+1).

下面證明M中只有(6)的零解. 由于M為系統(tǒng)(6)的不變集,即M中的元素為(6)的解,且M?S,則?x(t)∈M,有:

該系統(tǒng)通解為:

(9)

由Hσ(tk1)+Hσ(tk2)+…+Hσ(tkj)的正定性,要使sT(Hσ(tk1)+Hσ(tk2)+…+Hσ(tkj))s=0恒成立,需s(t)≡0.所以要使x(t)∈M,需有s(0)=0.

不妨設e(0)≠0,那么存在一個1≤q≤N使得eq(0)=c≠0,那么方程(7)的第q個系統(tǒng)有如下解:

(10)

3 數(shù)值模擬

引導者初值r0(0)=1,v0(0)=1.系統(tǒng)在這3種切換方式下隨機切換情況下,系統(tǒng)的位移和速度狀態(tài)的時間歷程仿真結果如圖2、圖3所示.

圖1 三個聯(lián)合連通網(wǎng)絡拓撲結構Fig.1 Three jointly-connected network topologies

圖2 引導者-跟隨者的位移狀態(tài)時間歷程曲線圖,*表示切換時刻引導者的位置Fig.2 Time response of the position states of the leader-follower system,where the asterisks * show the position states of the leader at the switching instants

圖3 引導者-跟隨者的速度狀態(tài)的時間歷程曲線,*表示切換時刻引導者的速度狀態(tài)Fig.3 Time response of the velocity states of the leader-follower system,where the asterisks * show the velocity states of the leader at the switching instants

4 結論

本文在系統(tǒng)通信拓撲結構具有聯(lián)合連通特性這一假設條件下,分析了網(wǎng)絡型調和振子系統(tǒng)的引導-跟隨同步問題,在無向網(wǎng)絡拓撲結構下證明了所有的跟隨者狀態(tài)最終與引導者保持一致.數(shù)值模擬也進一步驗證了理論結果的正確性.對于沒有引導者的網(wǎng)絡系統(tǒng),其同步軌道與拓撲結構的切換方式有關系,其準確解析表達式目前我們還沒有一個確切的算法能夠算出,希望在后續(xù)研究中給出相關結果.