一類弦-梁耦合非線性振動系統(tǒng)的動力學(xué)數(shù)值模擬研究*

吳娟 錢有華

(浙江師范大學(xué) 數(shù)理與信息工程學(xué)院, 金華 321004)

引言

非線性系統(tǒng)自被提出以來一直都是非常具有吸引力和發(fā)展前景的研究領(lǐng)域.然而隨著深入的研究,人們發(fā)現(xiàn)許多實際系統(tǒng)中存在激勵振動而不能用傳統(tǒng)自由振動和受迫振動模型進(jìn)行模擬,為了解決這個問題在文獻(xiàn)[1-4]分別建立了激勵系統(tǒng)的非線性模型,并對模型進(jìn)行相關(guān)研究.另外越來越多的研究表明共振能夠反映系統(tǒng)線性模態(tài)之間的相互作用,有著非常重要的研究價值.文獻(xiàn)[5]通過研究彈性懸浮電纜模型的共振,構(gòu)建了該模型在1∶1主共振和1∶2亞諧共振情形下的非線性模態(tài).文獻(xiàn)[6]研究了一個極限環(huán)振子系統(tǒng)發(fā)生的1∶3共振的Hopf 分岔,并研究了非線性不同共振情形下對其動力學(xué)行為的影響.文獻(xiàn)[7]研究了一個弦-梁模型的弦和梁在2∶1內(nèi)共振且梁在主參數(shù)共振-1/2亞諧共振和弦在1∶1主共振情形下的非線性模態(tài),并研究了外激勵對共振附近動力學(xué)行為的影響.文獻(xiàn)[8]研究了微諧振器模型在不同參數(shù)響應(yīng)下的非線性模態(tài).同時,研究者們已應(yīng)用多種方法研究系統(tǒng)在共振點處的動力學(xué)行為,并取得了豐碩的成果：文獻(xiàn)[9]應(yīng)用多尺度方法研究了磁場力作用下的雙穩(wěn)態(tài)曲梁壓電發(fā)電離散系統(tǒng)的動力學(xué)行為.文獻(xiàn)[10]運用多尺度法研究了兩自由度和三自由度下系統(tǒng)的高階近似.文獻(xiàn)[11]討論了軸向加速運動粘彈性梁問題的穩(wěn)定性,該文獻(xiàn)主要運用多尺度法和數(shù)值方法.文獻(xiàn)[12]利用多尺度法研究了高階多參數(shù)模型的響應(yīng)和穩(wěn)態(tài).上述研究基本上是運用多尺度方法.可以看到多尺度方法不僅能計算穩(wěn)態(tài)響應(yīng)和計算非穩(wěn)態(tài)響應(yīng),還能分析穩(wěn)態(tài)響應(yīng)的穩(wěn)定性.因此經(jīng)常被用來求解非線性系統(tǒng)的近似理論解.除了多尺度法還有許多其它有效的方法來求解非線性系統(tǒng)的理論解.比如文獻(xiàn)[13]應(yīng)用平均法研究 Duffing-van der Pol系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)響應(yīng),文獻(xiàn)[14]應(yīng)用攝動法分析了含有阻尼項的擬線性系統(tǒng)在噪聲激勵下的響應(yīng),文獻(xiàn)[15]對單邊碰撞懸臂梁系統(tǒng),在基礎(chǔ)激勵實驗中,變換多次激勵頻率運用實驗法的定性研究.數(shù)值方法通過數(shù)值求解非線性微分方程得到非線性系統(tǒng)在特定的參數(shù)條件和初始條件下的運動規(guī)律.不僅具有檢驗理論結(jié)果的作用,還能得到直觀的結(jié)果為理論研究提供啟示.本篇文章繼承了文獻(xiàn)[7]的工作,但改變了系統(tǒng)的共振情況,增加應(yīng)用多尺度方法微分方程定性理論研究了弦-梁耦合非線性振動系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)與分叉,并進(jìn)一步運用數(shù)值模擬分析了系統(tǒng)的運動情形.

文章結(jié)構(gòu)如下：第一部分,介紹弦-梁耦合非線性振動系統(tǒng)模型.第二部分,對本文所研究梁和弦之間產(chǎn)生1∶1主共振,梁在主參數(shù)主共振下原系統(tǒng)的平均方程.第三部分,通過阻尼系數(shù)分析參數(shù)變化對系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)響應(yīng)的影響.第四部分,用數(shù)值模擬探討外激勵下系統(tǒng)運動形式.第五部分,對全文研究內(nèi)容進(jìn)行總結(jié)概括.

1 模型介紹

圖1 模型圖Fig.1 Model of a string-beam coupled system

由以上假設(shè),運用彈性力學(xué)方法建立弦-梁耦合系統(tǒng)的非線性動力學(xué)方程為:

(1a)

(1b)

其中m1和m2分別為梁和弦單位長度質(zhì)量,w1和w2分別是梁和弦的橫向位移,l是梁和弦的長度,P0是梁兩端所受的軸向壓力,T0是弦的初始張力,A是梁變形前的橫截面積,c1和c2分別是梁和弦的線性外阻尼系數(shù),Ks是弦的彈性系數(shù),E和I分別是梁的楊氏模量和轉(zhuǎn)動慣量.

梁的邊界條件:

弦的邊界條件:

x=0,w2(0,t)=w1(0,t)

x=l,w2(l,t)=w1(l,t)

引入如下無量綱變量:

(2)

將上述變換代入方程(1),化簡去掉(*),可以得到弦-梁耦合系統(tǒng)無量綱形式運動方程:

(3a)

α2l12y1-α2(g22l12+2g21l22)y22y1-α2g11l12y13-

(3b)

其中:

由于弦和梁的方程是耦合的,假設(shè)弦的模態(tài)函數(shù)包含有梁的相對位移,對梁和弦各取一階模態(tài)進(jìn)行Galerkin方法截斷,梁和弦的位移w1和w2有如下形式

w1(x,t)=Y1(x)y1(t)

w2(x,t)=Y2(x)y2(t)+Y1(x)y1(t)

(4)

把式(4)代入無量綱形式弦-梁耦合系統(tǒng)運動方程,并且利用Galerkin方法進(jìn)行截斷,得到在參數(shù)激勵和外激勵聯(lián)合作用下弦-梁耦合系統(tǒng)二自由度非線性常微分方程:

2β4g12l11y2y12=f11cosΩ1t

(5a)

(5b)

其中:

2 攝動分析

在本節(jié)中將運用多尺度方法分析方程(5).為了便于利用多尺度法對弦-梁耦合系統(tǒng)進(jìn)行攝動分析,引入如下的尺度變換:

μ1→εμ1,a11→εa11,a13→εa13,a14→εa14

b21→εb21,b22→εb22,b23→εb23,a21→εa21

脈壓雷達(dá)所采用的寬脈沖不僅可以提高雷達(dá)的平均發(fā)射功率，還能夠確保足夠大的作用距離。在接收端通過脈沖壓縮處理將寬脈沖轉(zhuǎn)化為窄脈沖，則可實現(xiàn)較好的距離分辨率，因此較好地解決了雷達(dá)大作用距離和高距離分辨率之間的矛盾。此外，脈沖壓縮處理大大提高了雷達(dá)對非相干干擾的抑制能力[1]。如何對脈壓雷達(dá)進(jìn)行有效干擾已成為電子戰(zhàn)領(lǐng)域的研究熱點。

a24→εa24,f2→εf2,a22→εa22,a23→εa23

f11→εf11,f12→εf12

(6)

把變換代入上述得到含有小參數(shù)ε的運動方程:

εa13y12y2-εa14y13=εf11cosΩ1t

(7a)

εa21y23-εa22y1y22-εa23y12y2-

εa24y13=εf12cosΩ1t

(7b)

首先,令y1=y10+εy11,y2=y20+εy21并且引入導(dǎo)算子得:

(y10+εy11)+(Ω12+εσ1+εf2cos2Ω1t)-

εa13(y10+εy11)2(y20+εy21)-

εa14(y10+εy11)3=εf11cosΩ1t

(8a)

(y10+εy11)+εμ2(D0+εD1)(y20+εy21)+

εa22(1/9Ω12+εσ2)(y10+εy11)(y20+εy21)2-

εb22(D0+εD1)(y10+ey11)-εa24(y10+εy11)3+

εa23(y10+εy11)2(y20+εy21)=εf12cosΩ1t

(8b)

比較ε同次冪有:

ε0階:

D02y10+ω12y10=0

(9a)

D02y20+ω22y20=0

(9b)

ε1階:

D02y11+ω12y11=-2D0D1y10-f2y10cosΩ2t+

a11y10y202-μ1D0y10+a13y102y20+

a14y103+f11cosΩ1t

(10a)

D02y21+ω22y21=-2D0D1y20-b21D02y10-

μ2D0y20-b22D0y10+a23y102y20+a22y10y202+

b23y10+a21y203+a24y103+f12cosΩ1t

(10b)

由(9a),(9b)得:

(11a)

(11b)

代入(10a),(10b)整理得:

2iω1A1′)×eiT0ω1+a13A12A2eiT0(ω2+2ω1)+

cc+NST

(12a)

b23A1eiω1T0+b21ω12A1eiω1T0+a24A13e3iω1T0+

(12b)

由于系統(tǒng)的非線性運動控制方程中即含有平方非線性項也有立方非線性項,引入小參數(shù)ε,考慮梁和弦之間產(chǎn)生1∶1主共振,梁在主參數(shù)1∶1主共振情況.

(13)

這里的ω1和ω2是相應(yīng)線性系統(tǒng)的第一階和第二階的固有頻率,這里的σ1和σ2是調(diào)諧參數(shù),為了簡化分析,設(shè)Ω1=Ω2=1.

由多尺方法的應(yīng)用[16]經(jīng)過計算得到梁和弦耦合非線性系統(tǒng)直角坐標(biāo)形式下的平均方程:

(14a)

(14b)

(14c)

(14d)

3 穩(wěn)定性和分叉分析

根據(jù)運動穩(wěn)定性理論,一個非線性系統(tǒng)穩(wěn)定性取決于它的線性化系統(tǒng),如果要分析非線性運動方程的穩(wěn)定性,首先需要求出方程的平衡點.由方程(14)可知(x1,x2,x3,x4)=(0,0,0,0)為方程的平凡解, 對應(yīng)的Jacobian矩陣為:

(15)

Jacobian矩陣(15)對應(yīng)的特征多項式為:

f(λ)=a0λ4+a1λ3+a2λ2+a3λ+a4

(16)

其中:

a0=1

(17a)

a1=μ1+μ2

(17b)

(17c)

(17d)

(17e)

應(yīng)用勞斯-霍爾維茨判據(jù)可知,如下條件均滿足時:

a1>0,a1a2-a3>0

a1a2a3-a32-a12a4>0,a4>0

(18)

系統(tǒng)的所有特征值的實部均為負(fù)數(shù),平衡點(x1,x2,x3,x4)=(0,0,0,0)是穩(wěn)定的.如果(17)中有一個系數(shù)出現(xiàn)負(fù)值,那么系統(tǒng)有特征值實部出現(xiàn)正值,此時系統(tǒng)處在不穩(wěn)定狀態(tài),將會導(dǎo)致分叉現(xiàn)象.因此,接下來我們會討論系統(tǒng)的穩(wěn)定性和分叉行為.

為分析阻尼參數(shù)對系統(tǒng)的穩(wěn)定性的影響,取阻尼參數(shù)為分叉參數(shù),通過計算假設(shè)參數(shù)值μ1=μ2=0,σ1=1.此時系統(tǒng)方程有雙零和一對純虛的特征值,則方程(15)的特征多項式和特征值為:

f(λ)=λ4+λ2,λ1,2=0,λ3,4=±i

(19)

選取μ1和μ2作為攝動參數(shù),引入攝動變換μ1=ε1和μ2=ε2.則Jacobian矩陣(15)的特征多項式可以寫成如下形式:

f(λ)=c0λ4+c1λ3+c2λ2+c3λ+c4

(20)

其中:

c1=ε1+ε2

(21a)

(21b)

(21c)

(21d)

由勞斯-霍爾維茨判據(jù)中平衡點是穩(wěn)定條件可以將臨界曲線定義為如下:

L1:ε1+ε2=0

(22a)

(22b)

20ε22-3ε12ε22-14ε1ε23-2ε24)=0

(22c)

通過上式可以畫平衡點的分叉曲線,如圖2.臨界曲線L1、L2、L3將平面(ε1,ε2) 分成穩(wěn)定區(qū)域和不穩(wěn)定區(qū)域,其中Ⅰ為穩(wěn)定區(qū)域,Ⅱ為不穩(wěn)定區(qū)域.

圖2 雙零和一對純虛特征值的穩(wěn)定以及不穩(wěn)定區(qū)域Fig.2 Stable region and unstable region for the case of a double zero and a pair of purely imaginary eigenvalues

為了驗證理論分析,在不同區(qū)域選取不同的參數(shù)值.首先,選取參數(shù)(ε1,ε2)=(0.5,0.1)在穩(wěn)定區(qū)域Ⅰ中(z1,z2,z3,z4)=(0.004,0.01,0.003,0.001),我們得到圖3. 在圖3中,相空間軌線從初始點逐漸盤旋趨于平衡點達(dá)到穩(wěn)定狀態(tài).選取(ε1,ε2)=(-0.5,0.2)在不穩(wěn)定區(qū)域II中和(z1,z2,z3,z4)=(0.0005,0.001,-0.01,0.001),得到圖4.相軌跡為不斷向外擴(kuò)展的螺線.

圖3 穩(wěn)定區(qū)域內(nèi)的軌跡Fig.3 Trajectory of the stable region

圖4 不穩(wěn)定區(qū)域內(nèi)的軌跡Fig.4 Trajectory of the unstable region

4 數(shù)值模擬

為了對平均方程進(jìn)一步研究利用四階龍格-庫塔算法[17]發(fā)現(xiàn)了弦-梁耦合系統(tǒng)混沌運動的存在.設(shè)方程(14)中的基本參數(shù)為a11=20.1,a13=40,a14=56.2,a21=101.425,a21=10,a23=-13.825,a24=-3.8,b21=15,b22=27,μ1=0.88,μ2=0.0016,f12=42 對外激勵f11賦予不同的數(shù)值,由matlab作圖得到圖5～8的不同的運動情形.其中,(a),(b)分別為x1,x2和x3,x4相圖,(c),(d)分別為x1和x3的時間歷程圖,(e)為x1,x2,x3的三維相圖,(f)為龐加萊截面圖.

圖5 單倍周期解(f11=50.8999)Fig.5 Period-1 solution when f11=50.8999

當(dāng)外激勵f11=50.8999時,如圖5(f)所示系統(tǒng)龐加萊截面只有一個孤立的點,可判斷此時弦-梁耦合系統(tǒng)產(chǎn)生單倍周期運動. 當(dāng)外激勵改變?yōu)閒11=180時,如圖6此時弦-梁耦合系統(tǒng)產(chǎn)生兩倍周期運動. 當(dāng)外激勵f11=58.0582時,如圖7系統(tǒng)產(chǎn)生四倍周期運動. 當(dāng)改變外激勵為f11=5.44時,圖8(f)給出的龐加萊截面表明弦-梁耦合系統(tǒng)產(chǎn)生混沌運動.同樣的,從 5(e)、6(e)、7(e)和8(e)可看出系統(tǒng)的運動情形,因為軌道的跳躍發(fā)生在三維相圖中.

圖6 二倍周期解(f11=180)Fig.6 Period-2 solution when f11=180

圖7 四倍周期解(f11=58.0582)Fig.7 Period-4 solution when f11=58.0582

圖8 混沌運動(f11=5.44)Fig.8 Chaotic motion when f11=5.44

5 結(jié)論

文獻(xiàn)[7]中用Galerkin方法,得到了弦-梁耦合系統(tǒng)的運動控制方程,進(jìn)而簡化為具有兩自由度的常微分方程.本文運用解析和數(shù)值方法研究了一種基于參數(shù)和外部激勵的弦-梁耦合系統(tǒng)的穩(wěn)定性與分叉和混沌動力學(xué).利用多尺度法,求得具有參數(shù)和外部激勵系統(tǒng)的平均方程.本研究的重點是在梁和弦的模式之間存在1∶1內(nèi)部共振的情況,這是弦的主參數(shù)共振和梁的主共振.在平均方程的基礎(chǔ)上,對系統(tǒng)的穩(wěn)定性進(jìn)行分析,發(fā)現(xiàn)參數(shù)取某些值時有系統(tǒng)一個雙零和一對純虛特征值.分叉分析結(jié)果表明,該弦-梁耦合系統(tǒng)具有穩(wěn)定的平衡點.為了進(jìn)一步說明理論預(yù)測,利用四階龍格-庫塔算法進(jìn)行數(shù)值模擬.繪制平面相圖時間歷程圖、三維相圖和龐加萊圖.數(shù)值結(jié)果表明,該系統(tǒng)的混沌響應(yīng)有不同的形狀.研究還發(fā)現(xiàn)：外激勵參數(shù)f11對弦-梁耦合系統(tǒng)的混沌運動有重要影響.