找尋“巧合”中的規(guī)律
——2018年南京市中考第27題感悟

☉江蘇省南京市致遠(yuǎn)初級(jí)中學(xué) 何君青

☉江蘇省南京市致遠(yuǎn)初級(jí)中學(xué) 張?zhí)锾?/p>

2018年中考?jí)m埃落定，各地中考試卷相繼出爐，南京市中考試卷新穎、獨(dú)特，歷來(lái)受到全國(guó)各地教育同行的關(guān)注.今年南京市中考試卷依然保持一貫的作風(fēng)，知識(shí)覆蓋廣，區(qū)分度適宜.試卷第27題看似簡(jiǎn)單，卻內(nèi)涵豐富，從求直角三角形的面積入手，繼而推廣到一般三角形的面積求法，考查可謂獨(dú)具匠心，看似“巧合”，實(shí)則蘊(yùn)含著規(guī)律.筆者對(duì)此題進(jìn)行了深入研究，感悟頗深，故撰文與同行交流.

一、原題呈現(xiàn)

下框中是小穎對(duì)一道題目的解答.

題目：如圖1，Rt△ABC的內(nèi)切圓與斜邊AB相切于點(diǎn)D，AD=3，BD=4，求△ABC的面積.解：設(shè)△ABC的內(nèi)切圓分別與AC、BC相切于點(diǎn)E、F.CE的長(zhǎng)為x.根據(jù)切線長(zhǎng)定理，得AE=AD=3，BF=BD=4，CF=CE=x.根據(jù)勾股定理，得（x＋3）2＋（x＋4）2=（3＋4）2.整理，得x2＋7x=12.所以S△ABC=1 2AC·BC=1 A D 2（x＋3）（x＋4）=1 E O 2（x2＋7x＋12）=1 C F B圖1 2 ×（12＋12）=12.

小穎發(fā)現(xiàn)12恰好就是3×4，即△ABC的面積等于AD與BD的積.這僅僅是巧合嗎？

請(qǐng)你幫她完成下面的探索.

已知：△ABC的內(nèi)切圓與AB相切于點(diǎn)D，AD=m，BD=n.

可以一般化嗎？

（1）若∠C=90°，求證：△ABC的面積等于mn.

倒過(guò)來(lái)思考呢？

（2）若AC·BC=2mn，求證∠C=90°.

改變一下條件：

（3）若∠C=60°，用m、n表示△ABC的面積.

分析：本題是三角形、圓的相關(guān)知識(shí)與思想方法的綜合運(yùn)用，是蘇科版教材九年級(jí)（上）“切線長(zhǎng)定理”的延伸，在教學(xué)時(shí)，教師會(huì)利用此圖研究直角三角形的內(nèi)切圓的相關(guān)結(jié)論并探索勾股定理.本題有3小問(wèn)，第（1）問(wèn)“正著做”，第（2）問(wèn)“反過(guò)來(lái)做”，第（3）問(wèn)“一般化做”，環(huán)環(huán)相扣，難度逐步上升，題目不僅注重知識(shí)之間的連貫性、幾何語(yǔ)言的規(guī)范性，更注重對(duì)學(xué)生發(fā)散性思維的培養(yǎng).本題源于教材、高于教材，以文字、表格、圖形等方式多樣化呈現(xiàn)，有利于學(xué)生讀懂題、理解題意.從考查內(nèi)容上看，本題從求直角三角形的面積入手，運(yùn)用切線長(zhǎng)定理、勾股定理解決問(wèn)題，這些都是中考中的核心考點(diǎn)，注重對(duì)基礎(chǔ)知識(shí)、基本技能的考查，同時(shí)注重對(duì)基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)、類比思想、逆向思維的考查；從考查方式上看，本題打破以往的考查方式，給予學(xué)生適當(dāng)?shù)慕忸}方法指導(dǎo)，降低了難度，讓學(xué)生對(duì)壓軸題的恐懼感大大降低；從考查意義上看，本題的考查注重知識(shí)間的連貫性，一正一反地解決問(wèn)題，讓學(xué)生對(duì)知識(shí)的理解更加深刻，也提醒教師在后續(xù)授課時(shí)需注重知識(shí)發(fā)生、發(fā)展、探究的過(guò)程，讓學(xué)生學(xué)到知識(shí)，理解知識(shí)，會(huì)運(yùn)用知識(shí)解決問(wèn)題.所以，無(wú)論從試題基礎(chǔ)性、新穎性、公平性、自洽性看，還是從試題的信度、效度、區(qū)分度、可推廣性看，本題都是一道不可多得的好題.

二、解法剖析

本題的第（1）問(wèn)和第（2）問(wèn)做法比較常規(guī)，難度不大.第（3）問(wèn)要求學(xué)生要有轉(zhuǎn)化的思想，化斜為直，從而解決問(wèn)題.第（3）問(wèn)解法如下.

圖2

分析：此法先作出三角形的高，再利用三角函數(shù)和勾股定理，求出三角形的面積.從解題教學(xué)的角度看，此方法從已知到可知，從要知到需知，擬定可行的步驟成功地解決了問(wèn)題.此法“源”于學(xué)生對(duì)方框中方法指導(dǎo)的理解，體現(xiàn)了知識(shí)間的連續(xù)性.這種解題的步驟源于教師在日常教學(xué)中的點(diǎn)滴，要給予學(xué)生探索的時(shí)間和空間，使學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)概念的形成產(chǎn)生痕跡.在上課時(shí)，教師需要充分讓學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)結(jié)論發(fā)表自己的看法，給予足夠的探究時(shí)間，學(xué)生的數(shù)學(xué)能力必然會(huì)有大幅度的提升.

三、推廣研究

為了能將本題研究得更加透徹，從“巧合”中探索出規(guī)律，筆者又設(shè)計(jì)了如下幾個(gè)問(wèn)題.

拓展題1：若∠C=45°，用m、n表示△ABC的面積.

解：如圖3，過(guò)點(diǎn)A作AG⊥BC，垂足為G.

圖3

拓展題2：若∠C=α（0°＜α＜90°），用α、m、n表示△ABC的面積.

解：如圖4，過(guò)點(diǎn)A作AG⊥BC，垂足為G.

在Rt△ACG中，設(shè)CE=CF=x，則AG=AC·sinα=（x+m）·sinα，CG=AC·cosα=（x+m）cosα.

所以BG=BC-CG=（x+n）-（x+m）cosα.

在Rt△ABG中，根據(jù)勾股定理，得：

圖4

分析：拓展題1將考題中∠C的度數(shù)從60°變成45°，方法一致，難度基本相當(dāng)，區(qū)別在于答案中含有根號(hào)，計(jì)算量比考題有所增加.拓展題2將考題中∠C的度數(shù)變得更為一般，用α（0°＜α＜90°）進(jìn)行了表示，在表達(dá)各邊時(shí)需要用三角函數(shù)表達(dá)，雖然方法一致，但難度大大增加了.

荷蘭數(shù)學(xué)家弗萊登塔爾提出：學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)唯一正確的方法是實(shí)行“再創(chuàng)造”，也就是由學(xué)生本人把要學(xué)的東西自己發(fā)現(xiàn)或創(chuàng)造出來(lái).故此題在平時(shí)教學(xué)時(shí)需進(jìn)一步拓展，找尋規(guī)律，這樣才能讓學(xué)生真正“會(huì)學(xué)”，在課堂上實(shí)現(xiàn)知識(shí)的創(chuàng)新、整合，自主探索、合作交流，根據(jù)已有的體驗(yàn)，用自己的思維方式重新創(chuàng)造，得到更多的收獲.

四、感悟思考

考試，無(wú)論是期中、期末還是中考，都十分注重對(duì)基礎(chǔ)知識(shí)、基本技能、基本思想方法和基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)的考查.對(duì)于學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)，基礎(chǔ)是根本的前提，若沒(méi)有基礎(chǔ)，能力的培養(yǎng)和提高則無(wú)從談起.故在教學(xué)的過(guò)程中，教師不僅要教學(xué)手段多樣化，更要注重解題方法的多樣化，注重通過(guò)題組的教學(xué)，探尋其中蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)規(guī)律.本題從求三角形面積這一核心考點(diǎn)出發(fā)，繼而變形、推廣，不僅關(guān)注數(shù)學(xué)閱讀能力，以及基礎(chǔ)知識(shí)、基本技能，更讓教師在后續(xù)的教學(xué)中關(guān)注學(xué)生數(shù)學(xué)經(jīng)驗(yàn)的獲得，重視基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)的積累，由此可見(jiàn)這道中考題的用心良苦.

1.有利于提高學(xué)生的能力

隨著學(xué)校招生的需要，“功利性”愈演愈烈，應(yīng)試教育成為很多學(xué)校的主要教學(xué)方針，凡是中考必考的核心考點(diǎn)就會(huì)進(jìn)行大量的反復(fù)訓(xùn)練，中考不考的知識(shí)大膽舍棄，不在課堂上提及.這種不良的教學(xué)模式對(duì)學(xué)生能力的培養(yǎng)和后續(xù)的發(fā)展大有壞處.本題恰好是對(duì)這種不良的教學(xué)模式的極大沖擊，平時(shí)的“題海戰(zhàn)術(shù)”對(duì)這類題毫無(wú)作用，在題海中“遨游”的學(xué)子對(duì)于這種題目的解決不占任何優(yōu)勢(shì)，反而平時(shí)課堂注重知識(shí)的形成、發(fā)展，喜歡探究的學(xué)生占一定的優(yōu)勢(shì)，這符合新課標(biāo)的要求“引發(fā)學(xué)生的數(shù)學(xué)思考，鼓勵(lì)學(xué)生的創(chuàng)造性思維的培養(yǎng)”.

在做題時(shí)，建議學(xué)生多去探索問(wèn)題中蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)規(guī)律，不要只埋頭做題，思考問(wèn)題時(shí)，多經(jīng)歷觀察、猜想、分析、綜合、歸納和論證等活動(dòng)，親身體驗(yàn)知識(shí)的發(fā)生、形成與發(fā)展過(guò)程，學(xué)會(huì)研究的策略和方法，發(fā)展探究和歸納的能力，獲得終身受益的數(shù)學(xué)素養(yǎng).

2.有利于促進(jìn)教師的發(fā)展

中考對(duì)后續(xù)的教學(xué)應(yīng)起到一定的導(dǎo)向作用，教師在平時(shí)教學(xué)中應(yīng)多關(guān)注學(xué)生能力的培養(yǎng)，致力于教材資源的開(kāi)發(fā)，充分研究命題的規(guī)律，注重解題時(shí)的一題多解，一題多變.

教師在教學(xué)時(shí)，要多給學(xué)生探索的時(shí)間和空間，從題出發(fā)，探索題目背后的價(jià)值，讓一個(gè)問(wèn)題變成一類問(wèn)題，從而讓學(xué)生解一題、會(huì)一類、通一片.這樣的做法也能培養(yǎng)學(xué)生主動(dòng)探究的能力，增強(qiáng)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣.當(dāng)學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)產(chǎn)生濃厚的學(xué)習(xí)興趣時(shí)，自然有強(qiáng)烈的求知欲，教學(xué)效果更會(huì)事半功倍.

一道中考題，看似簡(jiǎn)單，卻又不“簡(jiǎn)單”，題目看似“巧合”，實(shí)則蘊(yùn)含豐富的規(guī)律，讓教師明白活用好題、給予學(xué)生足夠空間和時(shí)間的重要性，讓學(xué)生了解自主探究、領(lǐng)悟數(shù)學(xué)內(nèi)涵的學(xué)習(xí)要義.