典型考題研究：同類收集與成果擴(kuò)大
——從2018年福建中考卷第25題說(shuō)起

☉江蘇省如皋市經(jīng)濟(jì)技術(shù)開(kāi)發(fā)區(qū)袁橋初級(jí)中學(xué) 陸海燕

中考復(fù)習(xí)期間學(xué)生會(huì)涉及大量習(xí)題，這些習(xí)題的來(lái)源主要是全國(guó)各地歷年來(lái)的中考試題，而有些訓(xùn)練的效果好些，有些訓(xùn)練的效果卻不甚如意.究其原因，當(dāng)然與學(xué)生的思維水平、運(yùn)算能力、記憶能力有關(guān)，但教學(xué)法上的研討與改進(jìn)也是一個(gè)值得深入思考的話題.比如拋物線有很多奇異的性質(zhì)（如準(zhǔn)線、焦點(diǎn)的性質(zhì)，由于多地中考試題曾出現(xiàn)過(guò)，大家現(xiàn)在已比較熟悉），初中教材上涉及不多，但通過(guò)練習(xí)不少中考試題，優(yōu)秀學(xué)生也能一眼洞察、看清問(wèn)題結(jié)構(gòu)，然而也有些偶爾出現(xiàn)一次的奇異性質(zhì)，因?yàn)闈M足于一題一解或一題一答，缺少對(duì)問(wèn)題結(jié)構(gòu)的反思與揭示，使得優(yōu)秀學(xué)生也不能深刻認(rèn)識(shí)和理解一類問(wèn)題結(jié)構(gòu)，這是值得我們?cè)诮忸}教學(xué)中加以改進(jìn)的.本文從2018年福建省中考卷第25題的思路解析說(shuō)起，關(guān)聯(lián)同類、逆向拓展，并提出一些教學(xué)建議，供研討.

一、考題與思路突破

考題1：（2018年福建卷，第25題）已知拋物線y=ax2+bx+c過(guò)點(diǎn)A（0，2） .

①求拋物線的解析式；

②點(diǎn)P與點(diǎn)O關(guān)于點(diǎn)A對(duì)稱，且O、M、N三點(diǎn)共線，求證：PA平分∠MPN.

思路突破：

圖1

（2）①分別解讀：條件“x1＜可得在y軸左側(cè)y隨x的增大而增大；條件＜0”可得在y軸右側(cè)y隨x的增大而減小.于是可確認(rèn)該拋物線的對(duì)稱軸為y軸，且開(kāi)口向下.可設(shè)拋物線的解析式為y=ax2+2.接下來(lái)只要畫出草圖輔助分析，如圖1.

結(jié)合等邊三角形ABC與圓O的半徑為2，可得出點(diǎn)B、點(diǎn)C的坐標(biāo)分別為選擇其一代入y=ax2+2，可得a=-1，于是拋物線的解析式為y=-x2+2.

②解法1：構(gòu)造如圖2所示的草圖分析.

設(shè)點(diǎn)M（x1，-+2）、N（x2，-+2）.由于直線MN經(jīng)過(guò)原點(diǎn)，可設(shè)MN：y=kx.

圖2

由P是點(diǎn)O關(guān)于點(diǎn)A的對(duì)稱點(diǎn)，易得OP=4，即點(diǎn)P（0，4），可設(shè)PM：y=k2x+4.把M點(diǎn)的坐標(biāo)代入，可得

解法2：為了便于對(duì)比，我們?cè)贅?gòu)造圖3所示的草圖變式（點(diǎn)M、N的位置發(fā)生了變化）分析.

先設(shè)直線MN的解析式為y=kx，將其與拋物線解析式聯(lián)立成

圖3

消去y，可得關(guān)于x的一元二次方程x2+kx-2=0.

二 、回顧反思與同類鏈接

同類鏈接：這道考題最后一問(wèn)的結(jié)構(gòu)在2016年海南省中考卷第24題曾出現(xiàn)過(guò).

逆向思考：這道考題最后一問(wèn)的逆向思考問(wèn)題在2017年湖北中考卷武漢卷第24題曾出現(xiàn)過(guò).這里不妨簡(jiǎn)要引述一下，便于對(duì)比.

考題2：（2016年湖北武漢，第24題）拋物線y=ax2+c與x軸交于A、B兩點(diǎn)，頂點(diǎn)為C，點(diǎn)P在拋物線上，且位于x軸下方.如圖4，已知直線PA、PB與y軸分別交于E、F兩點(diǎn).當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)時(shí)，是否為定值？若是，試求出該定值；若不是，請(qǐng)說(shuō)明理由.

結(jié)構(gòu)認(rèn)識(shí)：如圖5，拋物線y=ax2+bx+c的頂點(diǎn)為C，點(diǎn)E、F在拋物線的對(duì)稱軸上，直線y=n與拋物線交于點(diǎn)A、B.點(diǎn)P是拋物線上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接AP，交拋物線的對(duì)稱軸于E點(diǎn).

圖4

圖5

有如下“等價(jià)”信息：

①點(diǎn)B、P、F在同一直線上；

②CE=CF；（類似的有OE+EF=2OC）

③∠AFE=∠PFE.

從前面考題1、考題2的求解可知，上述“等價(jià)”信息可以“知一推二”.

同類跟進(jìn)：（2017年江蘇泰州某校九上期末試卷）平面直角坐標(biāo)系xOy中，拋物線的頂點(diǎn)為A（-1，-4），且經(jīng)過(guò)點(diǎn)B（-2，-3），與x軸分別交于C、D兩點(diǎn).如圖6，過(guò)點(diǎn)A的直線交x軸于點(diǎn)E，且AE∥y軸，點(diǎn)P是拋物線上A、D之間一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，直線PC、PD與AE分別交于F、G兩點(diǎn).當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)時(shí)，EF+EG是否為定值？若是，求出這個(gè)定值；若不是，說(shuō)明理由.

圖6

三、教學(xué)建議

1.教師要善于歸類收集典型考題，并深入研究揭示結(jié)構(gòu)

數(shù)學(xué)教師的一個(gè)重要的日常基本功是解題，應(yīng)該有自主解題的興趣與愛(ài)好，把平時(shí)業(yè)余時(shí)間常常用來(lái)解題是一個(gè)優(yōu)秀數(shù)學(xué)教師的重要特征之一.當(dāng)然，僅僅有興趣解題還不夠，還需要在解題之后反思回顧，想清問(wèn)題結(jié)構(gòu)，并把同類問(wèn)題歸類收集整理到專用的資料夾.筆者的做法是把同類問(wèn)題演算之后的結(jié)構(gòu)與素材及時(shí)保存在電腦上相應(yīng)文件夾中，文件夾以關(guān)鍵詞命名，便于日后檢索、調(diào)用.比如，本文關(guān)注的主題關(guān)鍵詞可擬為“拋物線奇異性質(zhì)”，并把與之相關(guān)的考題及演算稿都存入相應(yīng)的文件夾，有時(shí)網(wǎng)絡(luò)上、文獻(xiàn)中的類似資料也可下載保存在一起.

2.組織典型考題講評(píng)時(shí)，要引導(dǎo)學(xué)生回顧反思提煉結(jié)構(gòu)

教師在組織考題講評(píng)時(shí)，可檢索自己的素材庫(kù)把相關(guān)類型的問(wèn)題整理出來(lái)，經(jīng)過(guò)編輯加工整合成教學(xué)設(shè)計(jì)，精選一道較簡(jiǎn)單的考題先講評(píng)，然后變式拓展，邊拓展、邊追問(wèn)，讓學(xué)生在回顧反思中提煉問(wèn)題結(jié)構(gòu)，加深對(duì)同類問(wèn)題的深刻理解.在講評(píng)之后還可跟進(jìn)變式再練，不僅是檢測(cè)聽(tīng)課效果，更主要的是通過(guò)“多題歸一”訓(xùn)練鞏固學(xué)生對(duì)問(wèn)題結(jié)構(gòu)的理解.