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    運用相關(guān)思維對一道中考壓軸題的教學觀察

    2018-10-11 05:50:58湖南省常德芷蘭實驗學校初中部陳金紅
    中學數(shù)學雜志 2018年18期
    關(guān)鍵詞:射影壓軸動點

    ☉湖南省常德芷蘭實驗學校初中部 陳金紅

    一年一度的中考數(shù)學壓軸題,既是命題者頭痛的“磨難”命制,更是考生心有余悸的“傷痛”.如何在緊張的考場有效輕松應對,研究中考壓軸題就是一件必不可少的實踐活動,為此我們對湖南省常德市2018年的數(shù)學壓軸題第26題做教學剖析,希望我們的教學觀察能為同仁帶來一點黎明曙光:

    題目 已知正方形ABCD中,AC與BD交于O點,點M在線段BD上,作直線AM交直線DC于E,過D作DH⊥AE于H,設(shè)直線DH交AC于N.

    (1)如圖1,當M在線段BO上時,求證:MO=NO;

    (2)如圖2,當M在線段OD上時,連接NE,當EN∥BD時,求證:BM=AB;

    (3)如圖3,當M在線段OD上時,連接NE,當NE⊥EC時,求證:AN2=NC·AC.

    圖1

    圖2

    圖3

    一、涉及考點

    (1)特殊圖形:正方形、等腰三角形、直角三角形等;

    (2)幾何性質(zhì):正方形的性質(zhì)、直角三角形的性質(zhì)、相似三角形的性質(zhì)與判定、全等三角形的性質(zhì)與判定、線段垂直平分線定理等;

    (3)可以運用的選學內(nèi)容:四點共圓、圓冪定理、射影定理等.

    二、基本解析

    三個小問題的提出是基于點M在正方形對角線BD被對角線交點平分線段的不同位置所引起,其實隱喻“動點M”乃問題之間的思維聯(lián)系紐帶!

    第(1)問主旨是考查兩個直角三角形的全等的運用,條件一是有一對相等的直角、條件二是一對相等的銳角(由同角(或等角)的余角相等得出的)、條件三是一條直角邊相等(由正方形對角線相等互相平分性質(zhì)得到的);具體判定方法是“ASA”或“AAS”推出:△OAM △ODN,從而有MO=NO.

    第(2)問,當點M運動到OD上時,同理仍有△OAM△ODN,從而仍有MO=NO.由此可得到許多相等的線段,比如EM=NC、BM=AN等.

    同樣也有許多的全等三角形,比如△ADM△DCN、△BAM △ADN等.還有許多的相似三角形,比如不連線時的△DME △BMA,△CEN △CDO,Rt△HDE、Rt△HAD與Rt△DAE三個三角形也相似(直角三角形重要性質(zhì)——射影定理),若連輔助線MN有△OMN△ODC等;見圖4.綜合上面的信息平行四邊形MNED;又已知DH⊥AE于HN,即AH是DN的垂直平分線?AN=AD.而AB=AD,BM=AN,于是有AB=BM.繼續(xù)演繹下去會有更多的全等三角形和相等的角和線段(略).

    圖4

    圖5

    三、教學觀察

    ⒈題目設(shè)計:蘊藏思維定式與圈套障礙點

    對于第(1)問,屬于基本常規(guī)給分點,很容易上手,乃激發(fā)答題者的興趣和解題斗志的設(shè)計;

    對于第(2)問,考生很容易糾纏于想通過證明∠BAM=∠BMA去證明線段AB=BM,其實是一個死胡同!顯然跳出這個設(shè)計的“定式思維”最明智的方法是像上面的分析一樣發(fā)散開來!

    對于第(3)問,若從NE⊥EC、AD⊥DC?EN∥AD出再推理演繹的話也會出現(xiàn)死胡同!或利用直角三角形射影定理模型法展開推理仍會出現(xiàn)死胡同!跳出這個設(shè)計的“思維”圈套最明智的方法也就是上面說的信息發(fā)散!

    2.題目檢測:考生數(shù)學思維的長度與解題能力

    顯然要一氣呵成解決這些問題,從顯性的圖形與已知出發(fā),先做基本的演繹推理得出隱形的一些相等的角、相等的線段、全等的三角形、相似的三角形,再兩兩組合得出新的相等的角、相等的線段、全等的三角形、相似三角形,即發(fā)散更多的隱形的數(shù)量、位置和變換關(guān)系.這些無不體現(xiàn)出考查知識的覆蓋度、思維的連貫性和邏輯的嚴謹性!

    3.解題方法:亦可合情推理,拼湊法樸素輕松

    顯然嚴格推理不是一件在規(guī)定時間內(nèi)輕松解決的事情,咋辦?根據(jù)新的課程標準和數(shù)學學科核心素養(yǎng)的基本要求,不妨合情推理展開思維:直接計算推理,即:

    ①等腰Rt△NEC中,NC2=2NE2;②Rt△NED中,NE⊥DE、EH⊥DN于H?NE2=NH·ND(射影定理).聯(lián)合知NC2=2NH·ND.

    ③∠DHA=∠DOA=90°?四點D、H、O、A共圓?NH·ND=NO·NA.

    4.思維模式:暗含提綱挈領(lǐng)的紐帶

    顯然生活中一個事件常常引發(fā)多個相關(guān)事情的發(fā)生(多米諾骨牌效應),映射到數(shù)學命題中來,利用幾何變換如一個點的運動,與定點相關(guān)聯(lián)得到一個圖形如線段就會是動線段,產(chǎn)生“子母”聯(lián)動形象,于是相關(guān)思維的有機破解能力就自然被要求了!本題的一個動點就是正方形ABCD的對角線BD上的點M,與定點A相連的線段AM就是動線段,于是相關(guān)聯(lián)的其他圖形就受其制約了,于是“動點M”乃問題之間被“提綱挈領(lǐng)”的思維聯(lián)系紐帶!這正是我們研究中考壓軸題教學觀察的結(jié)論:找到“相關(guān)思維”被“綱舉目張”的思維動點,為我們的解題指明前進的方向!

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