參透動(dòng)點(diǎn)軌跡，等效轉(zhuǎn)化破解
——2018年淮安市中考第27題的思路突破與反思

☉江蘇省海安市曲塘中學(xué)附屬初級(jí)中學(xué) 戴 路

平面幾何中存在一類(lèi)較為特殊的問(wèn)題，即幾何動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題，該類(lèi)題一般以點(diǎn)動(dòng)為基礎(chǔ)，考查學(xué)生問(wèn)題分析、條件轉(zhuǎn)化、原理利用的能力.本文將以2018年淮安市的一道幾何壓軸題為例對(duì)其問(wèn)題形式及解法原理展開(kāi)探究，以期對(duì)師生的學(xué)習(xí)備考有所幫助.

一、試題呈現(xiàn)

（2018年江蘇淮安中考卷第27題）如圖1所示，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，一次函數(shù)的圖像與x軸和y軸分別相交于點(diǎn)A和B，動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，在線段AO上以每秒3個(gè)單位長(zhǎng)度的速度向原點(diǎn)O作勻速移動(dòng)，到達(dá)點(diǎn)O后停止運(yùn)動(dòng).點(diǎn)A關(guān)于點(diǎn)P的對(duì)稱點(diǎn)為點(diǎn)Q，以線段PQ為邊向上作正方形PQMN，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒.

圖1

（2）在整個(gè)運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，設(shè)正方形PQMN與△AOB的重疊部分的面積為S，試求S與t的函數(shù)表達(dá)式；

（3）如果正方形PQMN的對(duì)角線的交點(diǎn)為T(mén)，請(qǐng)寫(xiě)出運(yùn)動(dòng)過(guò)程中OT+PT的最小值.

二、思路突破

（1）求點(diǎn)Q的坐標(biāo)實(shí)際上就是求線段OQ的長(zhǎng).首先需要明確圖中的點(diǎn)、線之間的關(guān)系.由于A和B為一次函數(shù)與坐標(biāo)軸之間的交點(diǎn)，因此A、B兩點(diǎn)均為定點(diǎn)，（ ，），（ ，），即 、 均為定值點(diǎn) 運(yùn)動(dòng)，而點(diǎn)A60B04AOBO.P Q是點(diǎn)A關(guān)于動(dòng)點(diǎn)P在x軸上的對(duì)稱點(diǎn)，則可以理解為AP=QP，且長(zhǎng)度隨點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)而變化，分析可知OQ=AO-APQP=AO-2AP，當(dāng)時(shí)，AP為定值，，則OQ=6-2=4，即點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（4，0）.

（2）正方形PQMN是以邊PQ向上作的正方形，由于PQ的長(zhǎng)度隨著點(diǎn)P的移動(dòng)而變化，因此正方形PQMN的大小也是變化的.設(shè)正方形PQMN與直線的交點(diǎn)為 和 ， 與 的重疊部分的形狀與點(diǎn) 的DCPQMN△AOBP位置相關(guān)，其面積的求解需要結(jié)合動(dòng)點(diǎn)移動(dòng)，并采用面積割補(bǔ)的方式來(lái)獲得.由于點(diǎn)P的移動(dòng)，會(huì)造成MQ相對(duì)于y軸的位置及幾何形狀發(fā)生變化，總體可概括為三種情形：①M(fèi)Q位于y軸的右側(cè)，且重疊部分為五邊形；②MQ位于y軸的左側(cè)，重疊部分介于五邊形與四邊形之間；③MQ位于y軸的左側(cè)，重疊部分為梯形.根據(jù)運(yùn)動(dòng)時(shí)間t可以求得點(diǎn)P的坐標(biāo)為（6-3t，0），點(diǎn)C的坐標(biāo)為（6-3t，2t），則線段，下面分別進(jìn)行討論：

情形1：MQ位于y軸的右側(cè)時(shí)，時(shí)間t的取值范圍為0≤t≤1，此時(shí)的重疊部分的形狀為五邊形，如圖2所示，其面積可以表示為SDMQPC=SMNPQ-S△DCN，可得SDMQPC=

圖2

圖3

圖4

圖5

（3）本小題求OT+PT的最小值，由于點(diǎn)T會(huì)隨著點(diǎn)P的移動(dòng)而移動(dòng)，因此其長(zhǎng)度之和也會(huì)隨之變化，可以從研究動(dòng)點(diǎn)的軌跡入手，確立OT+PT取得最小值時(shí)的具體情形.由于TP=TN，因此可以通過(guò)求OT+TN的最小值來(lái)獲得，在整個(gè)運(yùn)動(dòng)過(guò)程中都有NP=PQ=AP，則運(yùn)動(dòng)過(guò)程中形成的△APN為等腰直角三角形，即∠NAP始終為45°，可進(jìn)一步將其理解為：點(diǎn)N的運(yùn)動(dòng)軌跡為點(diǎn)P圍繞A點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)45°，因此點(diǎn)N的運(yùn)動(dòng)軌跡為與x軸呈45°的直線，如圖6.

OT+PT的值可以看作線段OT加上點(diǎn)T到直線AN的距離，求解最小值可以利用“兩點(diǎn)之間，直線最短”原理，即點(diǎn)O、T、N三點(diǎn)處于同一直線上時(shí)OT+TN取得最小值.分析可知，只有當(dāng)點(diǎn)Q與原點(diǎn)O相重合時(shí)，才能確保點(diǎn)O、T、N共線，如圖7，此時(shí)△NQA為等腰直角三角形，OA=6，

圖6

圖7

三、評(píng)析拓展

本題目屬于典型的幾何動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題，問(wèn)題設(shè)置涉及了點(diǎn)坐標(biāo)的確定、動(dòng)態(tài)幾何面積求解及線段最值，是動(dòng)態(tài)幾何中常見(jiàn)的題目，在問(wèn)題形式和解法上存在以下特點(diǎn)：

1.聯(lián)動(dòng)性

上述考題中由于點(diǎn)P的移動(dòng)使得幾何線段長(zhǎng)發(fā)生變化，進(jìn)而使得正方形的大小發(fā)生變化，從而產(chǎn)生了幾何重疊面積、線段最值等問(wèn)題.其形式上是以點(diǎn)動(dòng)為驅(qū)動(dòng)，聯(lián)動(dòng)線、面研究，由特定問(wèn)題分析發(fā)展到動(dòng)態(tài)幾何研究，是幾何三大元素點(diǎn)、線、面的完美融合.

2.等效性

上述考題的第（3）問(wèn)是整個(gè)問(wèn)題的核心.求解的突破口是研究點(diǎn)的坐標(biāo)及動(dòng)點(diǎn)的軌跡，而坐標(biāo)系中的正方形是最為關(guān)鍵的參照，既可以利用其性質(zhì)研究邊長(zhǎng)，也可以結(jié)合其對(duì)角線的交點(diǎn)確定動(dòng)點(diǎn)的移動(dòng)軌跡.整個(gè)解題思路是建立在線段等效思想之上，即通過(guò)研究點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡對(duì)線段長(zhǎng)進(jìn)行等效轉(zhuǎn)化，最后利用兩點(diǎn)之間直線最短原理確定線段和的最小值.

無(wú)論是在問(wèn)題的聯(lián)動(dòng)形式上，還是解法的等效上，在近幾年的中考中均存在同類(lèi)型題，下面以2017年的廣州題為例進(jìn)行對(duì)比探析：

考題：（2017年廣州市中考卷第24題）如圖8所示，矩形ABCD的對(duì)角線AC、BD相交于點(diǎn)O，△COD關(guān)于CD的對(duì)稱圖形為△CED.

（1）求證四邊形OCED是菱形.

①求sin∠EAD的值.

②如果點(diǎn)P是線段AE上一個(gè)不與點(diǎn)A重合的動(dòng)點(diǎn)，連接OP，一動(dòng)點(diǎn)Q從點(diǎn)O出發(fā)，以1cm/s的速度沿線段OP勻速運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)P，然后以1.5cm/s的速度沿著線段PA勻速運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)A，到達(dá)點(diǎn)A后停止運(yùn)動(dòng)，當(dāng)點(diǎn)Q沿上述路線運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)A所用時(shí)間最短時(shí)，求AP的長(zhǎng)和點(diǎn)Q走完全程所需要的時(shí)間.

圖8

圖9

解析：本問(wèn)題同樣為幾何動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題，下面主要分析第（2）問(wèn)②，點(diǎn)Q的全程路線長(zhǎng)為OP+PA，則用時(shí)，則PH=的最小值可以轉(zhuǎn)化為求OP+PH的最小值.顯然只有當(dāng)三點(diǎn)共線，且OH⊥AH時(shí)才能取得最小值，如圖9，易得O

上述考題形式上是求運(yùn)動(dòng)時(shí)間最短，但考慮到速度一定，因此首先可以轉(zhuǎn)化為線段與數(shù)的比值和，然后通過(guò)線段等效的方式轉(zhuǎn)變?yōu)槿c(diǎn)之間線段和的最值問(wèn)題，最后利用“三點(diǎn)共線距離最短”原理完成求解.本問(wèn)題的解法核心同樣是線段等效，共線求最值，所不同的是在對(duì)線段等效時(shí)結(jié)合了三角函數(shù)，而第一道考題則是研究動(dòng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)過(guò)程中的線段關(guān)系，這兩種方式都是求解線段最值問(wèn)題的常用思路.

四、反思學(xué)習(xí)

1.把握問(wèn)題特點(diǎn)，理清解法思路

幾何動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題的形式是多樣的，涉及幾何的點(diǎn)、線、面等內(nèi)容，但從本質(zhì)上來(lái)說(shuō)還是點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)問(wèn)題，無(wú)論是直角坐標(biāo)系中的動(dòng)點(diǎn)，還是普通幾何上的動(dòng)點(diǎn)，認(rèn)識(shí)問(wèn)題特點(diǎn)都需要結(jié)合點(diǎn)的移動(dòng)，明確動(dòng)點(diǎn)個(gè)數(shù)、運(yùn)動(dòng)路徑、運(yùn)動(dòng)速度及聯(lián)動(dòng)形式等.在明確問(wèn)題特點(diǎn)的基礎(chǔ)上，建立起“點(diǎn)動(dòng)—線變—形變”的聯(lián)動(dòng)體系，然后通過(guò)分析點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)，確定線段的變化情況，并采用等效轉(zhuǎn)化的方式分析線段的最值，一般對(duì)于線段最值的研究可以采用幾何轉(zhuǎn)化和建立代數(shù)方程兩種方式，前者主要用于一般幾何體系中，后者可以用于坐標(biāo)體系中.

2.關(guān)注數(shù)學(xué)本質(zhì)，重視原理學(xué)習(xí)

幾何問(wèn)題的學(xué)習(xí)應(yīng)該從其本質(zhì)上進(jìn)行，如上述考題關(guān)于最值的研究實(shí)際上就是對(duì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡的分析，求值思路也是基于對(duì)線段的轉(zhuǎn)化，然后利用三點(diǎn)共線完成.對(duì)于幾何問(wèn)題的求解，應(yīng)包括對(duì)問(wèn)題形式的認(rèn)識(shí)，以及對(duì)解法本質(zhì)的理解，尤其是三點(diǎn)共線取最值，其理論依據(jù)是“兩點(diǎn)之間，線段最短”.因此，對(duì)于幾何動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題，應(yīng)充分認(rèn)識(shí)問(wèn)題本質(zhì)，理解解法的基本原理，必要時(shí)可結(jié)合直觀的幾何圖像，通過(guò)幾何證明的方式完成，將學(xué)習(xí)重心由問(wèn)題表象分析轉(zhuǎn)移到解法本質(zhì)探究上，從而形成較為系統(tǒng)的解題策略.

3.學(xué)習(xí)思想方法，拓展解題思維

數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的內(nèi)容主要有兩方面：一是知識(shí)內(nèi)容的理解；二是解題方法的掌握.前者屬于基本的學(xué)習(xí)要求，后者屬于能力層面的提升，是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的核心.而對(duì)于解題能力的提升僅僅依靠題海戰(zhàn)術(shù)是無(wú)法實(shí)現(xiàn)的，也無(wú)法真正掌握解法的精髓.解題能力的提升首先需要學(xué)習(xí)解題的思想方法，理解解題過(guò)程中的指導(dǎo)思想，如上述采用的等效轉(zhuǎn)化思想；其次是掌握基本的解題思路，提升自我的解題思維.對(duì)于思想方法的學(xué)習(xí)，可以結(jié)合典型考題，如數(shù)形結(jié)合思想可以結(jié)合數(shù)學(xué)函數(shù)考題，構(gòu)造思想可以結(jié)合幾何類(lèi)考題.結(jié)合考題理解方法的優(yōu)勢(shì)所在，掌握思想方法的指導(dǎo)意義，從而掌握方法的精髓所在，拓展解題思維.

五、寫(xiě)在最后

關(guān)于幾何動(dòng)點(diǎn)題，中考的典型題較多，考查形式也多種多樣，但始終離不開(kāi)對(duì)于點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)分析，線段長(zhǎng)度的等值轉(zhuǎn)化，不同的解題策略會(huì)帶來(lái)不同的解題效果，但正因其變化形式的不確定性使得該類(lèi)問(wèn)題成為中考獨(dú)具魅力的一道風(fēng)景.深入探究考題，形成解題思路，充分發(fā)揮考題的指導(dǎo)意義，促進(jìn)思維的提升是考題學(xué)習(xí)的價(jià)值所在.