考慮壓敏的雙重介質分形油藏非線性滲流模型

姜瑞忠，張春光，崔永正，張偉，張福蕾，沈澤陽

（中國石油大學（華東）石油工程學院，山東 青島 266580）

0 引言

在儲層開采進程中，地層壓力下降使得滲透率與孔隙度發(fā)生改變，儲層流動原理也隨之改變。鑒于雙重介質油藏的非均質性和復雜性，國內外許多專家用流固耦合的滲流理論對其進行研究，但流固耦合方法復雜且求解困難?？紤]介質隨壓力的變化建立模型并求得解析解，是另外一種研究方法，但流體在孔隙內的非線性滲流規(guī)律被忽略。眾多的局限性導致雙重介質分形油藏開始被廣泛研究。J.Chang等［1］首先提出分形油藏中的試井方法；S.Aprilian等［2］采用干擾試井的解釋方法，擬合得到地層的儲存系數(shù)以及傳導率，從而推廣了J.Chang所提出的模型；J.Acuna等［3］將分形油藏的試井模型應用到地熱礦的2口井，即將分形油藏原理投入了實際應用并得到了礦藏分維；葛家理等［4］用分形維數(shù)Df和分形指數(shù)來描述自然裂縫的復雜程度與連通狀況，建立了分形油藏低速非達西滲流模型，最后求得實空間的精確解；李其深等［5］以儲層的均質性為基礎建立了分形油藏的雙滲模型；李順初等［6-8］研究了封閉邊界且考慮井筒儲集系數(shù)和表皮效應影響下，存在變流率問題的井底壓力拉氏空間解。

本文在前人研究的基礎上，建立了考慮壓敏的雙重介質分形油藏非線性滲流模型；基于有限元方法對模型進行求解，并根據(jù)井底壓力解繪制滲流特征曲線；對比各模型滲流規(guī)律，對參數(shù)進行敏感性分析。研究成果對試井分析、油氣藏開發(fā)動態(tài)預測具有實際意義［9］。

1 分形理論適用性分析與應用

經典的滲流理論基于歐式空間并具有一定特征尺度，儲層滲透率K是與特征長度有關的值，所以，達西定律在宏觀尺度上不能直接應用于分形油藏。如果儲層體系在統(tǒng)計意義下具有分形特性，即不再具有特征長度時，經典滲流力學就不能很好地表征實際儲層的非均質性。與經典的滲流理論類似，分形網絡中的滲透率一定反映分形結構的幾何性質，所以，滲透率與分形維數(shù)以及異常擴散系數(shù)θ必然有關。綜上所述，將分形參數(shù)應用到具有分形特性的油藏體系中，可以更精確地描述實際油藏的復雜多變性。

首先對具有分形特性的裂縫孔隙度φf和裂縫滲透率Kf進行分析。設每個節(jié)點體積相同，分形體內流體儲集在體積為Vs的節(jié)點處，節(jié)點與生產井的徑向距離為 r，節(jié)點密度為 N（r）。N（r）與 Df的關系［10］為

式中：α為滲流系統(tǒng)滲流節(jié)點的數(shù)量；rw為井筒半徑，m；Kw為距離生產井 rw處的滲透率，10-3μm2；ds為譜維數(shù)；φw為距生產井rw處的孔隙度；Ct為綜合壓縮系數(shù)，MPa-1；μ 為流體黏度，mPa·s。

在雙孔單滲的情況下，裂縫空間壓縮系數(shù)定義為

式中：Cf為裂縫空間壓縮系數(shù)，MPa-1；p為地層壓力，MPa。

在歐式條件下，α與φf有關，用B表示相應對稱性，即：

式中：B為描述對稱性的幾何常量。

如果整數(shù)維d=2，即考慮平面內嵌入分形體，則根據(jù)孔隙度定義可得到：

多孔介質孔隙度與其有效上覆壓力呈指數(shù)關系。設在r=rw處的孔隙度為φfw，壓力敏感性孔隙度φf（r）可表示為

式中：pi，pf分別為原始地層壓力、 裂縫壓力，MPa；Kfw為巖心分析得到的地層滲透率，10-3μm2；CK為滲透率模數(shù)，MPa-1。

分形滲透率與分形孔隙度的定義類似，與擴散半徑也呈冪律關系。在生產進程中，儲層流體壓力的變化會導致微裂縫的張合，儲層的絕對滲透率會發(fā)生改變?？紫抖葧S基巖上覆壓力的變化而改變，孔隙度的改變會使基巖通過流體的能力產生變化，這就是變形介質中滲透率與壓力有關的原因。參考分形孔隙度定義，加上異常擴散系數(shù)就可得到分形滲透率Kf（r）：

2 新模型建立

2.1 模型條件

建立雙重介質分形油藏物理模型。建模時對雙重介質油藏滲流系統(tǒng)進行假設［11-12］：1）裂縫網絡為分形維數(shù)的分形儲層，該網絡被嵌入到二維歐式空間巖塊中；2）流體微可壓縮，定產量生產；3）不考慮重力、毛細管力以及儲層溫度變化；4）流體被驅替是指基質滲流到分形裂縫網絡，沒有孔隙系統(tǒng)的對流，只有裂縫系統(tǒng)中流體直接流向井筒；5）裂縫網絡在壓力作用下產生微小形變，不影響分形特征，不考慮分形維數(shù)變化；6）考慮表皮效應、井筒儲集效應和壓力敏感性。

目前，研究低滲透儲層滲流時，常用擬啟動壓力梯度模型、分段模型、連續(xù)模型以及低速非線性滲流新模型（C模型）進行表征。研究表明，C模型處理低滲非線性流更加靈活，擬合程度更高［13］，所以，本文將C模型中的低滲非線性流運動方程運用到雙重介質分形油藏中，可得到：

式中：v為滲流速度，cm/s；c1為流體屈服應力與邊界層對滲流共同影響下的參數(shù)；c2為邊界層對滲流影響下的參數(shù)；▽p為啟動壓力梯度，105Pa/cm。

c1，c2可以通過函數(shù)非線性擬合得到。當c1=0時，該模型可簡化為達西模型，當c2=0時，該模型簡化為擬啟動壓力梯度模型。最小啟動壓力梯度▽pmin=c1+c2，大于0。

本文模型是在考慮表皮效應、井筒儲集效應以及壓敏的基礎上建立的。在考慮表皮效應的條件下，引入等效半徑rwe=rwe-S（S為表皮系數(shù)），將井筒外可能受污染或激勵的儲層考慮為井筒的一部分，則有：

式中：φwe為等效半徑處裂縫孔隙度；Kwe為等效半徑處裂縫滲透率，10-3μm2。

2.2 建立模型

對基質和裂縫系統(tǒng)的運動方程、狀態(tài)方程、連續(xù)性方程以及恒定產量和無限大外邊界條件進行組合變換，雙重介質分形油藏非線性滲流模型［14-15］為

內邊界條件：

外邊界條件：

初始條件：

式中：λ為竄流系數(shù)；δLVD為無因次中間變量；pm為基質壓力，MPa；ω為彈性儲能比；C為井筒儲集系數(shù)，m3/MPa；t為時間，s；lc為特征長度，m；h 為油層厚度，m；下標D表示無因次。

2.3 模型求解

將裂縫和基質系統(tǒng)分別用有限元表示。運用Galerkin法得到裂縫有限元方程：

運用格林公式，分步積分可以得到內部單元和封閉條件邊界單元有限元方程：

式中：Ni為形函數(shù)的分量（i=1，2，3，…，n）。

則有限元方程矩陣形式可簡化為

進一步簡化單元平衡方程，得：

其中：

同理，對于基質系統(tǒng)可得到有限元單元平衡方程：

式中：A 為單元域面積，m2；Ke為單元剛度矩陣；Fe為單元載荷向量；上標m表示時刻變量。

以上為雙重介質分形油藏非線性滲流試井模型的有限元單元平衡方程。求解時需要由基質場的上一時刻值求解裂縫場的壓力解，再將該時刻裂縫場壓力解引入基質場求基質壓力解。

3 滲流規(guī)律

圖1為不同模型的雙重介質油藏壓力及其導數(shù)曲線的對比圖（CD=100，S=0，ω=0.02，λ=10-9）。達西模型中，CKD=0，c1D=c2D=0，θ=0，Df=2.0；非線性流模型中，c1D=c2D=0.5，其他條件與達西模型一樣；分形非線性流模型中，CKD=0，c1D=c2D=0.5，θ=0.3，Df=1.9。在考慮壓敏的條件下，可以根據(jù)實際情況調整CKD的大小。

圖1 不同模型試井曲線對比

由圖1可以看出，任何模型的試井曲線均存在4個特征流動階段，即井筒儲集段I、裂縫系統(tǒng)徑向流段Ⅱ、基質向裂縫的竄流段Ⅲ以及系統(tǒng)總徑向流段Ⅳ。基質向裂縫的非線性流影響，表現(xiàn)為壓力導數(shù)曲線下凹段右移，且下凹程度變淺，該現(xiàn)象為非線性流典型特征。分形非線性流表現(xiàn)為壓力及其導數(shù)曲線均整體上移，曲線末端發(fā)生上翹。在裂縫性低滲透儲層中，壓力敏感性與分形對試井曲線產生類似的影響，但分形對多個流動階段均有影響，而壓力敏感性通常只對曲線末端產生影響。

4 敏感性分析

圖2為不同c1D，c2D時試井曲線的變化情況。

圖2 非線性參數(shù)對試井曲線的影響

由圖2可以看出，從基質向裂縫系統(tǒng)的非線性滲流主要影響竄流段壓力導數(shù)曲線波動段下凹深度及位置。竄流的非線性越強，竄流強度就越弱，壓力導數(shù)曲線波動段右移且下凹程度減弱。

CKD對壓力及其導數(shù)曲線的影響如圖3所示。隨著CKD的增加，壓力敏感性逐漸增強，曲線整體上移幅度變大，但CKD不影響竄流出現(xiàn)的時間與強度。當CKD＞0.05時，中后期壓力及壓力導數(shù)曲線上翹加劇。

圖3 滲透率模數(shù)對試井曲線的影響

Df對試井曲線的影響如圖4所示。Df為描述整個分形油藏內部孔隙結構復雜程度的幾何標量。其對壓力曲線的影響表現(xiàn)為：Df越小，無因次壓力變化越快，且無因次壓力曲線發(fā)生上翹的幅度越大，上翹出現(xiàn)的時間提前。

圖4 分形維數(shù)對試井曲線的影響

θ對試井曲線的影響如圖5所示。θ越大，裂縫網絡連通性與孔隙結構越差，滲流阻力越大。初期θ影響較小，但隨著時間增加，θ的影響越來越大，導致壓力導數(shù)曲線上移幅度增大。分形特征使壓力波在儲層中逐漸傳播并形成動態(tài)邊界，導致總徑向流階段壓力導數(shù)曲線上翹幅度增大，體現(xiàn)了分形油藏的典型特征。

圖5 異常擴散系數(shù)對試井曲線的影響

5 結論

1）達西模型、非線性模型以及本文分形非線性模型的試井曲線均存在4個流動特征階段，即井筒儲集段、裂縫系統(tǒng)徑向流段、基巖向裂縫的竄流段以及總系統(tǒng)徑向流段。

2）非線性參數(shù)越大，壓力導數(shù)曲線下凹段右移，且下凹程度變小，即竄流強度減弱。θ越大，裂縫網絡連通性越差，且滲流阻力越大，初期階段影響較小，但壓力導數(shù)曲線上移幅度隨著時間的增大而增大；Df越小，壓力變化越快且曲線上翹幅度越大，同時上翹出現(xiàn)的時間也提前。