Ding-投射模及穩(wěn)定的t-結(jié)構(gòu)

張豫岡, 曹天涯

(1. 蘭州工業(yè)學(xué)院 基礎(chǔ)學(xué)科部, 蘭州 730050; 2. 西北師范大學(xué) 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)院, 蘭州 730070)

文獻(xiàn)[1]通過將Abel范疇中復(fù)形截斷的概念一般化, 在三角范疇D 中引入了t-結(jié)構(gòu)的概念, 并證明了t-結(jié)構(gòu)的心是一個Abel范疇. 因此, t-結(jié)構(gòu)為在三角范疇中尋找Abel范疇提供了一種途徑和方法, 且三角范疇中的t-結(jié)構(gòu)類似Abel范疇撓理論, 在許多數(shù)學(xué)分支中應(yīng)用廣泛. 目前, t-結(jié)構(gòu)已成為研究代數(shù)簇上擬凝聚層有界導(dǎo)出范疇的一個重要工具. 為了更好地刻畫三角范疇的局部化和余局部化, 文獻(xiàn)[2]給出了三角范疇穩(wěn)定t-結(jié)構(gòu)的概念. 穩(wěn)定的t-結(jié)構(gòu)是特殊的t-結(jié)構(gòu), 是三角范疇中的遺傳撓對, 三角范疇的Recollement和穩(wěn)定的t-結(jié)構(gòu)聯(lián)系密切. 文獻(xiàn)[3]提出了強(qiáng)Gorenstein-平坦模和GorensteinFP-內(nèi)射模的概念; 文獻(xiàn)[4]分別稱其為Ding-投射模和Ding-內(nèi)射模, 并利用Ding-投射模和Ding-內(nèi)射模將Quillen模型結(jié)構(gòu)下的同倫范疇從Gorenstein環(huán)推廣到Ding-Chen環(huán)上. 受文獻(xiàn)[5-6]的啟發(fā), 本文在Ding-投射模上的相關(guān)同倫范疇中給出穩(wěn)定t-結(jié)構(gòu)及相應(yīng)右的Recollement.

1 預(yù)備知識

設(shè)R是具有單位元的環(huán), 本文涉及的模均為左R-模, 復(fù)形均為上鏈復(fù)形.

定義1[1]設(shè)D,D′和D″是三角范疇. D允許有關(guān)于D′和D″的Recollement, 記作

是指存在6個三角函子

i*=i!: D′→D; j*=j!: D→D″; i*,i!: D→D′; j*,j!: D″→D,

滿足下列條件:

1) (i*,i*),(i!,i!),(j!,j!)和(j*,j*)是伴隨對;

2) i*,j!和j*是滿嵌入函子;

3) j*i*=0;

4) 對D中的任意對象X, 可確定D中的2個三角

i*i!X→X→j*j!X→i*i!X[1],j!j*X→X→i!i*X→j!j*X[1].

如果4個正合函子i*,i!,j*,j*滿足Recollement定義的相應(yīng)條件, 則稱三角范疇D允許有關(guān)于三角范疇D′和D″的右的Recollement. 類似地, 有左的Recollement定義.

定義2[2]設(shè)U和V是三角范疇D的全子范疇, 用[1]表示三角范疇中的平移函子. 如果其滿足下列條件, 則稱(U,V )是D上的穩(wěn)定t-結(jié)構(gòu):

1) U=U [1], V=V [1];

2) 對任意的X∈U, Y∈V, 均有HomD(X,Y)=0;

3) 對D中的任意一個對象X, 存在三角A→X→B→A[1], 其中: A∈U; B∈V.

定義3[4]對于一個左R-模M, 如果存在一個正合序列

P·= …→P-1→P0→P1→P2→…,

(1)

使得M=Ker(P0→P1), 其中每個Pi都是投射模, 且對任意平坦模F, 函子HomR(-,F)作用在序列(1)上仍然保持其正合性, 則稱其為Ding-投射的. 用符號DP表示環(huán)R上所有Ding-投射模構(gòu)成的類. 顯然, DP 是左R-模范疇的一個全子范疇.

給定一個左R-模M, 用Dpd(M)表示M的Ding-投射維數(shù), 這里

假設(shè)這樣的n不存在, 本文約定Dpd(M)=∞. 用DP-res.dimR表示環(huán)R的左R-模范疇的整體Ding-投射維數(shù), 其中

DP-res.dimR=sup{Dpd(M)|M任意左R-模}.

2 主要結(jié)果

如果對任意的D∈DP均有函子HomR(D,-)作用在復(fù)形X上是正合復(fù)形, 則稱復(fù)形X是Ding-零調(diào)復(fù)形[7]. 因為投射模是Ding-投射模, 所以Ding-零調(diào)復(fù)形必為正合復(fù)形. 用符號K(R)表示左R-模范疇的同倫范疇,K(DP )表示環(huán)R上由Ding-投射模構(gòu)成的同倫范疇,Kdac(R)表示所有Ding-零調(diào)復(fù)形構(gòu)成的同倫范疇,Kdac(DP )表示環(huán)R上由Ding-投射模構(gòu)成的所有Ding-零調(diào)復(fù)形做成的同倫范疇. 顯然其均為K(R)的三角子范疇.

定義K*(DP ), *∈{∞,-,b}的三角子范疇如下：

引理1設(shè)R是任意環(huán). 若(X,d)∈Kdac(R), 則對任意的i∈Z, 其截斷…→Xi-1→Xi→Imdi→0和0→Kerdi→Xi→Xi+1→…也是Ding-零調(diào)復(fù)形.

證明: 只需證對任意的D∈DP, 均有

考慮行正合的交換圖:

第二個截斷的證明類似.

如果C是三角范疇D的三角子范疇且關(guān)于直和項封閉, 則稱C是三角范疇D的一個厚子范疇.

引理2[8]設(shè)C是三角范疇D的一個厚子范疇. 若典范嵌入i*: C→D有一個右伴隨i!: D→C, 則有一個右的Recollement:

定義4若對R上任意正合序列, 有

其中每個Di(i≥n)都是Ding-投射模, 則有Kerdn∈DP, 此時稱環(huán)R具有性質(zhì)(*).

定理1設(shè)R是具有性質(zhì)(*) 的環(huán), 則下列結(jié)論成立：

1) (K-,db(DP ),Kdac(DP ))是K∞,db(DP )中的一個穩(wěn)定t-結(jié)構(gòu);

2) 典范嵌入i*:K-,db(DP )→K∞,db(DP ) 誘導(dǎo)出右的Recollement為

證明: 1) 首先, 利用文獻(xiàn)[7]中注記3.2或文獻(xiàn)[9]中引理2.4易得

HomK∞,db(DP )(K-,db(DP ),Kdac(DP ))=0.

對任意復(fù)形X∈K∞,db(DP ), 有

任取D∈DP, 由K∞,db(DP )的定義可知, 存在-m,k∈Z, 使得對任意i<-m和i>k, 均有Hi(HomR(D,X))=0. 下面考慮復(fù)形X′:

X″∶=0→Kerdk+3→Xk+3→Xk+4→….

利用引理1可知X″∈Kdac(DP ). 于是有復(fù)形的短正合列

0→X′→X→X″→0.

(2)

由X′和X″的構(gòu)造易知, 復(fù)形短正合列(2)是層次可裂的, 因此其誘導(dǎo)出同倫范疇K∞,db(DP )中的好三角

X′→X→X″→X′[1].

由穩(wěn)定t-結(jié)構(gòu)的定義可知, (K-,db(DP ),Kdac(DP ))構(gòu)成K∞,db(R) 中的一個穩(wěn)定t-結(jié)構(gòu).

2) 由文獻(xiàn)[2]中穩(wěn)定t-結(jié)構(gòu)的性質(zhì)可知, 典范嵌入i*:K-,db(DP )→K∞,db(DP )有右伴隨i！:K∞,db(DP )→K-,db(DP ). 因為Ding-投射模關(guān)于直和項封閉, 所以K-,db(DP )是三角范疇K∞,db(DP )的厚子范疇. 由引理2知, 存在右的Recollement

Ding-導(dǎo)出范疇[7]定義為一個Verdier商:Dd(R)∶=K(R)/Kdac(R).

引理3設(shè)DP-res.dimR<∞, 則典范嵌入i*:K(DP )→K(R)有右伴隨i!:K(R)→K(DP ). 此外, 函子的自然合成

證明: 只需將文獻(xiàn)[10]中命題3.5的X取為DP即可.

定理2設(shè)DP-res.dimR<∞, 則存在右的Recollement

此時, 若定義K(DP )⊥={X∈K(R)|HomK(R)(Y,X)=0, ?Y∈K(DP )}, 則(K(DP ),K(DP )⊥)是K(R)中的穩(wěn)定t-結(jié)構(gòu).

證明： 由引理3知, 典范嵌入i*:K(DP )→K(R)有一個右伴隨i!:K(R)→K(DP ). 由引理2可得右的Recollement:

此時, i!j*=0. 顯然K(DP )和K(DP )⊥是K(R)的三角子范疇. 利用Recollement的定義, 對K(R)的每個對象X都有好三角i*i!X→X→j*j*X→i*i!X[1]. 因為i*是滿嵌入, 所以i*i!X∈K(DP ). 對任意的G∈K(DP ), 可得

HomK(R)(G,j*j*X)?HomK(R)(i*G,j*j*X)?HomK(R)(G,i!j*j*X)=0,

從而j*j*X∈K(DP )⊥. 因此(K(DP ),K(DP )⊥)是K(R) 中的穩(wěn)定t-結(jié)構(gòu).