初中數(shù)學(xué)常用數(shù)學(xué)思想典題賞析

江蘇省蘇州工業(yè)園區(qū)外國語學(xué)校 楊亞楠

德國著名數(shù)學(xué)家克萊因曾在他的《西方文化中的數(shù)學(xué)》中寫道：數(shù)學(xué)是一種精神，一種理性的精神。正是這種精神，激發(fā)、促進、鼓舞并驅(qū)使人類的思維得以運用到最完善的程度，亦正是這種精神，試圖決定性地影響人類的物質(zhì)、道德和社會生活；試圖回答有關(guān)人類自身存在提出的問題；努力去理解和控制自然；盡力去探求和確立已經(jīng)獲得知識的最深刻的和最完美的內(nèi)涵。

不僅數(shù)學(xué)家體悟到了數(shù)學(xué)的魔力，就連希臘著名哲學(xué)家柏拉圖都在號召：哲學(xué)家也要學(xué)數(shù)學(xué)，因為他必須跳出浩如煙海的萬變現(xiàn)象而抓住真正的實質(zhì)，又因為這是使靈魂過渡到真理和永存的捷徑。

那么，作為初中生，如何才能學(xué)好數(shù)學(xué)呢？有人曾調(diào)侃：數(shù)學(xué)學(xué)霸和學(xué)渣最大的區(qū)別就在于是否會運用數(shù)學(xué)思想方法!數(shù)學(xué)思想方法是數(shù)學(xué)的靈魂和精髓。數(shù)學(xué)思想方法無論在數(shù)學(xué)專業(yè)領(lǐng)域、數(shù)學(xué)教育范圍內(nèi)，還是在其他科學(xué)中，都被廣為使用。

一、整體思想

整體思想是從問題的整體性質(zhì)出發(fā)，突出對問題的整體結(jié)構(gòu)的分析和改造，把某些式子或圖形看成一個整體，把握它們之間的關(guān)聯(lián)，進行有目的的、有意識的整體處理。

例1 已知a-b=3,求2a-2b-1=____。

解析：把“a-b”看成一個整體代入，2a-2b-1=2(a-b)-1=5。

二、方程思想

方程思想是指在確定變量后，找到它們之間的關(guān)系，將實際問題轉(zhuǎn)化成方程或不等式，通過建立方程模型來解決實際問題。

例2 一個凸多邊形的內(nèi)角和是外角和的2倍，它是____邊形。

解析：由于任意多邊形的外角和都是360°，而n邊形的內(nèi)角和是(n-2) 180°。設(shè)這個多邊形是n邊形，根據(jù)題意，得：(n-2)180°=2×360°，解得n=6。

三、函數(shù)思想

函數(shù)的思想是用運動和變化的眼光，分析和研究數(shù)學(xué)中的數(shù)量關(guān)系，從而建立函數(shù)模型，如一次函數(shù)、反比例函數(shù)、二次函數(shù)等，解決實際問題。

例3 某市出租車收費標準：不超過3千米計費為10.0元，3千米后按2.4元/千米計費。

（1）當(dāng)路程表顯示7千米時，應(yīng)付費多少元？

（2）寫出車費 y (元)與路程 x (千米)之間的函數(shù)表達式。

（3）小明乘出租車從家到人才市場，付費34元，求小明的車程。

解析：（1）當(dāng)路程為7千米時，費用為10+（7-3）×2.4=19.6元。

（2）當(dāng)x≤3時，y=10；當(dāng)x≥3時，y=10+(x-3)×2.4，即y=2.4x+2.8。

（3）當(dāng)y=34時，有2.4x+2.8=34,即x=13。答：小明的車程為13千米。

四、轉(zhuǎn)化思想

轉(zhuǎn)化思想是指把我們遇到的問題由陌生知識轉(zhuǎn)化為已學(xué)知識，化繁為簡，化未知為已知，從而解決實際問題。

解析：把分式方程去分母轉(zhuǎn)化為整式方程即可。

兩邊乘（x+3）(x-1)得：2(x-1)=(x+3)，

即2x-2=x+3，

解得x=5。

經(jīng)檢驗：x=5是方程的解。

五、類比思想

把兩個（或兩類）不同的數(shù)學(xué)對象進行對比，如果發(fā)現(xiàn)它們有共同特質(zhì)，可以根據(jù)其中一個數(shù)學(xué)對象的特征來推出另一個對象的特征。例如通過研究正比例函數(shù)的圖象、性質(zhì)及應(yīng)用，類比研究反比例函數(shù)的圖象、性質(zhì)及應(yīng)用。

六、數(shù)形結(jié)合思想

數(shù)形結(jié)合思想就是在研究問題時把數(shù)和形結(jié)合起來考慮，或者把問題的數(shù)量關(guān)系轉(zhuǎn)化為圖形的性質(zhì)，或者把圖形的性質(zhì)轉(zhuǎn)化為數(shù)量關(guān)系，從而使復(fù)雜的問題簡單化，抽象的問題形象化、具體化?！皵?shù)無形，少直觀，形少數(shù)，難入微”，利用“數(shù)形結(jié)合”可使要研究的問題化難為易，化繁為簡。

七、分類討論思想

分類討論就是把研究對象按同一分類標準分成幾個部分或幾種情況，然后逐個解決，最后予以總結(jié)做出結(jié)論的思想方法，其實質(zhì)是化整為零，各個擊破，化大難為小難的策略。

例6 若等腰三角形的一個內(nèi)角為70°，求它的頂角的度數(shù)。

解析：分類討論：

（1）該內(nèi)角為頂角時，頂角為70°。

（2）該內(nèi)角為底角時，則頂角為：180°-70°×2=40°。

故頂角為70°或40°。