基于正態(tài)分布的爆破振動(dòng)評(píng)價(jià)與安全藥量計(jì)算*

張小軍,汪旭光,王尹軍,于亞倫,吳春平,楊德強(qiáng)

(1.北京科技大學(xué)土木與資源工程學(xué)院,北京 100083; 2.北京礦冶研究總院,北京 100160)

20世紀(jì)以來(lái)，工程爆破已深入到國(guó)民經(jīng)濟(jì)建設(shè)的各個(gè)領(lǐng)域，工程爆破是完成人力和機(jī)械力所不能勝任的一種非同尋常的施工方法。但是爆破引起的振動(dòng)是最突出的爆破公害之一，所以進(jìn)行爆破振動(dòng)的安全評(píng)價(jià)是實(shí)現(xiàn)對(duì)它的準(zhǔn)確預(yù)報(bào)、有效控制和安全實(shí)施爆破的迫切需要。爆破引起的質(zhì)點(diǎn)振動(dòng)速度峰值，常用薩道夫斯基公式進(jìn)行計(jì)算，但是爆破引起的巖土質(zhì)點(diǎn)振速實(shí)際峰值v往往隨機(jī)性比較大，它與Q1/3/R的關(guān)系并不是一般意義上的“函數(shù)關(guān)系”，v與Q1/3/R的關(guān)系是“隨機(jī)變量”的“相關(guān)關(guān)系”。其原因是，巖土是經(jīng)過(guò)漫長(zhǎng)地質(zhì)年代形成的地質(zhì)體，其內(nèi)部包含大量的裂隙，這些裂隙相當(dāng)復(fù)雜，造成巖石內(nèi)部的不連續(xù)和不均質(zhì)性，從爆破測(cè)振用回歸分析計(jì)算K、α，也說(shuō)明了這一點(diǎn)。

饒運(yùn)章等[1]利用SPSS(statistical product and service solutions)軟件進(jìn)行了爆破振速衰減規(guī)律計(jì)算；胡建華等[2]利用多元線性回歸方法，分析了單孔爆破條件下的振動(dòng)衰減規(guī)律；盧文波等[3]基于柱面波理論、長(zhǎng)柱狀裝藥中的子波理論以及短柱藥包的應(yīng)力波場(chǎng)Heelan解的分析，推導(dǎo)了巖石爆破中質(zhì)點(diǎn)峰值振動(dòng)速度的衰減公式，對(duì)現(xiàn)有的公式進(jìn)行了改進(jìn)；言志信等[4]探討了爆破振動(dòng)峰值速度預(yù)報(bào)的公式法和Fourmap法，特別地還嘗試了利用人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)預(yù)報(bào)了爆破振動(dòng)峰值速度；高振儒等[5]對(duì)測(cè)試數(shù)據(jù)用不同的置信度進(jìn)行擬合，確定系數(shù)K、α，用安全系數(shù)對(duì)回歸式預(yù)報(bào)爆破振動(dòng)強(qiáng)度的安全性進(jìn)行評(píng)估；呂濤等[6]通過(guò)線性回歸法和非線性回歸法，得到薩道夫斯基公式和其修正公式，研究爆破振動(dòng)衰減規(guī)律。上述研究基本解決了各類(lèi)爆破振動(dòng)衰減公式的求解問(wèn)題，即對(duì)薩道夫斯基公式中K、α的確定，但對(duì)質(zhì)點(diǎn)振速實(shí)際峰值v與Q1/3/R的關(guān)系是“隨機(jī)變量”的“相關(guān)關(guān)系”的特性并沒(méi)有研究。

本文中，基于概率論中的正態(tài)分布對(duì)“隨機(jī)變量”爆破振速峰值v和Q1/3/R的“相關(guān)關(guān)系”特性進(jìn)行分析，利用隨機(jī)變量v的分布函數(shù)提出爆破振動(dòng)安全評(píng)價(jià)的方法，給出安全炸藥量的計(jì)算方法，并通過(guò)案例進(jìn)行驗(yàn)證[7-8]。

1 隨機(jī)變量v的分布函數(shù)

由于薩道夫斯基公式所表達(dá)的是v與Q1/ 3/R的函數(shù)關(guān)系，即對(duì)于給定的Q1/3/R，通過(guò)該公式計(jì)算的v0只是質(zhì)點(diǎn)振速實(shí)際峰值v的期望值或估計(jì)值，實(shí)際值va落在v0的附近，具體在v0的多遠(yuǎn)處與概率有關(guān)，可以看作近似服從正態(tài)分布。通過(guò)分析可以看出，只計(jì)算出K、α，求出的v，可靠度是不高的，要獲得更高的可靠度，必須得出隨機(jī)變量v的分布函數(shù)，當(dāng)然求解過(guò)程仍然離不開(kāi)薩道夫斯基公式。

1.1 線性回歸法確定K、α

為了確定薩道夫斯基公式中的K、α，需要根據(jù)最小二乘法原理[9]，對(duì)實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)使用線性回歸法進(jìn)行擬合。薩道夫斯基公式為：

(1)

式中:v為質(zhì)點(diǎn)的最大振速(cm/s)；Q為單段最大炸藥量(kg)；R為測(cè)點(diǎn)至爆源的距離(m)；K、α為與爆破點(diǎn)地形、地質(zhì)等條件相關(guān)的系數(shù)和衰減指數(shù)；ρ為比例藥量。

從式(1)可以看出，v與Q1/3/R不是線性關(guān)系，為了便于回歸分析，需處理成線性關(guān)系。對(duì)式(1)的兩邊取對(duì)數(shù)，得到：

(2)

設(shè)：

(3)

則式(2)變成：

y=a0+a1x

(4)

式(4)是線性關(guān)系，根據(jù)最小二乘法原理以及實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)，求常數(shù)a0和a1。那么其方程組為：

(5)

式中：m為現(xiàn)場(chǎng)爆破實(shí)驗(yàn)次數(shù)，wi=1。通過(guò)方程組得到a0、a1，再根據(jù)式(3)的變量代換關(guān)系，可得：

K=ea0,α=a1

(6)

1.2 正態(tài)分布函數(shù)

隨機(jī)變量ξ與任一實(shí)數(shù)x的關(guān)系式“ξ≤x”表示一個(gè)事件，即為{w|ξ(w)≤x}。其概率P(ξ≤x)與實(shí)數(shù)x有關(guān)，應(yīng)為實(shí)數(shù)變量x的函數(shù)，稱為隨機(jī)變量的分布函數(shù)[10]，記作Fξ(x)：

Fξ(x)=P(ξ≤x)

(7)

根據(jù)v與Q1/ 3/R關(guān)系分析可以看出，對(duì)于任意給定的Q1/3/R，實(shí)際值va會(huì)落在薩道夫斯基公式計(jì)算的v0附近，偏離v0越遠(yuǎn)，可能性越小，越靠近v0，可能性越大。根據(jù)這個(gè)性質(zhì)，可以近似視隨機(jī)變量v服從正態(tài)分布N(μ，δ2)，μ指按最小二乘法曲線擬合公式的計(jì)算值，δ2指實(shí)際爆破振速峰值偏離擬合公式計(jì)算值的程度：

(8)

(9)

式中：vmea為實(shí)際爆破振速峰值測(cè)量值；vcal為通過(guò)最小二乘法擬合的薩道夫斯基公式計(jì)算的爆破振速峰值；m為現(xiàn)場(chǎng)爆破實(shí)驗(yàn)次數(shù)。所以隨機(jī)變量v服從一個(gè)數(shù)學(xué)期望為μ、方差為σ2的正態(tài)分布，記作v～(μ,σ2)；相應(yīng)的分布函數(shù)是：

(10)

2 爆破振動(dòng)評(píng)價(jià)和安全炸藥量計(jì)算

根據(jù)隨機(jī)變量v的分布函數(shù)，可以計(jì)算振速小于目標(biāo)設(shè)施安全振速的概率，也就是對(duì)目標(biāo)設(shè)施在爆破過(guò)程中得到保護(hù)的情況進(jìn)行評(píng)價(jià)，同時(shí)根據(jù)分布函數(shù)，可以推導(dǎo)目標(biāo)設(shè)施滿足一定可靠性條件的安全炸藥量計(jì)算的概率公式。

2.1 振動(dòng)評(píng)價(jià)

在概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)中，稱N(0,1)為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布，其分布函數(shù)常記為：

(11)

由于正態(tài)分布在概率理論與應(yīng)用中特殊的重要地位，一般的概率統(tǒng)計(jì)著作往往都附有Φ(x)的函數(shù)表。而有關(guān)任何正態(tài)分布N(μ，σ2)的概率計(jì)算問(wèn)題，常常需要借助這些數(shù)表來(lái)解決。事實(shí)上，根據(jù)式(11)，設(shè)ζ～N(μ，σ2)，在計(jì)算P(ξ

(12)

所以為了便于描述，常將正態(tài)變量作數(shù)據(jù)轉(zhuǎn)換。將一般正態(tài)分布轉(zhuǎn)化成標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布。若

服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布，通過(guò)查標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布表就可以直接計(jì)算出原正態(tài)分布的概率。設(shè)保護(hù)目標(biāo)設(shè)施的安全振速為vsaf，單段最大炸藥量為Q0，爆心距R0，根據(jù)式(12)得：

(13)

(14)

令：

(15)

通過(guò)查表得：

Φ(m0)=P0

(16)

所以在對(duì)爆破設(shè)計(jì)的振動(dòng)安全評(píng)價(jià)過(guò)程中，認(rèn)為單段最大炸藥量為Q0、爆心距R0處的目標(biāo)設(shè)施得到保護(hù)的概率為P0。

2.2 安全炸藥量計(jì)算

爆破測(cè)振確定振動(dòng)公式常數(shù)的目的是為了用它來(lái)控制振速，使它小于目標(biāo)設(shè)施的安全振速vsaf。在已知爆心距R時(shí)，只有通過(guò)控制炸藥量Q來(lái)控制振速。使質(zhì)點(diǎn)振速峰值v小于或等于安全振速vsaf的炸藥量稱為安全炸藥量。設(shè)使目標(biāo)設(shè)施得到保護(hù)的概率達(dá)到P1，通過(guò)查表得到Φ(m1)=P1；根據(jù)式(13)，得到：

(17)

即：

(18)

根據(jù)式(14)，得到：

(19)

所以：

(20)

將式(15)代入,得到：

(21)

通過(guò)式(21)，可以求出指定設(shè)施安全概率條件下的單段最大炸藥量，即使目標(biāo)設(shè)施得到保護(hù)的概率[11]達(dá)到P1的安全炸藥量為Q。該式稱為計(jì)算爆破安全炸藥量的概率公式。

3 應(yīng)用案例

3.1 工程概況

西部礦業(yè)股份公司錫鐵山鉛鋅礦位于青海省柴達(dá)木盆地北緣。在鉛鋅礦井下2 702 m水平1025采場(chǎng)爆破過(guò)程中，距爆破點(diǎn)50 m處是運(yùn)輸大巷，里邊有一些重要的設(shè)備設(shè)施。

圖1 數(shù)據(jù)擬合曲線Fig.1 Data fitting curve

為了防止由于爆破振動(dòng)而使巷道損壞，從而造成巷道內(nèi)設(shè)備設(shè)施的破壞，需要對(duì)此次爆破設(shè)計(jì)進(jìn)行振動(dòng)評(píng)價(jià)和單段最大炸藥量計(jì)算。

3.2 振速峰值的分布函數(shù)

根據(jù)錫鐵山鉛鋅礦之前相同水平其他采場(chǎng)的爆破振動(dòng)監(jiān)測(cè)數(shù)據(jù)來(lái)進(jìn)行對(duì)1025采場(chǎng)爆破設(shè)計(jì)，其數(shù)據(jù)見(jiàn)表1。表中，Q為最大一段藥量，R為爆心距，v為水平徑向爆破振動(dòng)速度峰值。

根據(jù)表1，采用線性回歸法[9]擬合薩道夫斯基公式，得到數(shù)據(jù)擬合曲線圖(見(jiàn)圖1)：

v=210.2(Q1/3/R)1.59

(22)

根據(jù)式(14)～(15)，對(duì)表1數(shù)據(jù)進(jìn)行處理，得到數(shù)據(jù)處理結(jié)果,見(jiàn)表2。其中，方差為0.122 cm2/s2。

表1 錫鐵山鉛鋅礦爆破振動(dòng)監(jiān)測(cè)數(shù)據(jù)Table 1 Blasting vibration experiment data

表2 數(shù)據(jù)處理結(jié)果Table 2 Data processing results

所以隨機(jī)變量v服從正態(tài)分布[10]，記作v～(vcal,0.122)；相應(yīng)的分布函數(shù)是：

(23)

3.3 振動(dòng)評(píng)價(jià)和安全藥量

根據(jù)GB 6722-2014《爆破安全規(guī)程》，礦山巷道的安全允許振速15～30 cm/s。為了安全起見(jiàn)，在這里選取其下限作為安全判據(jù)，即vsaf=15 cm/s。根據(jù)保護(hù)目標(biāo)的重要性，設(shè)此次爆破中巷道得到保護(hù)的概率應(yīng)大于95%。通過(guò)查表得到：

Φ(1.65)=0.950 5

(24)

根據(jù)式(21)，取m1=1.65，σ=0.349，R0=50 m，vsaf=15 cm/s，求解得出：

Q=797.89 kg

(25)

那么在爆破設(shè)計(jì)的過(guò)程中，單段最大藥量控制在797.89 kg以內(nèi)，巷道得到保護(hù)的概率在95%以上。如果按照薩道夫斯基公式即式(22)計(jì)算，求解得出：

Q=858.73 kg

(26)

即單段最大炸藥量控制在858.73 kg以內(nèi)。此時(shí)巷道在爆破過(guò)程中得到保護(hù)的概率根據(jù)式(13)、式(15)～(16)計(jì)算：

P(v

(27)

通過(guò)查表得：

Φ(0)= 0.50

(28)

即在爆破過(guò)程中，巷道得到保護(hù)的概率只有50%。

在薩道夫斯基公式和正態(tài)分布函數(shù)公式計(jì)算下，單段最大藥量和爆破后設(shè)施得到保護(hù)概率見(jiàn)表3。

可以看出，用薩道夫斯基公式計(jì)算出的單段最大炸藥量比概率公式多60 kg左右，但是根據(jù)概率公式計(jì)算出的單段最大炸藥量，其可靠性在95%以上，比應(yīng)用薩道夫斯基公式計(jì)算值的可靠性(僅為50%)要高的多。因此，根據(jù)之前爆破震動(dòng)監(jiān)測(cè)數(shù)據(jù)及分析結(jié)果，建議采用式(21)的概率公式來(lái)計(jì)算安全藥量，以保證施爆期間1025采場(chǎng)運(yùn)輸大巷的安全。

表3 單段最大藥量和設(shè)施安全概率Table 3 Single biggest dosage and facilities security probability

4 結(jié) 論

通過(guò)對(duì)正態(tài)分布函數(shù)分析、爆破振動(dòng)評(píng)價(jià)與安全藥量計(jì)算，現(xiàn)得出如下結(jié)論：

(1)巖土內(nèi)部含有大量復(fù)雜的裂隙，巖石內(nèi)部是不連續(xù)和不均質(zhì)性的，爆破引起的質(zhì)點(diǎn)振動(dòng)的實(shí)際振速峰值v是隨機(jī)變量，v=K(Q1/3/R)α是實(shí)際測(cè)點(diǎn)質(zhì)點(diǎn)振動(dòng)速度峰值的期望值或估計(jì)值。

(2)對(duì)任一確定的Q1/3/R，爆破實(shí)際振速峰值v小于目標(biāo)設(shè)施安全振速的概率可以計(jì)算出，即對(duì)保護(hù)對(duì)象的振動(dòng)安全性可以作出評(píng)價(jià)。

(3)為了保證使目標(biāo)設(shè)施得到保護(hù)，有較高的可靠性，安全炸藥量的計(jì)算要應(yīng)用概率公式。

(4)該計(jì)算方法用于爆破的振動(dòng)安全評(píng)價(jià)和安全藥量計(jì)算是可行的、合理的，為爆破振動(dòng)安全評(píng)價(jià)和安全藥量計(jì)算提供了新的方法。