鋼筋混凝土靶侵徹的可壓縮彈-塑性 動態(tài)空腔膨脹阻力模型*

鄧勇軍，宋文杰，陳小偉，姚 勇

(1.中國工程物理研究院總體工程研究所，四川 綿陽 621999； 2.西南科技大學土木工程與建筑學院， 四川 綿陽 621000； 3.西南科技大學工程材料與結構沖擊振動四川省重點實驗室，四川 綿陽 621000； 4.北京大學工學院力學與工程科學系，北京 100871； 5.北京理工大學前沿交叉科學研究院，北京 100871)

鋼筋混凝土廣泛應用于民用建筑以及軍事設施，譬如地下指揮工事、武器彈藥庫、油料庫和機庫等，是主要的抗沖擊防護結構。當這些重要建筑物作為攻擊目標時，如何有效摧毀目標和有效發(fā)揮其防護功能成為主要關注問題。彈體侵徹素混凝土靶，在經驗模型、實驗研究、理論建模和數(shù)值分析方面已形成了一套相對完善的設計方法[1-4]。但實際的防護工程通常為鋼筋混凝土結構，相對于素混凝土，侵徹過程中彈體所受到的阻力應該是由混凝土和鋼筋共同決定，且鋼筋強度、直徑、配筋間距等因素也會嚴重影響彈體侵徹的最終結果。

素混凝土方面，比較成熟的侵徹理論為基于球形和柱形動態(tài)空腔膨脹的剛性彈動力學模型。Forrestal等[5-7]在這方面進行了大量工作，并將其成功應用于混凝土、巖石和土壤介質的侵徹分析中。球形動態(tài)空腔膨脹理論中假定：在無限大介質中，一個空腔從半徑為零開始以速度V向外膨脹，其周圍介質逐漸被壓縮并向外擴展，產生不同的響應區(qū)。對于混凝土類脆性材料來說，當膨脹速度V較低時(通常約為1 000 m/s左右)，大致可以分為5個響應區(qū)，如圖1所示：

(1) 空腔區(qū)(cavity region)，大小一般為彈體直徑；

(2) 粉碎區(qū)(crushed region)，混凝土各個方向(徑向、環(huán)向)均發(fā)生破壞，環(huán)向拉伸斷裂，徑向壓縮潰裂，形成完全破壞；

(3) 破裂區(qū)(cracked region)，混凝土環(huán)向應力達到其抗拉強度值，發(fā)生環(huán)向拉伸斷裂破壞，而徑向一般未達到使混凝土發(fā)生破壞的應力值，不形成徑向潰裂。最終僅表現(xiàn)為環(huán)向單向拉伸裂紋；

(4) 彈性區(qū)(elastic region)，混凝土處于彈性階段；

(5) 未擾動區(qū)(undisturbed rigion)，彈性波未達到區(qū)域，即不受力區(qū)域。

圖1 低速時混凝土空腔膨脹響應分區(qū)Fig.1 Regions of concrete cavity at low expanding speed

圖2 彈性-粉碎區(qū)模型Fig.2 Model of elastic-crushed region

不同分區(qū)的邊界由界面?zhèn)鞑ニ俣人_定。粉碎區(qū)邊界由r=Vt及r=ct確定，破裂區(qū)邊界由r=ct及r=c1t確定，彈性區(qū)邊界由r=c1t與r=cdt確定。其中，r為徑向歐拉坐標，t為時間，V為空腔膨脹速度，c和c1分別為粉碎區(qū)-破裂區(qū)、破裂區(qū)-彈性區(qū)的界面速度，cd為彈性波速度。當空腔膨脹速度較大時，界面速度c將超過c1，破裂區(qū)消失，形成粉碎區(qū)-彈性區(qū)模型，如圖2所示，此時c表示粉碎區(qū)-彈性區(qū)界面?zhèn)鞑ニ俣取?/p>

Forrestal等[7]結合不同的情況，給出了素混凝土不可壓縮彈-塑性模型、可壓縮彈-塑性模型、不可壓縮彈性-破裂-粉碎區(qū)模型及可壓縮彈性-破裂-粉碎區(qū)模型。以 Forrestal等[7]的研究為基礎，Chen等[3]和Li等[8]總結給出了控制剛性彈侵徹力學的2個無量綱特征參數(shù)，即撞擊函數(shù)和彈體幾何函數(shù)，并據(jù)此進一步給出了混凝土靶侵徹/穿甲的初始彈坑、隧道區(qū)及剪切沖塞三階模型。

鋼筋的加入使得非均勻的混凝土材料更為復雜，目前人們對鋼筋混凝土的侵徹機理認識并不完善，即便是在剛性彈正侵徹這種特殊的侵徹條件下，在侵徹阻力計算模型中如何考慮鋼筋作用的阻力項，也沒有較為合理的計算方法。已有鋼筋混凝土靶侵徹實驗表明[9]：鋼筋混凝土中的彈體侵徹阻力相對于素混凝土顯著增加。目前對鋼筋混凝土介質侵徹問題的研究中，通常忽略鋼筋或簡單地等效簡化鋼筋作用[10-12]，或將其等效為強度增強的均勻混凝土介質[13-15]，以及混凝土和薄鋼板的疊壓夾層結構等，這些都較少涉及具體配筋對侵徹過程的影響。值得指出的是，Chen等[16]在先前提出的混凝土靶穿甲三階段模型基礎[3]上，將配筋率和鋼筋單軸拉伸強度作為侵徹過程中的主要影響因素，引入鋼筋無量綱參數(shù)Θ建立了侵徹模型。

綜上所述，可以看到，盡管學者對鋼筋混凝土侵徹問題進行了不同程度的理論建模，但基本上都是將鋼筋混凝土進行等效增強處理，即使部分學者考慮配筋率及鋼筋直接作用的影響，但由于模型局限，仍然尚未提出令人信服的有效、可靠的理論研究方法。對于鋼筋混凝土，鋼筋將對混凝土破裂區(qū)及粉碎區(qū)產生約束并影響各區(qū)域分布，由此顯著影響侵徹阻力的積分效應，從而影響侵徹過程中彈體的侵徹阻力。如何考慮鋼筋對混凝土破裂區(qū)及粉碎區(qū)的約束及對應的空腔膨脹理論完善，目前尚沒有相關分析工作。

本文中，以Forrestal等[7]提出的混凝土可壓縮彈-塑性模型，即彈性-粉碎區(qū)理論模型為基礎(如圖1～2所示)，考慮粉碎區(qū)鋼筋對混凝土的環(huán)向約束作用，建立鋼筋混凝土空腔膨脹的理論模型，以期為提高精確打擊及防護工程設計提供參考。

1 鋼筋的簡化及引入

1.1 基本假設

防護工程中，鋼筋通常分層布置在混凝土不同位置。本文中，假設鋼筋混凝土靶為圖3所示的配筋結構，在彈體沿z軸正侵徹情況下，建立剛性彈體侵徹鋼筋混凝土的理論模型，作以下假設：

(1) 對于彈性-粉碎區(qū)模型，假設彈性區(qū)鋼筋對混凝土的約束作用可以忽略，僅考慮粉碎區(qū)以內的鋼筋對混凝土的約束作用，且粉碎區(qū)以內鋼筋全部受拉屈服；

(2) 僅考慮鋼筋的環(huán)向約束作用，不考慮徑向作用；

(3) 暫不考慮彈體直接撞擊鋼筋的阻力作用。

1.2 鋼筋的約束作用

根據(jù)1.1節(jié)假設，設鋼筋混凝土部分的尺寸為：B×L×H(如圖3所示)，共m層鋼筋分層水平布置在靶體中，層間距為H1，各層鋼筋呈網格形式布置，網格尺寸為a×a(如圖4所示)，鋼筋直徑為d。

圖3 鋼筋混凝土靶示意圖Fig.3 Schematic of reinforced concrete target

圖4 靶體鋼筋布置Fig.4 Steel distribution in target

鋼筋混凝土結構通常采用體積(或截面)配筋率描述鋼筋配置情況，其中體積配筋率即單位體積中鋼筋含量。根據(jù)假設，可知體積配筋率表達式為：

(1)

由于鋼筋網格沿x、y軸方向均為等間距(a×a)布置，則體積配筋率與x、y軸方向的截面配筋率有以下關系：

γx=γy=γV/2

(2)

在鋼筋混凝土中選取微元體dB×dL×dH(圖6)，建立鋼筋與混凝土在微元體上力平衡關系，得到粉碎區(qū)鋼筋帶來的混凝土等效環(huán)向應力(以x方向為例)：

(3)

圖5 膨脹過程中鋼筋變形示意圖Fig.5 Steel deformation while cavity expanding

圖6 鋼筋混凝土微元Fig.6 Infinitesimal of reinforced concrete

由式(2)和(3)可得：

(4)

2 鋼筋混凝土彈性-粉碎區(qū)理論

Forrest等[7]在球形空腔膨脹理論基礎上，給出了完整的素混凝土侵徹理論模型，其中彈性-粉碎區(qū)模型如圖2所示。

考慮混凝土材料可壓縮性時，彈性區(qū)由楊氏模量E和泊松比ν確定，其粉碎區(qū)采用線性壓力-體應變關系和Mohr-Coulomb屈服準則描述：

式中：p為靜水壓力，ρ0、ρ分別為變形前后的材料密度；η為體積應變；K為體積模量，且有E=3K(1-2ν)；σr、σθ(或σφ)分別為素混凝土的徑向、環(huán)向柯西應力(壓為正)；λ和τ分別為壓力硬化系數(shù)和內聚力；Y為單軸抗壓強度。

考慮鋼筋約束作用下，在歐拉坐標系下建立鋼筋混凝土粉碎區(qū)的質量及動量守恒方程：

此時：

(10)

式中：v為粒子速度(徑向為正)，σθ,sc為鋼筋混凝土的環(huán)向應力，σθ為素混凝土環(huán)向應力。

對于鋼筋混凝土，ρ0表示鋼筋混凝土變形前的密度，其表達式為：

ρ0=ρsγV+ρc(1-γV)

(11)

式中：ρs和ρc分別為變形前鋼筋和混凝土密度。

引入無量綱變量及相似變換：

(15)

ξ=r/(ct)

(16)

空腔表面邊界條件為：

U(ξ=ε)=ε

(17)

將控制方程化成適合“龍格-庫塔”方法[17]數(shù)值求解的標準形式：

當配筋率時，式(18)和(19)回歸到可壓縮素混凝土控制方程。與素混凝土理論類似，在彈性-粉碎區(qū)界面處滿足Hugoniot跳躍條件[18]：

式中：下標1和2分別代表彈性區(qū)及粉碎區(qū);ρ為鋼筋混凝土密度，v為粒子速度。根據(jù)(20)，(21)可知界面處(ξ=1)徑向應力和粒子速度連續(xù)：

U2=U1,S2=S1,ρ2=ρ1

(22)

彈性區(qū)中，不考慮鋼筋對阻力的影響，故其解仍與文獻[19]一致，即彈性區(qū)中，密度為鋼筋混凝土未變形時的密度 ，楊氏模量仍為素混凝土的楊氏模量。

式中：cd為一維應變下的塑性體波波速，當ν=1/3時，cp=0.82cd。

可壓縮鋼筋混凝土模型求解的思路為：對于某一侵徹初速度，首先假設一個β的初值，求解出U2和S2，然后通過控制方程逐步向空腔壁面積分，得到無量綱的徑向應力及質點速度(對于彈性-粉碎區(qū)模型，其積分區(qū)間從彈塑性界面ξ=1到空腔壁面ξ=ε)，并判斷質點速度是否滿足邊界條件U(ξ=ε)=ε。若不滿足，更新β初始值，重復前面計算過程直到邊界條件滿足時，得到真實的β=c/cp值所對應的無量綱徑向應力S與V的關系。

3 算例驗證

Forrestal等[7]給出了素混凝土可壓縮情況下，侵徹速度與空腔表面無量綱徑向應力，彈性-粉碎區(qū)界面速度的關系。本文中采用Forrestal等[7]提供的數(shù)據(jù)進行理論模型的有效性驗證。算例中彈體直徑為76.2 mm，彈頭弧形半徑114.3 mm，彈體質量為5.9 kg?；炷敛捎肍orrestal等[7]給出的參數(shù)：體積模量K=6.7 GPa，抗壓強度Y=130 MPa，楊氏模量E=11.3 GPa，泊松比ν=0.22，抗拉強度f=13 MPa，密度ρc=2 260 kg/m3，壓力硬化系數(shù)λ=0.67，內聚力τ=100.97 MPa。鋼筋參數(shù)：直徑為6 mm，抗拉強度fs=400 MPa，楊氏模量Es=200 GPa，密度ρs=7 800 kg/m3。

通過式(18)和(19)，求出當配筋率為0時，鋼筋混凝土理論模型的空腔表面無量綱徑向應力和彈性-粉碎區(qū)界面速度值，與Forrestal等[7]素混凝土結果對比見圖7和圖8。從圖7、8可知，當配筋率為0時，鋼筋混凝土侵徹理論模型與Forrestal素混凝土模型[7]計算結果吻合，這表明本文的鋼筋混凝土侵徹理論模型對Forrestal素混凝土模型[7]是包容的。

圖7 配筋率為零時鋼筋混凝土 空腔表面徑向應力-侵徹速度關系Fig.7 Relationship between radial stress at cavity surface and penetration speed at zero reinforcement ratio

圖8 配筋率為零時鋼筋混凝土 塑性-彈性界面速度-侵徹速度關系Fig.8 Speed of plastic-elastic interface vs. penetration speed at zero reinforcement ratio

為分析鋼筋約束作用對空腔壁面無量綱徑向應力的影響，在鋼筋混凝土內通過改變鋼筋網格的層間距以獲得不同的配筋率。此處結合工程實際，分別考慮了體積配筋率為0(素混凝土)、0.6%、3%、6%的結果，分別對應于Sliter[12]和Chen等[16]文中截面配筋率分類：低配筋率(低于0.3%)、中配筋率(0.3%～1.5%)以及高配筋率(1.5%～3%)。

由圖1可知，在彈性-粉碎區(qū)模型中，c在一定程度上反映了空腔膨脹過程中粉碎區(qū)的幾何尺寸變化。

圖9給出了不同配筋率下粉碎區(qū)-彈性區(qū)界面速度-侵徹速度關系，從圖9中可以看出：對于可壓縮情況，可以發(fā)現(xiàn)，隨著配筋率的增大，界面速度c幅值呈減小的趨勢，表明混凝土受鋼筋的環(huán)向約束作用的影響，彈性-粉碎區(qū)界面速度降低，即粉碎區(qū)的尺寸相對減小，說明鋼筋對混凝土粉碎區(qū)產生約束并影響了各區(qū)域分布。

圖10給出了不同配筋率條件下無量綱徑向應力與侵徹速度的關系。結果表明：初始侵徹速度一定時，隨著配筋率的增加，徑向應力顯著增大。如初始侵徹速度為600 m/s、體積配筋率為3%時，徑向應力增大比例為4.91%；當體積配筋率達到6%時，徑向應力增大比例增加至9.67%。同一配筋率下，初始侵徹速度增加，徑向應力增大幅度加大。如體積配筋率為6%、初始侵徹速度為200m/s時，徑向應力增大比例為8.07%；初始侵徹速度為800 m/s時，徑向應力增大比例達到9.91%，說明在侵徹速度較高時，鋼筋約束效應對侵徹阻力影響較為顯著。從圖10中還可看出，體積配筋率為3%(截面配筋率為1.5%)及以下時，鋼筋的作用較小，與Sliter[12]給出的結論一致。

圖9 不同配筋率下粉碎區(qū)-彈性區(qū)界面速度-侵徹速度關系Fig.9 Speed of plastic-elastic interface vs. penetration speed at different reinforcement ratios

圖10 不同配筋率下徑向應力-侵徹速度關系Fig.10 Relationship between radial stress and penetration speed at different reinforcement ratios

圖11 可壓縮系數(shù)A、B、C與體積配筋率變化關系Fig.11 Relationship between coefficients of A, B, C and reinforced ratios

為便于在工程中應用，對于素混凝土彈-塑性模型，F(xiàn)orrestal等[7]根據(jù)理論解，對空腔壁面的徑向應力表達式采用如下公式進行簡化：

(26)

式中：A0=4.50，B0=0.75，C0=1.29。對于鋼筋混凝土靶，由圖10結果可知，仍然可以采用Forrestal[7]的方法，將空腔壁面的徑向應力表達式進行如下簡化：

(27)

與Forrestal等[7]不同的是，式(27)中A、B、C為體積配筋率γV的函數(shù)。根據(jù)不同配筋率下多種工況的計算，得到不同配筋率情況下的多組待定系數(shù)(A、B、C)，然后通過分析，找到待定系數(shù)與配筋率的簡易關系。對計算的數(shù)據(jù)進行擬合，發(fā)現(xiàn)A、B、C與體積配筋率γV呈線性關系，如圖11所示。

根據(jù)擬合，得到：

A(γV)=A0+A1γV,B(γV)=B0+B1γV

C(γV)=C0+C1γV

(28)

本次算例中A1=1.79,B1=4.26,C1=0.95。則鋼筋混凝土徑向應力可表示為混凝土+鋼筋應力形式：

(29)

當γV=0時，表示素混凝土。模型中未考慮彈與靶的接觸摩擦阻力，且常數(shù)A0、A1、B0、B1、C0、C1根據(jù)不同的初始參數(shù)確定。

4 結 論

本文基于球形動態(tài)空腔膨脹理論模型，在Forrestal素混凝土彈性-塑性區(qū)模型[7]的基礎上，提出了一個適用于剛性彈侵徹鋼筋混凝土靶的計算模型。通過與素混凝土理論結果對比分析，得到以下結論：(1) 相對于素混凝土模型，鋼筋對混凝土的環(huán)向約束效應提高了空腔表面的徑向應力，且徑向應力隨配筋率的增加而增大;(2) 鋼筋對混凝土的約束作用影響了空腔膨脹過程中混凝土各區(qū)域大小的分布;(3) 模型中通過引入配筋率因素，可以全面地反映配筋間距，網格尺寸等具體的配筋情況對侵徹過程的影響。