淺談如何在高等代數(shù)教學(xué)中培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新思維能力

曾友芳　鄭海艷

摘要：在對(duì)創(chuàng)新型人才需求大大增加的“互聯(lián)網(wǎng)+”時(shí)代，大學(xué)教育比以往更重視創(chuàng)新型人才的培養(yǎng)。作為數(shù)學(xué)重要的核心基礎(chǔ)課程，高等代數(shù)需要在教學(xué)過(guò)程中注重培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新思維能力。本文就此探討了一些培養(yǎng)創(chuàng)新思維能力的方法。

關(guān)鍵詞：高等代數(shù)；創(chuàng)新思維；能力培養(yǎng)

中圖分類(lèi)號(hào)：G642.0 文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A 文章編號(hào)：1674-9324（2018）29-0196-03

2015年3月，李克強(qiáng)總理在政府工作報(bào)告中首次提出“互聯(lián)網(wǎng)+”行動(dòng)計(jì)劃。2015年7月，國(guó)務(wù)院印發(fā)《關(guān)于積極推進(jìn)“互聯(lián)網(wǎng)+”行動(dòng)的指導(dǎo)意見(jiàn)》。2015年10月，中國(guó)共產(chǎn)黨第十八屆中央委員會(huì)第五次全體會(huì)議指出：實(shí)施網(wǎng)絡(luò)強(qiáng)國(guó)戰(zhàn)略，實(shí)施“互聯(lián)網(wǎng)+”行動(dòng)計(jì)劃，發(fā)展分享經(jīng)濟(jì)，實(shí)施國(guó)家大數(shù)據(jù)戰(zhàn)略。自此，“互聯(lián)網(wǎng)+”成為整個(gè)國(guó)家經(jīng)濟(jì)轉(zhuǎn)型、創(chuàng)新驅(qū)動(dòng)的一個(gè)重要工具和手段，我國(guó)進(jìn)入到了“大眾創(chuàng)業(yè)，萬(wàn)眾創(chuàng)新”的時(shí)代。在“互聯(lián)網(wǎng)+”時(shí)代，對(duì)創(chuàng)新創(chuàng)業(yè)型人才的需求大大增加，而大學(xué)就是培養(yǎng)創(chuàng)新人才的重要基地。

創(chuàng)新就需要有創(chuàng)新意識(shí)和行動(dòng)的人才，而創(chuàng)新的人才需要?jiǎng)?chuàng)新的教育。創(chuàng)新教育是適應(yīng)社會(huì)發(fā)展和時(shí)代要求的教育，是與時(shí)俱進(jìn)的教育，它相對(duì)于傳統(tǒng)教育來(lái)說(shuō)是一種全新的思想和理念，是以培養(yǎng)創(chuàng)新精神、創(chuàng)新能力、創(chuàng)新意識(shí)、創(chuàng)新思維等為目的的教育[1]。大學(xué)期間，本科生將接觸很多課程，每門(mén)課程都有相應(yīng)的培養(yǎng)目標(biāo)，通過(guò)學(xué)習(xí)而得到相應(yīng)能力的提升。而高等代數(shù)作為一門(mén)大學(xué)數(shù)學(xué)核心且重要的基礎(chǔ)課程，既具備數(shù)學(xué)嚴(yán)謹(jǐn)、靈活和簡(jiǎn)潔的特點(diǎn)，又具備計(jì)算題結(jié)構(gòu)清晰步驟明確的特點(diǎn)，可以通過(guò)計(jì)算機(jī)及應(yīng)用軟件方便地操作實(shí)現(xiàn)，利于培養(yǎng)數(shù)學(xué)建模思想，符合創(chuàng)新人才的培養(yǎng)方向。通過(guò)“互聯(lián)網(wǎng)+”時(shí)代對(duì)創(chuàng)新人才的需求來(lái)設(shè)計(jì)高等代數(shù)的教學(xué)改革，凸顯高等代數(shù)為培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新思維能力所做的調(diào)整，實(shí)現(xiàn)教學(xué)內(nèi)容的深度學(xué)習(xí)和實(shí)戰(zhàn)能力的培養(yǎng)。

傳統(tǒng)的高等代數(shù)教學(xué)總是根據(jù)教學(xué)內(nèi)容和教學(xué)大綱來(lái)設(shè)計(jì)教案，教師講授為主，用的是知識(shí)輸入理念，為此，大部分學(xué)生總是被動(dòng)地接受知識(shí)，沒(méi)有主動(dòng)的思考，漸漸地失去了興趣，只有少數(shù)對(duì)數(shù)學(xué)有濃厚興趣的學(xué)生主動(dòng)通過(guò)學(xué)習(xí)去鍛煉自己的創(chuàng)新思維能力。正如愛(ài)因斯坦所說(shuō)：“結(jié)論幾乎總是以完成的形式出現(xiàn)在讀者面前，讀者體驗(yàn)不到探索和發(fā)現(xiàn)的喜悅，感覺(jué)不到思想形成的生動(dòng)過(guò)程，也很難達(dá)到清楚地理解全部情況”。基于時(shí)代對(duì)創(chuàng)新人才培養(yǎng)的需求，很多學(xué)者已經(jīng)做了這方面的探索[2-5]，筆者根據(jù)多年的教學(xué)改革經(jīng)驗(yàn)，以高等代數(shù)經(jīng)典教材[6]為參考，通過(guò)實(shí)例從四方面總結(jié)闡述如下。

一、溫故而知新，類(lèi)比遷移法

高等代數(shù)教材[6]的第2章是關(guān)于多項(xiàng)式的理論初步的，尤其以一元多項(xiàng)式為主。而在其間，涉及到多項(xiàng)式的整除性（帶余除法）、最大公因式及如何表示成多項(xiàng)式的線性組合、互素、分解等概念，在第1章基本概念中介紹整數(shù)的一些整除性質(zhì)的時(shí)候都有類(lèi)似結(jié)果。顯然，借助第1章關(guān)于整數(shù)的對(duì)應(yīng)知識(shí)來(lái)幫助理解第2章的知識(shí)，起步就容易很多。不然，隨后抽象的理論和嚴(yán)謹(jǐn)?shù)淖C明，以及多項(xiàng)式的輾轉(zhuǎn)相除法、在不同數(shù)域的分解等，這些較深的知識(shí)就會(huì)讓學(xué)生望而卻步，有了前面基礎(chǔ)概念的鋪墊，逐步加深到這些知識(shí)，學(xué)生就更易于接受。

從這里可以看到，要?jiǎng)?chuàng)新，先要有根基，有一定的理論和實(shí)踐基礎(chǔ)以及經(jīng)驗(yàn)，然后再逐步推廣到更深領(lǐng)域。通過(guò)高等代數(shù)中類(lèi)似遷移法的學(xué)習(xí)，增強(qiáng)了學(xué)生們自學(xué)的能力和創(chuàng)新的信心。

二、敢于嘗試多利用計(jì)算機(jī)軟件解決問(wèn)題

高等代數(shù)主要由多項(xiàng)式理論初步和線性代數(shù)基礎(chǔ)組成。在以往的學(xué)習(xí)中，注意到線性代數(shù)部分有很多計(jì)算題是結(jié)構(gòu)清晰而計(jì)算步驟明確的，對(duì)于這種類(lèi)型，已經(jīng)有多本書(shū)籍總結(jié)了如何使用MATLAB軟件來(lái)快捷地計(jì)算。而其中，有些問(wèn)題在未嘗試前或按常規(guī)計(jì)算后，估計(jì)或發(fā)現(xiàn)用MATLAB算不了，這時(shí)候，究竟是放棄還是繼續(xù)嘗試？在課堂中，筆者常把此類(lèi)問(wèn)題留給學(xué)生課后去思考和解決，然后下次課堂上再繼續(xù)討論。比如計(jì)算帶有字母的n階行列式D，事實(shí)上，不賦值給n的時(shí)候并不能順利地輸出矩陣，進(jìn)而無(wú)法計(jì)算行列式。即使n比較大，也可以通過(guò)命令計(jì)算，就算里面含有字母而不全是數(shù)字。例如：

例1. 計(jì)算帶有字母的4階矩陣A的行列式。

>> syms x y

>> A=[x x*y 0 0；1 x+y x*y 0；0 1 x+y x*y；0 0 1 x+y]

A =

[ x， x*y， 0， 0]

[ 1， x + y， x*y， 0]

[ 0， 1， x + y， x*y]

[ 0， 0， 1， x + y]

>> det（A）

ans =

x^4

例2. 計(jì)算賦值給n的行列式D，比如n=6。

>> n=6；

A=2*eye（n）；

for i=1：n-1

A（i+1，i）=-1；

A（i，i+1）=-1；

end

>> A

A =

2 -1 0 0 0 0

-1 2 -1 0 0 0

0 -1 2 -1 0 0

0 0 -1 2 -1 0

0 0 0 -1 2 -1

0 0 0 0 -1 2

>> D=det（A）

D =

7.0000

另一方面，注意到多項(xiàng)式理論初步的很多方法筆算比較繁瑣，比如輾轉(zhuǎn)相除法求最大公因式問(wèn)題，此時(shí)若用MATLAB命令求解，就很快捷。其他類(lèi)似的計(jì)算問(wèn)題都可以多一些這樣的思考。有了興趣和實(shí)踐，就能不斷推進(jìn)學(xué)生使用計(jì)算機(jī)解決高等代數(shù)中計(jì)算題的意識(shí)，從而有利于數(shù)學(xué)建模。在遇到問(wèn)題、嘗試解決問(wèn)題的過(guò)程中，創(chuàng)新思維能力得到了培養(yǎng)和提升。

三、一題多解，融會(huì)貫通

在高等代數(shù)的練習(xí)中，無(wú)論證明題還是計(jì)算題，筆者都鼓勵(lì)學(xué)生思考是否可以一題多解。尤其是遇到用課本上介紹的方法來(lái)做習(xí)題并不簡(jiǎn)單的時(shí)候。比如在講授利用艾森斯坦判斷法來(lái)判別整系數(shù)多項(xiàng)式在有理數(shù)域上不可約時(shí)，介紹了一種間接方法——換元法。教材[6]中以判斷分圓多項(xiàng)式

f（x）=x■+x■+…+x+1（p是素?cái)?shù)）

為例，采用x=y+1換元，得到關(guān)于y的整系數(shù)多項(xiàng)式g（y），此時(shí)利用艾森斯坦判斷法可判別g（y）在有理數(shù)域上不可約，可證相應(yīng)的f（x）也在有理數(shù)域上不可約。基于此，學(xué)生在做課后習(xí)題的時(shí)候，大都使用了這樣的換元方式，但有個(gè)別學(xué)生突發(fā)奇想，考慮到既然是換元法，就可以采用其他更合適的換元方式。例如：

例3. 判斷多項(xiàng)式f（x）=x■+x■+1在有理數(shù)域上是否可約。（教材[6]§2.8，習(xí)題1（iv））

此題若設(shè)x■=y，則可得g（y）=f（■）=y■+y+1，這是一個(gè)p=3的分圓多項(xiàng)式，因此g（y）在有理數(shù)域上不可約，從而可知f（x）=x■+x■+1在有理數(shù)域上也不可約。

此外，將其他數(shù)學(xué)課程的內(nèi)容應(yīng)用于高等代數(shù)的一題多解中，融會(huì)貫通。比如，將數(shù)學(xué)分析里學(xué)習(xí)的泰勒定理用于解決“將多項(xiàng)式f（x）表成（x-a）的多項(xiàng)式”這樣的問(wèn)題，在高等代數(shù)里，介紹的是反復(fù)利用綜合除法。同時(shí)，學(xué)生還考慮到充分利用函數(shù)導(dǎo)數(shù)和特殊值來(lái)確定待定系數(shù)的方法。

通過(guò)這樣的引導(dǎo)和討論，學(xué)生的學(xué)習(xí)熱情不斷高漲，思維更加開(kāi)闊，非常有益于創(chuàng)新思維能力的培養(yǎng)。

四、善于總結(jié)，勤于思考

在向量空間相關(guān)內(nèi)容的學(xué)習(xí)過(guò)程中，有很多抽象概念和結(jié)論，但是，如果能夠很好地進(jìn)行整理和總結(jié)，并思考如何把內(nèi)容之間的脈絡(luò)理清，不失為打下扎實(shí)基礎(chǔ)的很好的學(xué)習(xí)方式。同樣，對(duì)于高等代數(shù)中的其他有關(guān)聯(lián)的章節(jié)，都可以進(jìn)行歸納總結(jié)。比如：從將一般的實(shí)二次型化為規(guī)范形到對(duì)稱(chēng)矩陣的對(duì)角化問(wèn)題，其間包括了如何求方陣的特征值和特征向量，并可進(jìn)一步判斷二次型和對(duì)稱(chēng)矩陣的正定性。

善于總結(jié)，勤于思考，可以激發(fā)靈感，促進(jìn)創(chuàng)新意識(shí)和養(yǎng)成喜歡創(chuàng)新的習(xí)慣，同時(shí)，不斷積累的基礎(chǔ)也使創(chuàng)新能力得到質(zhì)的提高。

五、結(jié)束語(yǔ)

培養(yǎng)大學(xué)生的創(chuàng)新能力是落實(shí)素質(zhì)教育、培養(yǎng)高質(zhì)量應(yīng)用型人才的重要體現(xiàn)。在“互聯(lián)網(wǎng)+”時(shí)代，創(chuàng)新創(chuàng)業(yè)教育已成為大眾化的高等教育創(chuàng)新發(fā)展的必然要求，是現(xiàn)代教育改革的趨勢(shì)和高校未來(lái)發(fā)展的方向。但是培養(yǎng)人才不是一蹴而就的事情，需要多方面的努力。而高校學(xué)生更是通過(guò)各門(mén)課程的學(xué)習(xí)和參與實(shí)踐來(lái)提高自己的知識(shí)水平、創(chuàng)新能力和實(shí)戰(zhàn)能力。通過(guò)高等代數(shù)教學(xué)改革促進(jìn)創(chuàng)新人才培養(yǎng)是值得探索的一條改革路線，筆者將與同行一道，為增強(qiáng)學(xué)生的創(chuàng)新意識(shí)和創(chuàng)新能力，提高他們的探索意識(shí)和興趣，進(jìn)一步探索改革的方法，以加深學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的理解和擴(kuò)大學(xué)生應(yīng)用數(shù)學(xué)解決實(shí)際問(wèn)題的創(chuàng)新能力。

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