微積分應(yīng)用在經(jīng)濟(jì)應(yīng)用數(shù)學(xué)中的教學(xué)思考

裴勝玉　童浪　李忠輝　李霞　江瑾　黃敬瑜

摘要：數(shù)學(xué)在經(jīng)濟(jì)生活中的應(yīng)用非常廣泛，微積分不僅是經(jīng)濟(jì)應(yīng)用數(shù)學(xué)中的重要組成部分，同時(shí)也是對(duì)社會(huì)經(jīng)濟(jì)現(xiàn)象進(jìn)行定性和定量分析的必要工具。在教學(xué)過程中，啟發(fā)式教學(xué)不能單純講理論講方法。本文以投資問題和洛倫茲曲線問題兩類典型應(yīng)用作為例子，剖析微積分的概念，探索微積分在社會(huì)經(jīng)濟(jì)生活服務(wù)中的魅力。從而論證了啟發(fā)式教學(xué)中專業(yè)實(shí)際相結(jié)合的重要性。

關(guān)鍵詞：微積分；經(jīng)濟(jì)應(yīng)用；啟發(fā)式教學(xué)；洛倫茲曲線

中圖分類號(hào)：O172 文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A 文章編號(hào)：1674-9324（2018）27-0073-03

一、問題情境

（一）導(dǎo)語(yǔ)

恩格斯曾給數(shù)學(xué)下過一個(gè)定義，數(shù)學(xué)是研究現(xiàn)實(shí)生活中數(shù)量關(guān)系和空間形式的科學(xué)[2]?？梢姅?shù)學(xué)是其他一切自然科學(xué)的根源。在《自然辯證法》中，恩格斯闡述了微積分產(chǎn)生的重大意義，文中闡述：“在一切理論成就中，未必再有什么像17世紀(jì)下半葉微積分的發(fā)明那樣被看作人類精神的最高勝利了”，“自然界運(yùn)用這些微分即分子時(shí)所使用的方式和所依據(jù)的規(guī)律，完全和數(shù)學(xué)運(yùn)用其抽象的微分時(shí)的方式和規(guī)律相同”。微積分的產(chǎn)生，為其他科學(xué)技術(shù)的發(fā)展提供了重要的理論方法。例如，利用導(dǎo)數(shù)研究經(jīng)濟(jì)函數(shù)（如需求函數(shù)、成本函數(shù)、收入函數(shù)和利潤(rùn)函數(shù)等）的邊際變化的方法，稱為邊際分析方法，比如邊際成本，邊際收入和邊際利潤(rùn)，這里的邊際函數(shù)，就是它的導(dǎo)數(shù)[3][4][5]。

教學(xué)主體為財(cái)經(jīng)類院校學(xué)生，學(xué)生在專業(yè)學(xué)習(xí)中遇到的經(jīng)濟(jì)問題多，但缺乏問題分析的能力，特別是微積分這部分的知識(shí)。下面將以投資問題和洛倫茲曲線問題這兩類典型應(yīng)用作為例子，對(duì)微積分在經(jīng)濟(jì)中的應(yīng)用進(jìn)行分析和探討。

（二）投資問題[7][10]

問題情境：投資問題是人們常常關(guān)注的重要問題之一，人們常說：“理財(cái)有風(fēng)險(xiǎn)，投資需謹(jǐn)慎”。通過投資，希望獲取收益的同時(shí)，也需要考慮風(fēng)險(xiǎn)問題，投資要為自己的錯(cuò)誤買單，為自己的正確狂歡。

例1 張三一家人最近考慮購(gòu)買一套商品房，需要向銀行抵押借貸S=72萬。設(shè)貸款年利率為r，每月等額還款，N=30年內(nèi)還清貸款，每月應(yīng)還銀行P元。如果銀行的年利率由10%增加到10.3%，試估算張三每月向銀行多付多少貸款？

分析：銀行還款方法有等額本金還款法和等額本息還款法兩種，本例探討的是等額本息還款法。該案例運(yùn)用到了微積分中的求導(dǎo)法則，微分近似表示。通常把自變量x的增量Δx稱為自變量的微分，記作dx，即dx=Δx。于是函數(shù)y=f（x）的微分又可記作dy=f′（x）dx。函數(shù)的微分與自變量的微分之商等于該函數(shù)的導(dǎo)數(shù)。P的求解與變量S，r，N有關(guān)，下面計(jì)算各月還款后仍所欠貸款。

第1個(gè)月：S（1+ ）-P

第2個(gè)月：（S（1+ ）-P）（1+ ）-P=S（1+ ） -

P[1+（1+ ）]

第3個(gè)月：（（S（1+ ）-P）（1+ ）-P）（1+ ）-P=

S（1+ ） -P[1+（1+ ）+（1+ ） ]

第n個(gè)月：S（1+ ） -P[1+（1+ ）+（1+ ） +…+（1+ ） ]

解：（1）P的求解如下

當(dāng)最后一月還款后，所欠貸款為0。

S（1+ ） -P[1+（1+ ）+（1+ ） +…+

（1+ ） ]=0

？圯720000（1+ ） -P[1+（1+ ）+（1+ ） +…+

（1+ ） ]=0

？圯720000（1+ ） -P =0

？圯P=f（r）=

？圯P=f（0.1）=6318.515305

（2）每月向銀行多付貸款計(jì)算如下

ΔP≈dP=f′（r）dr，r=0.1，dr=0.1-0.103=-0.003

f′（r）= +

f′（0.1）=53205.596878828

ΔP≈dP=f′（r）dr=53205.596878828×0.003=159.61679

等額本金還款法和等額本息還款法略有不同，要根據(jù)具體情況來選擇相應(yīng)的還款方法。

（三）洛倫茲曲線問題[7][10]

問題情境：洛倫茲曲線研究的是國(guó)民收入在國(guó)民之間的分配問題。為了研究國(guó)民收入在國(guó)民之間的分配問題，美國(guó)統(tǒng)計(jì)學(xué)家（或說奧地利統(tǒng)計(jì)學(xué)家）M.O.洛倫茲（Max Otto Lorenz，1903- ）1907年（或說1905年）提出了著名的洛倫茲曲線。意大利經(jīng)濟(jì)學(xué)家基尼在此基礎(chǔ)上定義了基尼系數(shù)。

洛倫茲曲線用以比較和分析一個(gè)國(guó)家在不同時(shí)代或者不同國(guó)家在同一時(shí)代的財(cái)富不平等，該曲線作為一個(gè)總結(jié)收入和財(cái)富分配信息的便利的圖形方法得到廣泛應(yīng)用。

定義（基尼系數(shù)）：設(shè)實(shí)際收入分配曲線和收入分配絕對(duì)平等曲線之間的面積為A，實(shí)際收入分配曲線右下方的面積為B。其計(jì)算公式如下。

r=

顯然，基尼系數(shù)不會(huì)大于1，也不會(huì)小于零。聯(lián)合國(guó)有關(guān)組織規(guī)定，基于“基尼系數(shù)”的經(jīng)濟(jì)學(xué)判斷。一般來說，一個(gè)國(guó)家的收入分配，既不是完全不平等，也不是完全平等，而是介于兩者之間。

例2 表2給出了1989年美國(guó)家庭收入的具體數(shù)據(jù)，試運(yùn)用基尼系數(shù)分析該國(guó)家庭收入分配差距情況。

分析：表2將1989年美國(guó)家庭收入分為8個(gè)不同的組，每組對(duì)應(yīng)著相應(yīng)的家庭戶數(shù)，實(shí)際收入，利用這些數(shù)據(jù)材料，首先可以獲得相應(yīng)的洛倫茲曲線，然后通過非線性多項(xiàng)式擬合的方法近似給出相應(yīng)曲線的多項(xiàng)式函數(shù)，最后通過微積分中的定積分的相關(guān)概念求出面積A和B，進(jìn)而計(jì)算獲得基尼系數(shù)，并對(duì)收入差距情況進(jìn)行科學(xué)判斷。

解：（1）繪制洛倫茲曲線（見下頁(yè)圖1）

（2）多項(xiàng)式擬合曲線（見下頁(yè)圖2）

（3）求解基尼系數(shù)（見下頁(yè)圖3）

A+B的面積= f（x）dx= （-0.8977x +12.01x - 29.185x+23.136）dx

≈12.3224083

B的面積= g（x）dx= （0.4998x -9.1692x + 56.096x -124.77x+81.328）dx

≈4.7423133

A的面積= f（x）dx- g（x）dx= （f（x）-g（x））dx=7.580095

基尼系數(shù)：r= = = ≈0.615147

因?yàn)閞≥0.5，根據(jù)判斷，1989年美國(guó)家庭收入差距懸殊。

在案例2中，本文運(yùn)用多媒體技術(shù)，將美國(guó)家庭收入的具體數(shù)據(jù)運(yùn)用圖象描繪出來，引導(dǎo)學(xué)生通過觀察，理解洛倫茲曲線；更進(jìn)一步，通過多項(xiàng)式擬合的方式，幫助學(xué)生理解曲線的求解思路；最后探討隱藏在數(shù)據(jù)中的經(jīng)濟(jì)實(shí)質(zhì)問題。

二、結(jié)論

本文以投資問題和洛倫茲曲線問題兩類典型應(yīng)用作為例子，針對(duì)財(cái)經(jīng)類專業(yè)實(shí)際，設(shè)置問題情境，通過逐步引導(dǎo)，挖掘本質(zhì)，將微積分知識(shí)闡述到位，牢牢抓住教與學(xué)的關(guān)系，教是引導(dǎo)，學(xué)是主導(dǎo)。運(yùn)用微積分的相關(guān)概念，探索微積分在社會(huì)經(jīng)濟(jì)生活服務(wù)中的魅力。當(dāng)然，兩個(gè)典型應(yīng)用不僅僅運(yùn)用到微積分的相關(guān)知識(shí)，還運(yùn)用到了數(shù)學(xué)歸納法、多項(xiàng)式擬合等理論知識(shí)。數(shù)學(xué)在經(jīng)濟(jì)生活中的應(yīng)用非常廣泛[6][8][9]，微積分不僅是經(jīng)濟(jì)應(yīng)用數(shù)學(xué)中的重要組成部分，同時(shí)也是對(duì)社會(huì)經(jīng)濟(jì)現(xiàn)象進(jìn)行定性和定量分析的必要工具。通過本文的闡述，論證了啟發(fā)式教學(xué)中專業(yè)實(shí)際相結(jié)合的重要性。

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