《平面向量》解題錯(cuò)因探析及預(yù)警教學(xué)策略研究

周巧菊 寧文輝

(湖南省常德市鼎城區(qū)第一中學(xué) 415101)

一、問題的提出

《平面向量》作為高中數(shù)學(xué)的一塊重要內(nèi)容，它在數(shù)學(xué)領(lǐng)域應(yīng)用很廣，這決定了它的基礎(chǔ)地位.在數(shù)學(xué)教學(xué)中，國(guó)內(nèi)國(guó)外有很多教師對(duì)向量的教學(xué)已有較深的研究.學(xué)生在學(xué)習(xí)平面向量時(shí)，常出現(xiàn)的一些典型錯(cuò)題，筆者也有一些研究.

二、平面向量中的典型錯(cuò)題

平面向量是數(shù)學(xué)中基本和重要概念之一，是溝通代數(shù)和幾何的重要工具，在實(shí)際中也有廣泛的應(yīng)用.通過學(xué)生的典型錯(cuò)題，錯(cuò)因探析，形成預(yù)警教學(xué)策略，這樣能讓學(xué)生正確理解和掌握平向量有關(guān)概念，形成嚴(yán)謹(jǐn)?shù)臄?shù)學(xué)思維，提高學(xué)生的邏輯分析能力和解決問題能力.

1.平面向量的有關(guān)概念

例1 (教材P78第6題(1)、(4)問)判斷下列結(jié)論是否正確：

(1)若a，b都是單位向量，則a=b.

(2)直角坐標(biāo)平面上的x軸、y軸都是向量.

易錯(cuò)解答：(1)對(duì)；(2)對(duì).

正確解答：(1)錯(cuò)；(2)錯(cuò).

錯(cuò)因探析向量的概念有兩個(gè)基本要素：向量的大小(模)與方向.向量的有關(guān)概念的理解應(yīng)抓住這兩個(gè)基本要素.相等向量是長(zhǎng)度相等且方向相同的向量，而單位向量是模等于1個(gè)單位的向量，兩個(gè)單位向量的方向并不一定相同；而x軸、y軸只有方向，沒有大小，因而不是向量.這兩個(gè)小題的錯(cuò)因都是概念理解不到位，屬于思維中的大前提錯(cuò)誤.

預(yù)警教學(xué)策略此類概念錯(cuò)誤在學(xué)生初學(xué)時(shí)極易出現(xiàn)，在教學(xué)時(shí)教師注重引導(dǎo)學(xué)生對(duì)基本概念的理解，形成清晰的判斷標(biāo)準(zhǔn).具體地，可把一些易混淆的概念放在一起讓學(xué)生自己進(jìn)行比較辨析，加深學(xué)生對(duì)基本概念的理解.

例2 下列向量中，可以作為基底的是

A．e1=(0,0),e2=(-1,2)

C．e1=(3,5),e2=(-6,-10)

D．e1=(1,-2),e2=(5,7)

易錯(cuò)解答：選A. 或選B、C.

正確解答：選D.

錯(cuò)因探析平面內(nèi)兩個(gè)不共線的向量叫做平面內(nèi)所有向量的一組基底.對(duì)這個(gè)命題，學(xué)生在學(xué)習(xí)時(shí)只是機(jī)械地接受，并沒有獲得本質(zhì)上的理解.反之，如果兩個(gè)向量共線，那無論怎么線性組合都只能表示出與之平行的向量，而不能表示與之不平行的向量.零向量是一個(gè)特殊的向量，大小為0，方向可以是任何方向(向量不能沒有方向).選A的學(xué)生忽視了零向量與任一向量共線的性質(zhì)，A中的兩向量e1,e2是共線向量，不是一組基底；選B或C的學(xué)生是對(duì)基底的概念并不理解.此題的錯(cuò)誤屬思維中的大前提錯(cuò)誤.

預(yù)警教學(xué)策略為了避免學(xué)生出現(xiàn)此類錯(cuò)誤，教師在講授平面向量的基底這一概念時(shí)，要強(qiáng)調(diào)兩個(gè)向量不共線，自然一定是非零向量，可以通過問題的反面設(shè)計(jì)，讓學(xué)生理解作為基底的兩個(gè)向量為什么不能共線；為什么零向量與任何向量共線.

2.平面向量的夾角問題

錯(cuò)因探析這類錯(cuò)誤發(fā)生的頻率比較高：有的學(xué)生是沒有理解兩個(gè)向量夾角的概念中必需是有相同的起點(diǎn)( 這個(gè)小題的錯(cuò)因都是概念理解不到位),因而屬于思維中的大前提錯(cuò)誤.

3.共線向量的特殊性

例4 (教材P120第1題(7)問) 若平面向量a,b,c兩兩所成的角相等，且∣a∣=1, ∣b∣=1, ∣c∣=3, 則∣a+b+c∣等于( )

易錯(cuò)解答：錯(cuò)選A. 認(rèn)為向量a,b,c兩兩所成的角相等，它們兩兩的夾角為120°，

正確解答：因?yàn)橄蛄縜,b,c兩兩所成的角相等，

(1)當(dāng)向量a,b,c共線時(shí)，它們兩兩的夾角為0°，所以，a+b+c=a+b+c=1+1+3=5.

(2)當(dāng)向量a,b,c不共線時(shí)，它們兩兩的夾角為120°，以下同錯(cuò)解.故應(yīng)選C.

錯(cuò)因探析在利用題中的條件平面向量a,b,c兩兩所成的角相等時(shí)，學(xué)生忽視了向量a,b,c共線同向的情形，考慮問題不嚴(yán)謹(jǐn)，屬思維中的小前提錯(cuò)誤.

預(yù)警教學(xué)策略由于學(xué)生的思維缺乏嚴(yán)謹(jǐn)性，在考慮問題時(shí)常常會(huì)對(duì)一些顯而易見的東西不加注意，三個(gè)向量?jī)蓛伤傻慕窍嗟?，學(xué)生確實(shí)很容易忽視三個(gè)向量共線同向的情形.在數(shù)學(xué)教學(xué)中如何培養(yǎng)學(xué)生思維的嚴(yán)謹(jǐn)性的確是數(shù)學(xué)教師應(yīng)該引起重視的，就這個(gè)錯(cuò)解而言，指導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)并糾正錯(cuò)誤不難，要有效地預(yù)警教學(xué)則是很不容易的.要培養(yǎng)學(xué)生具有質(zhì)疑的思維品質(zhì)：三個(gè)向量所成的角兩兩等，除了成120°的角，還有其他可能嗎？即使這樣，還是有可能想不到0°，還需要思維的敏銳性.應(yīng)該說這是一個(gè)長(zhǎng)期的潛移默化的教學(xué)過程.(所以在兩個(gè)向量的加法和減法的幾何意義教學(xué)時(shí)就需強(qiáng)調(diào)，加深理解向量共線的情形)

三、結(jié)語

“學(xué)生的錯(cuò)誤都是有價(jià)值的(布魯若)”.我們老師在課堂上要轉(zhuǎn)變觀念，讓學(xué)生暴露錯(cuò)誤，解讀學(xué)生錯(cuò)誤，了解學(xué)生錯(cuò)誤背后的障礙，錯(cuò)因探析，形成預(yù)警教學(xué)策略.讓錯(cuò)題幫助學(xué)生理解和掌握平面向量的基本知識(shí)，讓錯(cuò)題體現(xiàn)價(jià)值.在這一個(gè)過程中，巧思妙用，讓錯(cuò)題展示魅力，提高了學(xué)生分析問題、解決問題的能力，學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)得到提升.